Ước số là gì? Ước của một số trong toán học và cách tìm chi tiết

Ước số là một trong những khái niệm nền tảng quan trọng nhất trong Số học, được học từ chương trình Toán lớp 6 và ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực toán học. Ước số của số nguyên a là số nguyên b sao cho a chia hết cho b, tức là a = b × k với k nguyên. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn hiểu rõ định nghĩa, cách tìm ước số, các tính chất và công thức liên quan.

1. Ước số là gì?

Trước khi tìm hiểu chi tiết về ước số, cần nắm vững khái niệm cơ bản:

1.1. Định nghĩa ước số

Ước số (hay ước) của số nguyên a là số nguyên b sao cho a chia hết cho b.

Ký hiệu:

• b là ước của a: b | a (đọc là “b chia hết a”)
• Tập hợp các ước của a: Ư(a)

Định nghĩa toán học:

\[ b \text{ là ước của } a \Leftrightarrow a \vdots b \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z}: a = b \times k \]

1.2. Ví dụ cơ bản

• Các ước của 12: Ư(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
• Các ước của 15: Ư(15) = {1, 3, 5, 15}
• Các ước của 7: Ư(7) = {1, 7} (số nguyên tố)

1.3. Ước số dương và ước số nguyên

Loại	Định nghĩa	Ví dụ với số 12
Ước dương	Các ước > 0	{1, 2, 3, 4, 6, 12}
Ước nguyên	Gồm cả ước âm và dương	{±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}

Lưu ý: Trong chương trình phổ thông, thường chỉ xét ước dương.

1.4. Mối quan hệ ước số và bội số

Nếu b là ước của a thì a là bội của b.

\[ b | a \Leftrightarrow a \text{ là bội của } b \]

Khái niệm	Định nghĩa	Ví dụ
Ước số	b | a ⟺ b là ước của a	3 là ước của 12
Bội số	a ⋮ b ⟺ a là bội của b	12 là bội của 3

2. Cách tìm ước số của một số

Các phương pháp tìm ước số hiệu quả:

2.1. Phương pháp liệt kê

Cách làm: Thử lần lượt các số từ 1 đến n, kiểm tra xem n có chia hết không.

Mẹo: Chỉ cần thử đến √n vì nếu b là ước của n thì n/b cũng là ước của n.

Ví dụ: Tìm Ư(36)

√36 = 6, thử từ 1 đến 6:

• 36 ⋮ 1 → 1 và 36 là ước
• 36 ⋮ 2 → 2 và 18 là ước
• 36 ⋮ 3 → 3 và 12 là ước
• 36 ⋮ 4 → 4 và 9 là ước
• 36 ⋮ 5 → Không
• 36 ⋮ 6 → 6 là ước

Kết quả: Ư(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

2.2. Phương pháp phân tích thừa số nguyên tố

Bước 1: Phân tích n thành tích các thừa số nguyên tố

\[ n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times … \times p_k^{a_k} \]

Bước 2: Các ước của n có dạng

\[ d = p_1^{b_1} \times p_2^{b_2} \times … \times p_k^{b_k} \]

với \( 0 \leq b_i \leq a_i \) với mọi i

Ví dụ: Tìm Ư(60)

60 = 2² × 3 × 5

Các ước có dạng: 2^a × 3^b × 5^c với a ∈ {0,1,2}, b ∈ {0,1}, c ∈ {0,1}

2^a	3^b	5^c	Ước
1	1	1	1
1	1	5	5
1	3	1	3
1	3	5	15
2	1	1	2
2	1	5	10
2	3	1	6
2	3	5	30
4	1	1	4
4	1	5	20
4	3	1	12
4	3	5	60

Kết quả: Ư(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

2.3. Bảng ước số của các số thường gặp

Số n	Ư(n)	Số ước
1	{1}	1
6	{1, 2, 3, 6}	4
10	{1, 2, 5, 10}	4
12	{1, 2, 3, 4, 6, 12}	6
18	{1, 2, 3, 6, 9, 18}	6
24	{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}	8
36	{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}	9
100	{1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}	9

3. Ước chung và Ước chung lớn nhất (ƯCLN)

Khái niệm quan trọng liên quan đến ước số:

3.1. Ước chung

Định nghĩa: Ước chung của hai hay nhiều số là số đồng thời là ước của tất cả các số đó.

Ký hiệu: ƯC(a, b) hoặc ƯC(a, b, c)

Ví dụ:

Ư(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Ư(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

ƯC(12, 18) = {1, 2, 3, 6}

3.2. Ước chung lớn nhất (ƯCLN)

Định nghĩa: Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của chúng.

