Phép chia đa thức một biến lớp 7: Chia đa thức cho đa thức chi tiết

Phép chia đa thức một biến là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 7, giúp học sinh nắm vững cách thực hiện các phép tính với đa thức. Bài viết dưới đây sẽ trình bày định nghĩa, quy tắc chia đa thức cho đơn thức, chia đa thức cho đa thức cùng các ví dụ và bài tập minh họa chi tiết.

Phép chia đa thức một biến là gì?

Trước khi tìm hiểu cách thực hiện phép chia, chúng ta cần nắm rõ các khái niệm cơ bản sau đây.

Đa thức một biến là gì?

Đa thức một biến là tổng của những đơn thức có cùng một biến, được sắp xếp theo lũy thừa giảm dần hoặc tăng dần của biến.

Ví dụ: \( A(x) = 3x^4 + 2x^3 – 5x^2 + x – 7 \) là đa thức một biến x.

Định nghĩa phép chia đa thức một biến

Phép chia đa thức một biến là phép tính tìm đa thức thương Q(x) và đa thức dư R(x) khi chia đa thức A(x) cho đa thức B(x), thỏa mãn:

\( A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x) \)

Trong đó:

• \( A(x) \): Đa thức bị chia
• \( B(x) \): Đa thức chia (khác 0)
• \( Q(x) \): Đa thức thương
• \( R(x) \): Đa thức dư (bậc của R(x) < bậc của B(x))

Lưu ý:

• Nếu \( R(x) = 0 \), ta nói A(x) chia hết cho B(x)
• Nếu \( R(x) \neq 0 \), ta nói A(x) chia có dư cho B(x)

Phép chia đa thức một biến cho đơn thức

Đây là dạng đơn giản nhất của phép chia đa thức một biến. Hãy cùng tìm hiểu quy tắc thực hiện.

Quy tắc chia đa thức cho đơn thức

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả lại với nhau.

Công thức:

\( (a_1 + a_2 + a_3 + … + a_n) : B = a_1 : B + a_2 : B + a_3 : B + … + a_n : B \)

Ví dụ chia đa thức cho đơn thức

Ví dụ 1: Thực hiện phép chia \( (15x^3 – 10x^2 + 5x) : 5x \)

Lời giải:

\( (15x^3 – 10x^2 + 5x) : 5x \)

\( = 15x^3 : 5x – 10x^2 : 5x + 5x : 5x \)

\( = 3x^2 – 2x + 1 \)

Ví dụ 2: Thực hiện phép chia \( (12x^4 + 8x^3 – 4x^2) : 4x^2 \)

Lời giải:

\( (12x^4 + 8x^3 – 4x^2) : 4x^2 \)

\( = 12x^4 : 4x^2 + 8x^3 : 4x^2 – 4x^2 : 4x^2 \)

\( = 3x^2 + 2x – 1 \)

Phép chia đa thức một biến cho đa thức

Để thực hiện phép chia đa thức một biến cho đa thức, ta sử dụng phương pháp chia theo cột dọc (tương tự phép chia số tự nhiên).

Quy tắc chia đa thức cho đa thức

Các bước thực hiện phép chia đa thức A(x) cho đa thức B(x):

1. Bước 1: Sắp xếp cả hai đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến
2. Bước 2: Chia hạng tử bậc cao nhất của A(x) cho hạng tử bậc cao nhất của B(x), được hạng tử đầu tiên của thương
3. Bước 3: Nhân hạng tử vừa tìm được với B(x), rồi lấy A(x) trừ đi tích đó, được đa thức dư thứ nhất
4. Bước 4: Lặp lại bước 2 và bước 3 với đa thức dư cho đến khi đa thức dư bằng 0 hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của B(x)

Sơ đồ phép chia theo cột dọc

Các bước thực hiện phép chia đa thức một biến chi tiết

Để hiểu rõ hơn về phép chia đa thức một biến, chúng ta cùng xem ví dụ minh họa từng bước.

Ví dụ: Thực hiện phép chia \( (2x^4 – 5x^3 + 2x^2 + 2x – 3) : (x^2 – x – 1) \)

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Sắp xếp các đa thức (đã sắp xếp theo lũy thừa giảm dần)

• Đa thức bị chia: \( A(x) = 2x^4 – 5x^3 + 2x^2 + 2x – 3 \)
• Đa thức chia: \( B(x) = x^2 – x – 1 \)

Bước 2: Chia hạng tử bậc cao nhất

\( 2x^4 : x^2 = 2x^2 \) → Hạng tử đầu tiên của thương

Bước 3: Nhân và trừ

\( 2x^2 \cdot (x^2 – x – 1) = 2x^4 – 2x^3 – 2x^2 \)

\( (2x^4 – 5x^3 + 2x^2 + 2x – 3) – (2x^4 – 2x^3 – 2x^2) = -3x^3 + 4x^2 + 2x – 3 \)

Bước 4: Lặp lại với đa thức dư

\( -3x^3 : x^2 = -3x \) → Hạng tử thứ hai của thương

\( -3x \cdot (x^2 – x – 1) = -3x^3 + 3x^2 + 3x \)

\( (-3x^3 + 4x^2 + 2x – 3) – (-3x^3 + 3x^2 + 3x) = x^2 – x – 3 \)

Bước 5: Tiếp tục

\( x^2 : x^2 = 1 \) → Hạng tử thứ ba của thương

\( 1 \cdot (x^2 – x – 1) = x^2 – x – 1 \)

\( (x^2 – x – 3) – (x^2 – x – 1) = -2 \)

Kết quả:

• Đa thức thương: \( Q(x) = 2x^2 – 3x + 1 \)
• Đa thức dư: \( R(x) = -2 \)

Kiểm tra: \( (x^2 – x – 1)(2x^2 – 3x + 1) + (-2) = 2x^4 – 5x^3 + 2x^2 + 2x – 3 \) ✓

Ví dụ phép chia đa thức một biến có lời giải

Dưới đây là thêm các ví dụ để các em luyện tập phép chia đa thức một biến.

