Độ dài dây cung: Công thức tính, cách tính dây cung và bài tập
Độ dài dây cung là kiến thức quan trọng trong chương trình hình học đường tròn. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững công thức tính độ dài dây cung, cách tính độ dài dây cung theo bán kính, góc ở tâm, khoảng cách từ tâm đến dây cùng các ví dụ minh họa chi tiết và dễ hiểu nhất.
Dây cung là gì?
Trước khi tìm hiểu công thức tính độ dài dây cung, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản:
Định nghĩa dây cung
Định nghĩa: Dây cung là đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ nằm trên đường tròn.
Đường kính: Là dây cung đi qua tâm đường tròn, có độ dài lớn nhất và bằng 2R.
Hình minh họa
A
/|
/ |
/ |
/ | d (khoảng cách từ tâm)
/ |
/ |H
/______|_______
O M B
- O: Tâm đường tròn
- R: Bán kính (OA = OB = R)
- AB: Dây cung
- OH = d: Khoảng cách từ tâm đến dây cung
- H: Chân đường vuông góc từ O đến AB
- M: Trung điểm của AB (H ≡ M)
Các yếu tố liên quan đến dây cung
| Yếu tố | Ký hiệu | Mô tả |
|---|---|---|
| Độ dài dây cung | AB hoặc c | Khoảng cách giữa hai điểm trên đường tròn |
| Bán kính | R | Khoảng cách từ tâm đến điểm trên đường tròn |
| Góc ở tâm | \( \alpha \) hoặc \( \theta \) | Góc tạo bởi hai bán kính đi qua hai đầu dây |
| Khoảng cách từ tâm | d hoặc h | Khoảng cách từ tâm O đến dây cung |
| Cung | \( \stackrel\frown{AB} \) | Phần đường tròn bị giới hạn bởi hai điểm A, B |
Tiếp theo, hãy xem công thức tính độ dài dây cung chi tiết.
Công thức tính độ dài dây cung
Công thức tính độ dài dây cung có nhiều dạng tùy thuộc vào dữ kiện đã biết:
Công thức 1: Theo bán kính và góc ở tâm
Đây là công thức quan trọng nhất để tính dây cung:
\[ c = 2R \sin\frac{\alpha}{2} \]
Trong đó:
- \( c \): Độ dài dây cung
- \( R \): Bán kính đường tròn
- \( \alpha \): Góc ở tâm (đơn vị độ hoặc radian)
Chứng minh:
Gọi H là trung điểm của dây AB. Tam giác OAB cân tại O nên OH vuông góc với AB.
Trong tam giác vuông OAH:
\[ AH = OA \cdot \sin\frac{\alpha}{2} = R \sin\frac{\alpha}{2} \]
\[ AB = 2 \cdot AH = 2R \sin\frac{\alpha}{2} \]
Công thức 2: Theo bán kính và khoảng cách từ tâm
\[ c = 2\sqrt{R^2 – d^2} \]
Trong đó:
- \( c \): Độ dài dây cung
- \( R \): Bán kính đường tròn
- \( d \): Khoảng cách từ tâm O đến dây cung
Chứng minh:
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông OHA:
\[ OA^2 = OH^2 + AH^2 \]
\[ R^2 = d^2 + AH^2 \]
\[ AH = \sqrt{R^2 – d^2} \]
\[ AB = 2 \cdot AH = 2\sqrt{R^2 – d^2} \]
Công thức 3: Theo đường kính và góc nội tiếp
Nếu góc nội tiếp \( \beta \) chắn dây cung AB:
\[ c = 2R \sin\beta \]
Lưu ý: Góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung, nên \( \beta = \frac{\alpha}{2} \).