Ký hiệu: ƯCLN(a, b) hoặc (a, b) hoặc gcd(a, b)

Ví dụ: ƯCLN(12, 18) = 6

3.3. Hai số nguyên tố cùng nhau

Định nghĩa: Hai số a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ƯCLN(a, b) = 1

Ví dụ:

• ƯCLN(8, 15) = 1 → 8 và 15 nguyên tố cùng nhau
• ƯCLN(9, 12) = 3 ≠ 1 → 9 và 12 không nguyên tố cùng nhau

3.4. Tính chất của ƯCLN

Tính chất	Công thức
Giao hoán	ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, a)
Kết hợp	ƯCLN(a, b, c) = ƯCLN(ƯCLN(a, b), c)
Với 1	ƯCLN(a, 1) = 1
Với chính nó	ƯCLN(a, a) = a
Với bội	ƯCLN(a, ka) = a
Quan hệ với BCNN	ƯCLN(a, b) × BCNN(a, b) = a × b

4. Các phương pháp tìm ƯCLN

Ba phương pháp phổ biến để tìm ƯCLN của các ước số:

4.1. Phương pháp liệt kê ước

Các bước:

1. Liệt kê tất cả ước của từng số
2. Tìm các ước chung
3. Chọn ước chung lớn nhất

Ví dụ: Tìm ƯCLN(24, 36)

Ư(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Ư(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

ƯC(24, 36) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

ƯCLN(24, 36) = 12

4.2. Phương pháp phân tích thừa số nguyên tố

Các bước:

1. Phân tích các số thành thừa số nguyên tố
2. ƯCLN = tích các thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất

Ví dụ: Tìm ƯCLN(24, 36)

24 = 2³ × 3

36 = 2² × 3²

ƯCLN = 2^min(3,2) × 3^min(1,2) = 2² × 3 = 12

4.3. Thuật toán Euclid

Nguyên lý: ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, a mod b) với a > b

Các bước:

1. Chia a cho b, được dư r
2. Nếu r = 0, ƯCLN = b
3. Nếu r ≠ 0, thay a = b, b = r, lặp lại bước 1

Ví dụ: Tìm ƯCLN(252, 105)

• 252 = 105 × 2 + 42
• 105 = 42 × 2 + 21
• 42 = 21 × 2 + 0

ƯCLN(252, 105) = 21

4.4. So sánh các phương pháp

Phương pháp	Ưu điểm	Nhược điểm
Liệt kê ước	Đơn giản, trực quan	Chậm với số lớn
Phân tích TSNT	Hiệu quả, dễ hiểu	Khó khi phân tích số lớn
Thuật toán Euclid	Nhanh nhất	Cần tính toán nhiều bước

5. Tính chất của ước số

Các tính chất quan trọng của ước số:

5.1. Tính chất cơ bản

Tính chất	Nội dung
1 là ước của mọi số	∀n ∈ ℤ: 1 | n
Mọi số là ước của chính nó	∀n ∈ ℤ: n | n
Mọi số là ước của 0	∀n ≠ 0: n | 0
0 không là ước của số khác 0	0 ∤ n (n ≠ 0)

5.2. Tính chất bắc cầu

Nếu a | b và b | c thì a | c

Ví dụ: 3 | 6 và 6 | 24 ⟹ 3 | 24

5.3. Tính chất với tổng và hiệu

Nếu a | b và a | c thì:

• a | (b + c)
• a | (b − c)
• a | (mb + nc) với mọi m, n ∈ ℤ

Ví dụ: 5 | 15 và 5 | 20 ⟹ 5 | 35 và 5 | (−5)

5.4. Tính chất với tích

Nếu a | b thì a | (bc) với mọi c ∈ ℤ

Ví dụ: 4 | 12 ⟹ 4 | (12 × 7) = 4 | 84

5.5. Số ước của số nguyên dương

• Số 1 có đúng 1 ước
• Số nguyên tố có đúng 2 ước (1 và chính nó)
• Số hợp số có nhiều hơn 2 ước
• Số chính phương có số ước là số lẻ

5.6. Bảng tổng hợp tính chất

Nếu	Thì
a | b	|a| ≤ |b| (khi b ≠ 0)
a | b và b | a	|a| = |b|
a | b	ac | bc
a | bc và ƯCLN(a,b) = 1	a | c

6. Công thức tính số lượng ước số

Công thức quan trọng để đếm số ước số:

6.1. Công thức tổng quát

Cho số nguyên dương n có phân tích thừa số nguyên tố:

\[ n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times … \times p_k^{a_k} \]