Ví dụ 1: Thực hiện phép chia \( (x^3 + 2x^2 – 5x + 2) : (x – 1) \)

Lời giải:

Kết quả: \( (x^3 + 2x^2 – 5x + 2) : (x – 1) = x^2 + 3x – 2 \) (chia hết)

Ví dụ 2: Thực hiện phép chia \( (6x^3 – 7x^2 – x + 2) : (2x + 1) \)

Lời giải:

• \( 6x^3 : 2x = 3x^2 \)
• \( 3x^2 \cdot (2x + 1) = 6x^3 + 3x^2 \)
• Dư 1: \( -10x^2 – x + 2 \)
• \( -10x^2 : 2x = -5x \)
• \( -5x \cdot (2x + 1) = -10x^2 – 5x \)
• Dư 2: \( 4x + 2 \)
• \( 4x : 2x = 2 \)
• \( 2 \cdot (2x + 1) = 4x + 2 \)
• Dư 3: \( 0 \)

Kết quả: \( (6x^3 – 7x^2 – x + 2) : (2x + 1) = 3x^2 – 5x + 2 \)

Ví dụ 3: Thực hiện phép chia \( (x^4 – 1) : (x – 1) \)

Lời giải:

Viết lại: \( x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x – 1 \)

• \( x^4 : x = x^3 \) → Dư: \( x^3 – 1 \)
• \( x^3 : x = x^2 \) → Dư: \( x^2 – 1 \)
• \( x^2 : x = x \) → Dư: \( x – 1 \)
• \( x : x = 1 \) → Dư: \( 0 \)

Kết quả: \( (x^4 – 1) : (x – 1) = x^3 + x^2 + x + 1 \)

Bài tập phép chia đa thức một biến

Hãy vận dụng kiến thức đã học để giải các bài tập sau.

Bài tập 1: Thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức

• a) \( (9x^4 – 6x^3 + 3x^2) : 3x^2 \)
• b) \( (20x^5 – 15x^4 + 10x^3 – 5x^2) : 5x^2 \)

Lời giải:

• a) \( (9x^4 – 6x^3 + 3x^2) : 3x^2 = 3x^2 – 2x + 1 \)
• b) \( (20x^5 – 15x^4 + 10x^3 – 5x^2) : 5x^2 = 4x^3 – 3x^2 + 2x – 1 \)

Bài tập 2: Thực hiện phép chia

• a) \( (x^2 + 5x + 6) : (x + 2) \)
• b) \( (x^3 – 8) : (x – 2) \)

Lời giải:

• a) \( (x^2 + 5x + 6) : (x + 2) = x + 3 \)
• b) \( (x^3 – 8) : (x – 2) = x^2 + 2x + 4 \)

Bài tập 3: Tìm thương và dư trong phép chia \( (2x^3 + 5x^2 – 2x + 3) : (2x + 1) \)

Lời giải:

• \( 2x^3 : 2x = x^2 \)
• \( x^2 \cdot (2x + 1) = 2x^3 + x^2 \)
• Dư: \( 4x^2 – 2x + 3 \)
• \( 4x^2 : 2x = 2x \)
• \( 2x \cdot (2x + 1) = 4x^2 + 2x \)
• Dư: \( -4x + 3 \)
• \( -4x : 2x = -2 \)
• \( -2 \cdot (2x + 1) = -4x – 2 \)
• Dư: \( 5 \)

Kết quả: Thương: \( x^2 + 2x – 2 \), Dư: \( 5 \)

Bài tập 4: Tìm giá trị của a để đa thức \( A(x) = x^3 – 2x^2 + x + a \) chia hết cho \( B(x) = x – 1 \)

Lời giải:

Để A(x) chia hết cho (x – 1), theo định lý Bézout, ta có A(1) = 0

\( A(1) = 1^3 – 2 \cdot 1^2 + 1 + a = 0 \)

\( 1 – 2 + 1 + a = 0 \)

\( a = 0 \)

Vậy a = 0

Bài tập 5: Thực hiện phép chia \( (x^4 + x^3 – 3x^2 + x + 2) : (x^2 + x – 2) \)

Lời giải:

• \( x^4 : x^2 = x^2 \)
• Nhân: \( x^2(x^2 + x – 2) = x^4 + x^3 – 2x^2 \)
• Trừ: \( -x^2 + x + 2 \)
• \( -x^2 : x^2 = -1 \)
• Nhân: \( -1(x^2 + x – 2) = -x^2 – x + 2 \)
• Trừ: \( 2x \)

Kết quả: Thương: \( x^2 – 1 \), Dư: \( 2x \)

Kết luận

Phép chia đa thức một biến là kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 7, đặt nền tảng cho các bài toán đại số sau này. Để thực hiện thành thạo phép chia đa thức một biến, các em cần nhớ sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần, nắm vững quy tắc chia theo cột dọc và luyện tập thường xuyên. Hy vọng bài viết đã giúp các em hiểu rõ hơn về phép chia đa thức một biến và vận dụng tốt vào giải bài tập!