Phép chia đa thức một biến lớp 7: Chia đa thức cho đa thức chi tiết

Phép chia đa thức một biến là một nội dung cơ bản trong chương trình Toán, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng biến đổi và tính toán với đa thức. Nội dung dưới đây tổng hợp khái niệm, quy tắc chia đa thức cho đơn thức, cách chia đa thức cho đa thức kèm theo ví dụ và bài tập để các em dễ dàng áp dụng.

Tìm hiểu phép chia đa thức một biến và các khái niệm liên quan

Muốn thực hiện phép chia chính xác, trước hết cần hiểu đa thức một biến là gì và các thành phần xuất hiện trong một phép chia đa thức.

Khái niệm đa thức một biến

Đa thức một biến là tổng của những đơn thức có cùng một biến, thường được sắp xếp theo lũy thừa giảm dần hoặc tăng dần của biến đó.

Ví dụ: ( A(x) = 3x^4 + 2x^3 – 5x^2 + x – 7 ) là đa thức một biến x.

Phép chia đa thức một biến được hiểu như thế nào?

Phép chia đa thức một biến là phép tính nhằm xác định đa thức thương Q(x) và đa thức dư R(x) khi chia đa thức A(x) cho đa thức B(x), sao cho:

( A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x) )

Trong đó:

• ( A(x) ): Đa thức bị chia
• ( B(x) ): Đa thức chia (khác 0)
• ( Q(x) ): Đa thức thương
• ( R(x) ): Đa thức dư (bậc của R(x) < bậc của B(x))

Cần ghi nhớ:

• Nếu ( R(x) = 0 ), A(x) chia hết cho B(x).
• Nếu ( R(x) \neq 0 ), phép chia A(x) cho B(x) là phép chia có dư.

Cách chia đa thức một biến cho đơn thức

Đây là dạng phép chia khá cơ bản. Khi từng hạng tử của đa thức đều chia hết cho đơn thức đã cho, ta có thể xử lý lần lượt từng hạng tử.

Nguyên tắc chia từng hạng tử cho đơn thức

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B, trong trường hợp mọi hạng tử của A đều chia hết cho B, ta chia lần lượt từng hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả thu được.

Công thức:

( (a_1 + a_2 + a_3 + … + a_n) : B = a_1 : B + a_2 : B + a_3 : B + … + a_n : B )

Minh họa cách chia qua hai ví dụ

Ví dụ 1: Thực hiện phép chia ( (15x^3 – 10x^2 + 5x) : 5x )

Lời giải:

( (15x^3 – 10x^2 + 5x) : 5x )

( = 15x^3 : 5x – 10x^2 : 5x + 5x : 5x )

( = 3x^2 – 2x + 1 )

Ví dụ 2: Thực hiện phép chia ( (12x^4 + 8x^3 – 4x^2) : 4x^2 )

Lời giải:

( (12x^4 + 8x^3 – 4x^2) : 4x^2 )

( = 12x^4 : 4x^2 + 8x^3 : 4x^2 – 4x^2 : 4x^2 )

( = 3x^2 + 2x – 1 )

Hướng dẫn chia đa thức một biến cho đa thức

Khi số chia cũng là một đa thức, cách xử lý sẽ gồm nhiều bước hơn. Phương pháp thường sử dụng là chia theo cột dọc, có trình tự khá giống phép chia số tự nhiên.

Trình tự thực hiện phép chia đa thức

Có thể chia đa thức A(x) cho đa thức B(x) theo 4 bước sau:

1. Bước 1: Sắp xếp hai đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.
2. Bước 2: Lấy hạng tử bậc cao nhất của A(x) chia cho hạng tử bậc cao nhất của B(x) để xác định hạng tử đầu tiên của thương.
3. Bước 3: Nhân hạng tử vừa tìm với B(x), sau đó lấy đa thức bị chia trừ đi tích vừa nhận được.
4. Bước 4: Tiếp tục quá trình chia với phần dư mới cho đến khi phần dư bằng 0 hoặc có bậc thấp hơn B(x).