Số lượng ước dương của n:

\[ \tau(n) = (a_1 + 1)(a_2 + 1)…(a_k + 1) = \prod_{i=1}^{k}(a_i + 1) \]

6.2. Giải thích công thức

Mỗi ước d của n có dạng: \( d = p_1^{b_1} \times p_2^{b_2} \times … \times p_k^{b_k} \)

Với:

• \( b_1 \) có thể chọn: 0, 1, 2, …, a₁ → (a₁ + 1) cách
• \( b_2 \) có thể chọn: 0, 1, 2, …, a₂ → (a₂ + 1) cách
• …

Theo quy tắc nhân: Số ước = (a₁ + 1)(a₂ + 1)…(aₖ + 1)

6.3. Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1: Tìm số ước của 60

60 = 2² × 3 × 5

Số ước = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3 × 2 × 2 = 12

Ví dụ 2: Tìm số ước của 1000

1000 = 2³ × 5³

Số ước = (3 + 1)(3 + 1) = 4 × 4 = 16

Ví dụ 3: Tìm số ước của 360

360 = 2³ × 3² × 5

Số ước = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4 × 3 × 2 = 24

6.4. Bảng số ước của các số đặc biệt

n	Phân tích	Số ước τ(n)
p (nguyên tố)	p	2
p²	p²	3
pq (p, q nguyên tố)	p × q	4
p³	p³	4
2ⁿ	2ⁿ	n + 1

7. Công thức tính tổng các ước số

Công thức tính tổng các ước số dương:

7.1. Công thức tổng quát

Cho \( n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times … \times p_k^{a_k} \)

Tổng các ước dương của n:

\[ \sigma(n) = \frac{p_1^{a_1+1} – 1}{p_1 – 1} \times \frac{p_2^{a_2+1} – 1}{p_2 – 1} \times … \times \frac{p_k^{a_k+1} – 1}{p_k – 1} \]

Hay viết gọn:

\[ \sigma(n) = \prod_{i=1}^{k} \frac{p_i^{a_i+1} – 1}{p_i – 1} \]

7.2. Giải thích công thức

Với mỗi thừa số nguyên tố p^a, tổng các lũy thừa từ 0 đến a là:

\[ 1 + p + p^2 + … + p^a = \frac{p^{a+1} – 1}{p – 1} \]

Tổng các ước = tích của các tổng thành phần (theo quy tắc nhân)

7.3. Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1: Tính tổng các ước của 12

12 = 2² × 3

\[ \sigma(12) = \frac{2^3 – 1}{2 – 1} \times \frac{3^2 – 1}{3 – 1} = \frac{7}{1} \times \frac{8}{2} = 7 \times 4 = 28 \]

Kiểm tra: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28 ✓

Ví dụ 2: Tính tổng các ước của 60

60 = 2² × 3 × 5

\[ \sigma(60) = \frac{2^3 – 1}{1} \times \frac{3^2 – 1}{2} \times \frac{5^2 – 1}{4} = 7 \times 4 \times 6 = 168 \]

7.4. Công thức tổng các ước với lũy thừa k

Tổng các ước mũ k:

\[ \sigma_k(n) = \prod_{i=1}^{m} \frac{p_i^{k(a_i+1)} – 1}{p_i^k – 1} \]

Đặc biệt:

• σ₀(n) = τ(n) = số ước
• σ₁(n) = σ(n) = tổng các ước

8. Số hoàn hảo và các loại số đặc biệt

Các khái niệm đặc biệt liên quan đến ước số:

8.1. Số hoàn hảo (Perfect Number)

Định nghĩa: Số hoàn hảo là số bằng tổng các ước thực sự của nó (không kể chính nó).

\[ n \text{ hoàn hảo} \Leftrightarrow \sigma(n) = 2n \]

Các số hoàn hảo đầu tiên:

• 6 = 1 + 2 + 3
• 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
• 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
• 8128

Công thức Euclid-Euler: Nếu 2^p − 1 là số nguyên tố (số Mersenne) thì:

\[ n = 2^{p-1}(2^p – 1) \text{ là số hoàn hảo chẵn} \]

8.2. Số dư (Abundant Number)

Định nghĩa: Số dư là số có tổng các ước thực sự lớn hơn chính nó.

\[ \sigma(n) > 2n \]

Ví dụ: 12 là số dư vì 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12

8.3. Số thiếu (Deficient Number)

Định nghĩa: Số thiếu là số có tổng các ước thực sự nhỏ hơn chính nó.

\[ \sigma(n) < 2n \]

Ví dụ: 8 là số thiếu vì 1 + 2 + 4 = 7 < 8

8.4. Số thân thiện (Amicable Numbers)

Định nghĩa: Hai số a và b được gọi là thân thiện nếu tổng các ước thực sự của a bằng b và ngược lại.