Công thức 4: Theo tọa độ hai đầu mút
Nếu biết tọa độ hai điểm A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂):
\[ c = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} \]
Bảng tổng hợp công thức tính độ dài dây cung
| STT | Công thức tính dây cung | Điều kiện áp dụng |
|---|---|---|
| 1 | \( c = 2R\sin\frac{\alpha}{2} \) | Biết R và góc ở tâm α |
| 2 | \( c = 2\sqrt{R^2 – d^2} \) | Biết R và khoảng cách d từ tâm |
| 3 | \( c = 2R\sin\beta \) | Biết R và góc nội tiếp β |
| 4 | \( c = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \) | Biết tọa độ hai đầu mút |
| 5 | \( c = 2R \) (đường kính) | Dây cung đi qua tâm (α = 180°) |
Cách tính độ dài dây cung theo từng trường hợp
Cách tính độ dài dây cung phụ thuộc vào dữ kiện đề bài cho:
Trường hợp 1: Biết bán kính R và góc ở tâm α
Các bước thực hiện:
- Xác định bán kính R và góc ở tâm α
- Đổi góc α sang radian nếu cần (hoặc giữ nguyên độ)
- Áp dụng công thức: \( c = 2R\sin\frac{\alpha}{2} \)
- Tính toán và kết luận
Ví dụ: Đường tròn bán kính R = 10 cm, góc ở tâm α = 60°. Tính độ dài dây cung.
\[ c = 2 \times 10 \times \sin\frac{60°}{2} = 20 \times \sin 30° = 20 \times 0,5 = 10 \text{ cm} \]
Trường hợp 2: Biết bán kính R và khoảng cách d
Các bước thực hiện:
- Xác định bán kính R và khoảng cách d từ tâm đến dây
- Kiểm tra điều kiện: d < R (nếu d = R thì dây tiếp xúc, d > R thì không có dây)
- Áp dụng công thức: \( c = 2\sqrt{R^2 – d^2} \)
- Tính toán và kết luận
Ví dụ: Đường tròn bán kính R = 13 cm, khoảng cách từ tâm đến dây d = 5 cm. Tính dây cung.
\[ c = 2\sqrt{13^2 – 5^2} = 2\sqrt{169 – 25} = 2\sqrt{144} = 2 \times 12 = 24 \text{ cm} \]
Trường hợp 3: Biết bán kính R và góc nội tiếp β
Các bước thực hiện:
- Xác định bán kính R và góc nội tiếp β
- Áp dụng công thức: \( c = 2R\sin\beta \)
- Tính toán và kết luận
Ví dụ: Đường tròn bán kính R = 8 cm, góc nội tiếp chắn cung là 45°. Tính độ dài dây cung.
\[ c = 2 \times 8 \times \sin 45° = 16 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2} \approx 11,31 \text{ cm} \]
Bảng giá trị đặc biệt
Các giá trị độ dài dây cung với góc ở tâm đặc biệt (R = 1):
| Góc ở tâm α | \( \sin\frac{\alpha}{2} \) | Độ dài dây cung (c = 2R sin(α/2)) |
|---|---|---|
| 30° | \( \sin 15° \approx 0,259 \) | \( c \approx 0,518R \) |
| 60° | \( \sin 30° = 0,5 \) | \( c = R \) |
| 90° | \( \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( c = R\sqrt{2} \approx 1,414R \) |
| 120° | \( \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( c = R\sqrt{3} \approx 1,732R \) |
| 180° | \( \sin 90° = 1 \) | \( c = 2R \) (đường kính) |
Mối quan hệ giữa dây cung và các yếu tố khác
Độ dài dây cung có mối quan hệ chặt chẽ với nhiều yếu tố trong đường tròn:
1. Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách từ tâm
Định lý: Trong một đường tròn:
- Dây cung càng gần tâm thì càng dài
- Dây cung càng xa tâm thì càng ngắn
- Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
- Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
Công thức liên hệ:
\[ d = \sqrt{R^2 – \frac{c^2}{4}} \]
2. Quan hệ giữa dây cung và góc ở tâm
Định lý:
- Góc ở tâm càng lớn thì dây cung càng dài (với 0° < α ≤ 180°)
- Hai dây bằng nhau thì căng hai cung bằng nhau
- Hai cung bằng nhau thì căng hai dây bằng nhau
Công thức tính góc ở tâm từ dây cung:
\[ \alpha = 2\arcsin\frac{c}{2R} \]
3. Quan hệ giữa dây cung và độ dài cung
Độ dài cung:
\[ l = R \cdot \alpha \quad (\alpha \text{ tính bằng radian}) \]
Hoặc:
\[ l = \frac{\pi R \alpha}{180°} \quad (\alpha \text{ tính bằng độ}) \]
Lưu ý: Độ dài cung luôn lớn hơn độ dài dây cung (trừ khi α = 0).
