Hình viên phân là gì? Công thức tính diện tích hình viên phân

Hình viên phân là gì? Đây là dạng hình quen thuộc trong hình học phẳng, đặc biệt thường gặp ở các bài toán liên quan đến đường tròn, dây cung và hình quạt. Nội dung dưới đây sẽ giúp bạn nắm rõ định nghĩa hình viên phân, cách tính diện tích, chu vi hình viên phân và phương pháp áp dụng qua những ví dụ cụ thể.

Hình viên phân được hiểu như thế nào?

Muốn xác định hình viên phân là gì, trước tiên cần xét mối liên hệ giữa dây cung và phần cung tương ứng trên một đường tròn.

Định nghĩa: Hình viên phân là phần hình phẳng được giới hạn bởi một cung tròn và dây cung căng cung đó.

Có thể hiểu đơn giản rằng, khi kẻ một dây cung trên đường tròn, dây cung sẽ chia phần hình tròn thành hai miền. Mỗi miền nằm giữa dây cung và cung tròn tương ứng chính là một hình viên phân.

Một hình viên phân gồm các yếu tố chính:

• Cung tròn: Phần cung tạo nên một phía của hình viên phân.
• Dây cung: Đoạn thẳng nối hai đầu mút của cung.
• Góc ở tâm: Góc được tạo bởi hai bán kính nối tâm đường tròn với hai đầu dây cung.

Có những loại hình viên phân nào?

Dựa vào phần cung và góc ở tâm tương ứng, hình viên phân thường được chia thành hai loại cơ bản.

Một số trường hợp cần chú ý:

• Nếu dây cung đồng thời là đường kính, góc ở tâm bằng 180°. Khi đó, hai hình viên phân có diện tích bằng nhau và mỗi phần chính là một nửa hình tròn.
• Diện tích của viên phân nhỏ cộng với diện tích viên phân lớn tương ứng luôn bằng diện tích toàn bộ hình tròn.

Những đại lượng cần biết khi tính hình viên phân

Các bài toán về hình viên phân thường liên quan trực tiếp đến hình quạt tròn, góc ở tâm và độ dài dây cung. Nắm rõ ba yếu tố này sẽ giúp quá trình lựa chọn công thức thuận tiện hơn.

Hình quạt tròn và mối liên hệ với viên phân

Hình quạt tròn là phần hình phẳng được giới hạn bởi hai bán kính cùng cung tròn nằm giữa hai bán kính đó.

Đối với viên phân nhỏ, diện tích có thể xác định theo mối quan hệ:

Diện tích hình viên phân = Diện tích hình quạt − Diện tích tam giác

Đây cũng là cách suy ra công thức tính diện tích hình viên phân thường gặp.

Vai trò của góc ở tâm

Góc ở tâm, thường được ký hiệu là α hoặc θ, có đỉnh trùng với tâm đường tròn. Hai cạnh của góc chính là hai bán kính đi qua hai đầu mút của dây cung.

Tùy công thức, góc ở tâm có thể được biểu diễn bằng độ hoặc radian, vì vậy cần kiểm tra đơn vị trước khi thay số.

Cách xác định độ dài dây cung

Nếu biết bán kính R và góc ở tâm α, độ dài dây cung AB được tính theo:

Công thức này đặc biệt hữu ích khi bài toán yêu cầu tính chu vi hình viên phân.

Các công thức tính diện tích hình viên phân thường dùng

Tùy dữ kiện đề bài cung cấp là góc ở tâm, bán kính hay chiều cao viên phân, chúng ta có thể lựa chọn một trong những công thức dưới đây.

Tính diện tích khi góc ở tâm dùng đơn vị radian

Với bán kính R và góc ở tâm α tính bằng radian:

Trong đó:

• ( S_{vp} ): Diện tích hình viên phân.
• ( R ): Bán kính đường tròn.
• ( \alpha ): Góc ở tâm tính bằng radian.

Tính diện tích khi góc ở tâm được cho theo độ

Nếu góc ở tâm là n°, công thức được viết:

Có thể rút gọn thành:

( S_{vp} = R^2 \left(\frac{\pi n}{360} – \frac{\sin(n°)}{2}\right) )

Tính diện tích thông qua hình quạt và tam giác

Một phương pháp khác là xác định diện tích viên phân từ diện tích hình quạt và tam giác được tạo bởi hai bán kính.