Cặp số thân thiện nhỏ nhất: (220, 284)

• Tổng ước thực sự của 220: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284
• Tổng ước thực sự của 284: 1+2+4+71+142 = 220

8.5. Bảng phân loại số

Loại số	Điều kiện	Ví dụ
Số hoàn hảo	σ(n) − n = n	6, 28, 496
Số dư	σ(n) − n > n	12, 18, 20
Số thiếu	σ(n) − n < n	Số nguyên tố, lũy thừa của 2

9. Ứng dụng của ước số

Ước số có nhiều ứng dụng quan trọng:

9.1. Trong Số học

• Rút gọn phân số về tối giản
• Quy đồng mẫu số
• Phân tích đa thức
• Giải phương trình nghiệm nguyên

9.2. Trong Đại số

• Tìm nghiệm hữu tỉ của đa thức (Định lý nghiệm hữu tỉ)
• Phân tích đa thức thành nhân tử

9.3. Trong Mật mã học

• Thuật toán RSA (dựa trên phân tích thừa số)
• Hàm Euler phi φ(n)
• Mã hóa khóa công khai

9.4. Trong Tin học

• Thuật toán tìm ƯCLN (Euclid)
• Kiểm tra số nguyên tố
• Phân tích thừa số

9.5. Trong đời sống

• Chia đều đồ vật thành các nhóm
• Xếp hàng, xếp bàn
• Tính chu kỳ lặp lại

9.6. Ví dụ ứng dụng

Bài toán: Rút gọn phân số 84/126

ƯCLN(84, 126) = 42

\[ \frac{84}{126} = \frac{84 : 42}{126 : 42} = \frac{2}{3} \]

10. Ví dụ và bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Để nắm vững kiến thức về ước số, hãy làm các bài tập sau:

Bài tập 1: Tìm tất cả ước của một số

Đề bài: Tìm tất cả ước dương của 72

Lời giải:

Phân tích: 72 = 2³ × 3² = 8 × 9

Các ước có dạng 2^a × 3^b với a ∈ {0,1,2,3}, b ∈ {0,1,2}

3^b \ 2^a	2⁰=1	2¹=2	2²=4	2³=8
3⁰=1	1	2	4	8
3¹=3	3	6	12	24
3²=9	9	18	36	72

Kết quả: Ư(72) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}

Bài tập 2: Tính số lượng ước

Đề bài: Số 2025 có bao nhiêu ước dương?

Lời giải:

Phân tích: 2025 = 25 × 81 = 5² × 3⁴

Số ước = (2 + 1)(4 + 1) = 3 × 5 = 15

Kết quả: 2025 có 15 ước dương

Bài tập 3: Tính tổng các ước

Đề bài: Tính tổng các ước dương của 28

Lời giải:

28 = 2² × 7

\[ \sigma(28) = \frac{2^3 – 1}{2 – 1} \times \frac{7^2 – 1}{7 – 1} = 7 \times \frac{48}{6} = 7 \times 8 = 56 \]

Kiểm tra: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56 ✓

Nhận xét: 56 = 2 × 28, nên 28 là số hoàn hảo!

Kết quả: Tổng các ước = 56

Bài tập 4: Tìm ƯCLN bằng thuật toán Euclid

Đề bài: Tìm ƯCLN(168, 180)

Lời giải:

Áp dụng thuật toán Euclid:

• 180 = 168 × 1 + 12
• 168 = 12 × 14 + 0

Kết quả: ƯCLN(168, 180) = 12

Kiểm tra:

168 = 2³ × 3 × 7

180 = 2² × 3² × 5

ƯCLN = 2² × 3 = 12 ✓

Bài tập 5: Tìm số có số ước cho trước

Đề bài: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có đúng 12 ước dương

Lời giải:

12 = (a₁ + 1)(a₂ + 1)… có các cách phân tích:

• 12 = 12 → n = p¹¹ (nhỏ nhất: 2¹¹ = 2048)
• 12 = 6 × 2 → n = p⁵ × q (nhỏ nhất: 2⁵ × 3 = 96)
• 12 = 4 × 3 → n = p³ × q² (nhỏ nhất: 2³ × 3² = 72)
• 12 = 3 × 2 × 2 → n = p² × q × r (nhỏ nhất: 2² × 3 × 5 = 60)