Bảng so sánh dây cung và cung
| Đặc điểm | Dây cung | Cung tròn |
|---|---|---|
| Hình dạng | Đoạn thẳng | Đường cong |
| Công thức độ dài | \( c = 2R\sin\frac{\alpha}{2} \) | \( l = R\alpha \) (radian) |
| Độ dài tối đa | 2R (đường kính) | \( \pi R \) (nửa đường tròn) |
| Khi α = 60° | \( c = R \) | \( l = \frac{\pi R}{3} \approx 1,047R \) |
| Khi α = 90° | \( c = R\sqrt{2} \) | \( l = \frac{\pi R}{2} \approx 1,571R \) |
| Khi α = 180° | \( c = 2R \) | \( l = \pi R \approx 3,14R \) |
4. Quan hệ với diện tích
Diện tích hình quạt:
\[ S_{quạt} = \frac{1}{2}R^2\alpha = \frac{1}{2}Rl \quad (\alpha \text{ radian}) \]
Diện tích hình viên phân:
\[ S_{viên phân} = \frac{R^2}{2}(\alpha – \sin\alpha) \quad (\alpha \text{ radian}) \]
Các tính chất quan trọng của dây cung
Khi tính dây cung, cần nắm vững các tính chất sau:
Tính chất 1: Đường kính vuông góc với dây
Định lý: Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây đó và chia đôi các cung bị chắn.
Hệ quả: Đường thẳng đi qua tâm và vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây.
Tính chất 2: Đường nối tâm và trung điểm dây
Định lý: Đường thẳng đi qua tâm và trung điểm của một dây (không phải đường kính) thì vuông góc với dây đó.
Tính chất 3: Trung trực của dây cung
Định lý: Đường trung trực của một dây cung đi qua tâm đường tròn.
Tính chất 4: Dây cung và góc nội tiếp
Định lý:
- Góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông
Tính chất 5: Dây cung lớn nhất
Định lý: Trong các dây cung của một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất.
\[ c_{max} = 2R \]
Bảng tổng hợp tính chất
| STT | Tính chất | Ứng dụng |
|---|---|---|
| 1 | OH ⊥ AB ⇒ H là trung điểm AB | Tìm trung điểm dây cung |
| 2 | H là trung điểm AB ⇒ OH ⊥ AB | Chứng minh vuông góc |
| 3 | AB = CD ⇔ d(O, AB) = d(O, CD) | So sánh độ dài dây |
| 4 | Góc nội tiếp = ½ góc ở tâm | Tính góc và dây cung |
| 5 | Đường kính là dây cung lớn nhất | Tìm dây cung max |
Ví dụ tính độ dài dây cung chi tiết
Dưới đây là các ví dụ minh họa cách tính độ dài dây cung từ cơ bản đến nâng cao:
Ví dụ 1: Tính dây cung khi biết R và góc ở tâm
Đề bài: Đường tròn (O; R) với R = 6 cm, góc ở tâm α = 120°. Tính độ dài dây cung AB.
Lời giải:
Áp dụng công thức tính độ dài dây cung:
\[ AB = 2R\sin\frac{\alpha}{2} = 2 \times 6 \times \sin\frac{120°}{2} \]
\[ = 12 \times \sin 60° = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \approx 10,39 \text{ cm} \]
Đáp số: AB = 6√3 ≈ 10,39 cm
Ví dụ 2: Tính dây cung khi biết R và khoảng cách từ tâm
Đề bài: Đường tròn (O; 10) có dây AB cách tâm O một khoảng 6 cm. Tính dây cung AB.