Trong đó:

• Diện tích hình quạt: ( S_{quạt} = \frac{\pi R^2 n}{360} ) hoặc ( S_{quạt} = \frac{1}{2}R^2\alpha )
• Diện tích tam giác cân tạo bởi hai bán kính: ( S_{tam giác} = \frac{1}{2}R^2\sin\alpha )

Trường hợp biết bán kính và chiều cao viên phân

Nếu đề bài cho bán kính R cùng chiều cao h của viên phân, có thể áp dụng:

Trong công thức trên, h là khoảng cách từ trung điểm dây cung đến điểm giữa của cung tương ứng.

Chu vi hình viên phân được tính ra sao?

Không giống diện tích, chu vi của hình viên phân được xác định khá trực tiếp. Đường bao của hình gồm một cung tròn và một dây cung.

Trong đó:

• Độ dài cung: ( l = \frac{\pi R n}{180} ) nếu góc ở tâm tính bằng độ hoặc ( l = R\alpha ) nếu góc tính bằng radian.
• Độ dài dây cung: ( AB = 2R\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) )

Khi góc α được tính bằng radian, có thể kết hợp thành:

( C_{vp} = R\alpha + 2R\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = R\left(\alpha + 2\sin\frac{\alpha}{2}\right) )

Áp dụng công thức hình viên phân qua các ví dụ

Sau khi nắm được hình viên phân là gì và các công thức cơ bản, có thể áp dụng trực tiếp vào từng dạng bài cụ thể dưới đây.

Ví dụ 1: Tìm diện tích viên phân từ góc ở tâm

Đề bài: Cho đường tròn tâm O bán kính R = 6 cm. Một dây cung AB tạo với tâm O góc ở tâm bằng 60°. Tính diện tích hình viên phân nhỏ giới hạn bởi cung nhỏ AB và dây AB.

Lời giải:

Cách 1: Áp dụng trực tiếp công thức

Đổi góc sang radian:

( \alpha = 60° = \frac{\pi}{3} ) rad

Ta có:

( S_{vp} = \frac{1}{2}R^2(\alpha – \sin\alpha) )

( S_{vp} = \frac{1}{2} \times 6^2 \times \left(\frac{\pi}{3} – \sin 60°\right) )

( S_{vp} = 18 \times \left(\frac{\pi}{3} – \frac{\sqrt{3}}{2}\right) )

( S_{vp} = 6\pi – 9\sqrt{3} \approx 3,26 \text{ cm}^2 )

Cách 2: Lấy diện tích hình quạt trừ diện tích tam giác

Diện tích hình quạt:

( S_{quạt} = \frac{\pi R^2 \times 60}{360} = \frac{\pi \times 36}{6} = 6\pi \text{ cm}^2 )

Tam giác OAB là tam giác đều do OA = OB = R và góc AOB = 60°.

( S_{tam giác} = \frac{1}{2}R^2\sin 60° = \frac{1}{2} \times 36 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \text{ cm}^2 )

Suy ra:

( S_{vp} = S_{quạt} – S_{tam giác} = 6\pi – 9\sqrt{3} \approx 3,26 \text{ cm}^2 )

Đáp số: ( S_{vp} = (6\pi – 9\sqrt{3}) \text{ cm}^2 \approx 3,26 \text{ cm}^2 )

Ví dụ 2: Bài toán viên phân có góc ở tâm 90°

Đề bài: Cho đường tròn tâm O bán kính R = 10 cm. Dây cung AB nhìn từ tâm O một góc 90°. Tính diện tích hình viên phân nhỏ.