So sánh: 60 < 72 < 96 < 2048

Kết quả: Số nhỏ nhất có 12 ước là 60

Bài tập 6: Bài toán về ước chung

Đề bài: Tìm tất cả ước chung của 120 và 180

Lời giải:

120 = 2³ × 3 × 5

180 = 2² × 3² × 5

ƯCLN(120, 180) = 2² × 3 × 5 = 60

ƯC(120, 180) = Ư(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

Kết quả: ƯC(120, 180) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

Bài tập 7: Tìm số khi biết số ước và tổng ước

Đề bài: Tìm số nguyên tố p biết p có đúng 2 ước và tổng các ước bằng 20

Lời giải:

Số nguyên tố p có 2 ước là 1 và p

Tổng các ước = 1 + p = 20

p = 19

Kiểm tra: 19 là số nguyên tố ✓

Kết quả: p = 19

Bài tập 8: Bài toán thực tế

Đề bài: Có 84 quyển vở và 126 cây bút. Muốn chia đều vào các túi sao cho mỗi túi có số vở và số bút như nhau. Hỏi có thể chia nhiều nhất thành bao nhiêu túi?

Lời giải:

Số túi phải là ước chung của 84 và 126

Để số túi nhiều nhất → Số túi = ƯCLN(84, 126)

84 = 2² × 3 × 7

126 = 2 × 3² × 7

ƯCLN(84, 126) = 2 × 3 × 7 = 42

Mỗi túi có: 84 : 42 = 2 quyển vở và 126 : 42 = 3 cây bút

Kết quả: Chia nhiều nhất thành 42 túi

Bài tập 9: Tích các ước

Đề bài: Tính tích tất cả các ước dương của 36

Lời giải:

Công thức: Nếu n có τ(n) ước thì tích các ước = n^(τ(n)/2)

36 = 2² × 3²

τ(36) = (2+1)(2+1) = 9

Tích các ước = 36^(9/2) = 36^4.5 = (36^9)^0.5 = √(36⁹)

Hoặc: Tích = (√36)⁹ = 6⁹ = 10077696

Kết quả: Tích các ước = 6⁹ = 10 077 696

Bài tập 10: Đếm số có ước lẻ

Đề bài: Có bao nhiêu số từ 1 đến 100 có số ước là số lẻ?

Lời giải:

Số có số ước lẻ ⟺ Số chính phương

(Vì các ước ghép đôi trừ √n)

Các số chính phương từ 1 đến 100:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

Kết quả: Có 10 số

Bài tập 11: Tìm n để n + 5 chia hết n + 2

Đề bài: Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho (n + 5) chia hết cho (n + 2)

Lời giải:

(n + 5) ⋮ (n + 2)

⟺ (n + 2 + 3) ⋮ (n + 2)

⟺ 3 ⋮ (n + 2) (vì (n + 2) ⋮ (n + 2))

⟺ (n + 2) ∈ Ư(3) = {1, 3}

n + 2 = 1 → n = −1 (loại vì n > 0)

n + 2 = 3 → n = 1 ✓

Kết quả: n = 1

Bài tập 12: Bài toán nâng cao

Đề bài: Chứng minh rằng nếu n > 1 thì tổng các ước của n luôn lớn hơn n

Lời giải:

Với n > 1, n luôn có ít nhất 2 ước là 1 và n

Tổng các ước ≥ 1 + n > n

Vậy σ(n) > n với mọi n > 1 (đpcm)

11. Kết luận

Qua bài viết trên, VJOL đã giúp bạn hiểu rõ về ước số cùng các kiến thức quan trọng liên quan. Tóm tắt những điểm cần nhớ:

• Định nghĩa: b là ước của a khi a chia hết cho b (a ⋮ b)
• Cách tìm ước: Liệt kê hoặc phân tích thừa số nguyên tố
• ƯCLN: Tìm bằng liệt kê, phân tích TSNT hoặc thuật toán Euclid
• Số lượng ước: τ(n) = (a₁+1)(a₂+1)…(aₖ+1) với n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖ
• Tổng các ước: σ(n) = ∏(pᵢ^(aᵢ+1) − 1)/(pᵢ − 1)
• Số hoàn hảo: σ(n) = 2n (ví dụ: 6, 28, 496)
• Số chính phương: Có số ước là số lẻ
• Tính chất quan trọng: Nếu a|b và a|c thì a|(b±c)
• Quan hệ ƯCLN-BCNN: ƯCLN(a,b) × BCNN(a,b) = a × b

Hy vọng bài viết đã giúp bạn nắm vững kiến thức về ước số và có thể áp dụng vào giải toán hiệu quả!