Cách bố trí các thành phần khi chia theo cột

Phân tích một phép chia đa thức qua từng bước

Để hình dung rõ quy trình trên, xét một phép tính cụ thể và lần lượt xác định từng hạng tử của thương.

Ví dụ: Thực hiện phép chia ( (2x^4 – 5x^3 + 2x^2 + 2x – 3) : (x^2 – x – 1) )

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Hai đa thức đã được viết theo thứ tự lũy thừa giảm dần:

• Đa thức bị chia: ( A(x) = 2x^4 – 5x^3 + 2x^2 + 2x – 3 )
• Đa thức chia: ( B(x) = x^2 – x – 1 )

Bước 2: Xác định hạng tử đầu tiên của thương

( 2x^4 : x^2 = 2x^2 )

Vậy (2x^2) là hạng tử đầu tiên của thương.

Bước 3: Nhân ngược lại và thực hiện phép trừ

( 2x^2 \cdot (x^2 – x – 1) = 2x^4 – 2x^3 – 2x^2 )

( (2x^4 – 5x^3 + 2x^2 + 2x – 3) – (2x^4 – 2x^3 – 2x^2) = -3x^3 + 4x^2 + 2x – 3 )

Bước 4: Tiếp tục chia phần dư vừa tìm được

( -3x^3 : x^2 = -3x )

( -3x \cdot (x^2 – x – 1) = -3x^3 + 3x^2 + 3x )

( (-3x^3 + 4x^2 + 2x – 3) – (-3x^3 + 3x^2 + 3x) = x^2 – x – 3 )

Bước 5: Tìm hạng tử cuối cùng của thương

( x^2 : x^2 = 1 )

( 1 \cdot (x^2 – x – 1) = x^2 – x – 1 )

( (x^2 – x – 3) – (x^2 – x – 1) = -2 )

Kết quả:

• Đa thức thương: ( Q(x) = 2x^2 – 3x + 1 )
• Đa thức dư: ( R(x) = -2 )

Kiểm tra: ( (x^2 – x – 1)(2x^2 – 3x + 1) + (-2) = 2x^4 – 5x^3 + 2x^2 + 2x – 3 ) ✓

Một số dạng ví dụ phép chia đa thức thường gặp

Các ví dụ tiếp theo giúp các em làm quen với cả trường hợp chia hết và những đa thức có hạng tử khuyết.

Ví dụ 1: Thực hiện phép chia ( (x^3 + 2x^2 – 5x + 2) : (x – 1) )

Lời giải:

Kết quả: ( (x^3 + 2x^2 – 5x + 2) : (x – 1) = x^2 + 3x – 2 ) (chia hết)

Ví dụ 2: Thực hiện phép chia ( (6x^3 – 7x^2 – x + 2) : (2x + 1) )

Lời giải:

• ( 6x^3 : 2x = 3x^2 )
• ( 3x^2 \cdot (2x + 1) = 6x^3 + 3x^2 )
• Dư 1: ( -10x^2 – x + 2 )
• ( -10x^2 : 2x = -5x )
• ( -5x \cdot (2x + 1) = -10x^2 – 5x )
• Dư 2: ( 4x + 2 )
• ( 4x : 2x = 2 )
• ( 2 \cdot (2x + 1) = 4x + 2 )
• Dư 3: ( 0 )

Kết quả: ( (6x^3 – 7x^2 – x + 2) : (2x + 1) = 3x^2 – 5x + 2 )

Ví dụ 3: Thực hiện phép chia ( (x^4 – 1) : (x – 1) )

Lời giải:

Do đa thức bị khuyết một số hạng tử, trước tiên viết đầy đủ:

( x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x – 1 )

• ( x^4 : x = x^3 ) → Dư: ( x^3 – 1 )
• ( x^3 : x = x^2 ) → Dư: ( x^2 – 1 )
• ( x^2 : x = x ) → Dư: ( x – 1 )
• ( x : x = 1 ) → Dư: ( 0 )

Kết quả: ( (x^4 – 1) : (x – 1) = x^3 + x^2 + x + 1 )

Bài tập vận dụng phép chia đa thức một biến

Sau khi nắm được cách chia, các em có thể áp dụng trực tiếp vào những bài tập từ cơ bản đến nâng cao dưới đây.