Lời giải:

Đổi góc:

( \alpha = 90° = \frac{\pi}{2} ) rad

Diện tích hình quạt:

( S_{quạt} = \frac{\pi R^2 \times 90}{360} = \frac{\pi \times 100}{4} = 25\pi \text{ cm}^2 )

Tam giác OAB là tam giác vuông cân tại O nên:

( S_{tam giác} = \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 50 \text{ cm}^2 )

Do đó:

( S_{vp} = 25\pi – 50 \approx 28,54 \text{ cm}^2 )

Đáp số: ( S_{vp} = (25\pi – 50) \text{ cm}^2 \approx 28,54 \text{ cm}^2 )

Ví dụ 3: Xác định chu vi của hình viên phân

Đề bài: Cho hình viên phân có bán kính R = 8 cm và góc ở tâm 120°. Tính chu vi hình viên phân.

Lời giải:

Bước 1: Tìm độ dài cung

( l = \frac{\pi R n}{180} = \frac{\pi \times 8 \times 120}{180} = \frac{16\pi}{3} \text{ cm} )

Bước 2: Xác định độ dài dây cung

( AB = 2R\sin\left(\frac{120°}{2}\right) = 2 \times 8 \times \sin 60° = 8\sqrt{3} \text{ cm} )

Bước 3: Cộng hai thành phần chu vi

( C_{vp} = l + AB = \frac{16\pi}{3} + 8\sqrt{3} \approx 30,63 \text{ cm} )

Đáp số: ( C_{vp} = \left(\frac{16\pi}{3} + 8\sqrt{3}\right) \text{ cm} \approx 30,63 \text{ cm} )

Ví dụ 4: Cách tính diện tích viên phân lớn

Đề bài: Cho đường tròn bán kính R = 5 cm. Dây cung AB có góc ở tâm 60°. Tính diện tích hình viên phân lớn.

Lời giải:

Ta có thể tìm diện tích viên phân nhỏ trước, sau đó lấy diện tích toàn hình tròn trừ đi kết quả vừa tính.

Diện tích hình tròn:

( S_{tròn} = \pi R^2 = 25\pi \text{ cm}^2 )

Diện tích viên phân nhỏ:

( S_{vp_nhỏ} = \frac{1}{2} \times 25 \times \left(\frac{\pi}{3} – \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{25\pi}{6} – \frac{25\sqrt{3}}{4} \text{ cm}^2 )

Suy ra diện tích viên phân lớn:

( S_{vp_lớn} = S_{tròn} – S_{vp_nhỏ} )

( S_{vp_lớn} = 25\pi – \frac{25\pi}{6} + \frac{25\sqrt{3}}{4} )

( S_{vp_lớn} = \frac{125\pi}{6} + \frac{25\sqrt{3}}{4} \approx 76,17 \text{ cm}^2 )

Đáp số: ( S_{vp_lớn} = \left(\frac{125\pi}{6} + \frac{25\sqrt{3}}{4}\right) \text{ cm}^2 \approx 76,17 \text{ cm}^2 )

Bài tập vận dụng về hình viên phân

Bạn có thể kiểm tra khả năng ghi nhớ công thức qua các bài tập sau.

Bài 1: Cho đường tròn bán kính R = 4 cm. Dây cung AB có góc ở tâm 90°. Tính diện tích hình viên phân nhỏ.

Bài 2: Cho đường tròn bán kính R = 12 cm. Dây cung CD có góc ở tâm 60°. Tính chu vi hình viên phân nhỏ.

Bài 3: Một cửa sổ hình viên phân có bán kính 50 cm và góc ở tâm 120°. Tính diện tích kính cần để làm cửa sổ.

Bài 4: Cho đường tròn bán kính R = 7 cm. Tính diện tích hình viên phân lớn ứng với góc ở tâm 90°.

Bài 5: Cho hình viên phân có bán kính R = 10 cm và chiều cao h = 2 cm. Tính diện tích hình viên phân.

Đáp án tham khảo

Tổng kết kiến thức về hình viên phân

Qua những nội dung trên, bạn có thể xác định được hình viên phân là gì, nhận biết viên phân nhỏ và viên phân lớn, đồng thời lựa chọn công thức tính diện tích hoặc chu vi phù hợp với từng dữ kiện. Khi giải bài, cần đặc biệt chú ý đơn vị của góc ở tâm là độ hay radian, sau đó xác định đúng phần hình cần tính để hạn chế nhầm lẫn giữa hình quạt và hình viên phân.