Máy tính nguyên hàm online (tích phân bất định F(x) + C)
Máy tính nguyên hàm online (tích phân bất định) cho đa thức. Trả về F(x) + C theo quy tắc ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1). Đối chiếu kết quả tự giải, hỗ trợ học sinh khối 12 luyện thi THPT.
Công thức & ví dụ
Định nghĩa nguyên hàm:
F(x) là nguyên hàm của f(x) trên I khi và chỉ khi F′(x) = f(x) với mọi x ∈ I.
Họ tất cả các nguyên hàm gọi là tích phân bất định:
∫ f(x) dx = F(x) + C
với C là hằng số tích phân bất kỳ.
Bảng nguyên hàm cơ bản:
| f(x) | ∫ f(x) dx |
|---|---|
| xⁿ (n ≠ −1) | xⁿ⁺¹/(n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln(a) + C |
| sin(x) | −cos(x) + C |
| cos(x) | sin(x) + C |
| 1/cos²(x) | tan(x) + C |
Ví dụ: ∫ (3x² + 2x − 5) dx
= 3·(x³/3) + 2·(x²/2) − 5x + C = x³ + x² − 5x + C
Hướng dẫn sử dụng
- Nhập đa thức f(x): vd
2x^3 + 5x - 4,x^4 - x^2 + 1. - Nhấn “Tính nguyên hàm”.
- Đọc F(x) + C — luôn nhớ kèm hằng số tích phân C vì nguyên hàm là họ hàm.
- Có thể đối chiếu bằng cách đạo hàm F(x) trở lại, kết quả phải bằng f(x) ban đầu.
Mẹo kiểm tra: nếu kết quả ra F(x), test bằng (F)′ — nếu ra đúng f thì F là nguyên hàm. Đây là nguyên tắc cơ bản của tích phân bất định.
Hạn chế: chỉ hỗ trợ đa thức. Để nguyên hàm hàm có 1/x → ln|x|, sin/cos, e^x cần làm thủ công.
Câu hỏi thường gặp
Hằng số tích phân C có ý nghĩa gì?
C đại diện cho vô số nguyên hàm khác nhau của cùng f(x), chỉ chênh nhau ở hằng số cộng. Vd ∫2x dx = x² + C có thể là x², x²+5, x²-7... Tất cả đều có đạo hàm bằng 2x. Trong bài toán cụ thể, C được xác định bằng điều kiện đầu/biên.
Mọi hàm số đều có nguyên hàm không?
Mọi hàm liên tục trên [a,b] đều có nguyên hàm trên đó (định lý cơ bản giải tích). Tuy nhiên không phải nguyên hàm nào cũng biểu diễn được bằng hàm sơ cấp — vd ∫e^(-x²)dx không có công thức kín, phải dùng hàm đặc biệt erf.
Cách kiểm tra nguyên hàm đúng hay sai?
Đạo hàm kết quả lại. Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) thì F′(x) = f(x). Vd kiểm tra ∫(3x²+2)dx = x³+2x+C: đạo hàm (x³+2x+C)′ = 3x²+2 ✓.
Tại sao nguyên hàm hay đi đôi với "+C"?
Vì nguyên hàm là họ vô số hàm (đạo hàm của hằng số là 0). Bỏ "+C" khi viết đáp án là thiếu — chỉ ra 1 trong vô số nguyên hàm. Trong bài thi, bỏ "+C" sẽ bị trừ điểm.