Bài tập 1: Chia đa thức cho đơn thức

• a) ( (9x^4 – 6x^3 + 3x^2) : 3x^2 )
• b) ( (20x^5 – 15x^4 + 10x^3 – 5x^2) : 5x^2 )

Lời giải:

• a) ( (9x^4 – 6x^3 + 3x^2) : 3x^2 = 3x^2 – 2x + 1 )
• b) ( (20x^5 – 15x^4 + 10x^3 – 5x^2) : 5x^2 = 4x^3 – 3x^2 + 2x – 1 )

Bài tập 2: Tính các phép chia sau

• a) ( (x^2 + 5x + 6) : (x + 2) )
• b) ( (x^3 – 8) : (x – 2) )

Lời giải:

• a) ( (x^2 + 5x + 6) : (x + 2) = x + 3 )
• b) ( (x^3 – 8) : (x – 2) = x^2 + 2x + 4 )

Bài tập 3: Xác định thương và dư của phép chia ( (2x^3 + 5x^2 – 2x + 3) : (2x + 1) )

Lời giải:

• ( 2x^3 : 2x = x^2 )
• ( x^2 \cdot (2x + 1) = 2x^3 + x^2 )
• Dư: ( 4x^2 – 2x + 3 )
• ( 4x^2 : 2x = 2x )
• ( 2x \cdot (2x + 1) = 4x^2 + 2x )
• Dư: ( -4x + 3 )
• ( -4x : 2x = -2 )
• ( -2 \cdot (2x + 1) = -4x – 2 )
• Dư: ( 5 )

Kết quả: Thương: ( x^2 + 2x – 2 ), Dư: ( 5 )

Bài tập 4: Tìm giá trị của a để đa thức ( A(x) = x^3 – 2x^2 + x + a ) chia hết cho ( B(x) = x – 1 )

Lời giải:

Để A(x) chia hết cho (x – 1), theo định lý Bézout, ta cần có:

( A(1) = 0 )

( A(1) = 1^3 – 2 \cdot 1^2 + 1 + a = 0 )

( 1 – 2 + 1 + a = 0 )

( a = 0 )

Vậy a = 0.

Bài tập 5: Thực hiện phép chia ( (x^4 + x^3 – 3x^2 + x + 2) : (x^2 + x – 2) )

Lời giải:

• ( x^4 : x^2 = x^2 )
• Nhân: ( x^2(x^2 + x – 2) = x^4 + x^3 – 2x^2 )
• Trừ: ( -x^2 + x + 2 )
• ( -x^2 : x^2 = -1 )
• Nhân: ( -1(x^2 + x – 2) = -x^2 – x + 2 )
• Trừ: ( 2x )

Kết quả: Thương: ( x^2 – 1 ), Dư: ( 2x )

Ghi nhớ để làm tốt phép chia đa thức một biến

Phép chia đa thức một biến sẽ trở nên dễ xử lý hơn khi các em nắm chắc thứ tự các bước. Trước khi chia, hãy kiểm tra đa thức đã được sắp xếp theo lũy thừa giảm dần hay chưa; nếu thiếu hạng tử ở một bậc nào đó, có thể bổ sung hệ số 0 để hạn chế nhầm lẫn. Với phép chia cho đa thức, cần tiếp tục chia đến khi phần dư bằng 0 hoặc bậc của phần dư nhỏ hơn bậc của đa thức chia. Luyện tập nhiều dạng bài sẽ giúp các em nhận biết nhanh cách xử lý và tính toán chính xác hơn.