Lời giải:
Áp dụng công thức:
\[ AB = 2\sqrt{R^2 – d^2} = 2\sqrt{10^2 – 6^2} \]
\[ = 2\sqrt{100 – 36} = 2\sqrt{64} = 2 \times 8 = 16 \text{ cm} \]
Đáp số: AB = 16 cm
Ví dụ 3: Tính bán kính khi biết dây cung và khoảng cách
Đề bài: Dây cung AB = 24 cm cách tâm O một khoảng 5 cm. Tính bán kính đường tròn.
Lời giải:
Gọi H là trung điểm AB, ta có:
\[ AH = \frac{AB}{2} = 12 \text{ cm} \]
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác OHA:
\[ R^2 = OH^2 + AH^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \]
\[ R = 13 \text{ cm} \]
Đáp số: R = 13 cm
Ví dụ 4: Tính góc ở tâm khi biết dây cung và bán kính
Đề bài: Đường tròn bán kính R = 8 cm có dây cung AB = 8 cm. Tính góc ở tâm AOB.
Lời giải:
Từ công thức: \( AB = 2R\sin\frac{\alpha}{2} \)
\[ 8 = 2 \times 8 \times \sin\frac{\alpha}{2} \]
\[ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \]
\[ \frac{\alpha}{2} = 30° \]
\[ \alpha = 60° \]
Đáp số: Góc ở tâm AOB = 60°
Ví dụ 5: So sánh hai dây cung
Đề bài: Trong đường tròn (O; 10), dây AB cách tâm 6 cm, dây CD cách tâm 8 cm. So sánh độ dài hai dây.
Lời giải:
Tính AB:
\[ AB = 2\sqrt{10^2 – 6^2} = 2\sqrt{64} = 16 \text{ cm} \]
Tính CD:
\[ CD = 2\sqrt{10^2 – 8^2} = 2\sqrt{36} = 12 \text{ cm} \]
Kết luận: AB > CD (vì dây AB gần tâm hơn nên dài hơn)
Ví dụ 6: Bài toán hình học tổng hợp
Đề bài: Cho đường tròn (O; R), hai dây AB và CD vuông góc với nhau tại M. Biết MA = 4 cm, MB = 9 cm, MC = 6 cm. Tính MD và bán kính R.
Lời giải:
Áp dụng tính chất hai dây cắt nhau:
\[ MA \times MB = MC \times MD \]
\[ 4 \times 9 = 6 \times MD \]
\[ MD = 6 \text{ cm} \]
Tính các dây:
\[ AB = MA + MB = 4 + 9 = 13 \text{ cm} \]
\[ CD = MC + MD = 6 + 6 = 12 \text{ cm} \]
Gọi H, K lần lượt là trung điểm AB và CD:
\[ OH = |MH| = \left|\frac{AB}{2} – MA\right| = \left|\frac{13}{2} – 4\right| = 2,5 \text{ cm} \]
\[ OK = |MK| = \left|\frac{CD}{2} – MC\right| = |6 – 6| = 0 \text{ cm} \]
Vì AB ⊥ CD và OK = 0 nên O nằm trên CD.
\[ R^2 = OH^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2 \]
(Bài toán cần thêm điều kiện để xác định R chính xác)
Ví dụ 7: Dây cung trong tam giác nội tiếp
Đề bài: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) với R = 5 cm, góc A = 30°. Tính độ dài cạnh BC.
Lời giải:
BC là dây cung chắn góc nội tiếp A = 30°.
Áp dụng công thức:
\[ BC = 2R\sin A = 2 \times 5 \times \sin 30° = 10 \times 0,5 = 5 \text{ cm} \]
Đáp số: BC = 5 cm
Bài tập tính dây cung (có lời giải)
Dưới đây là các bài tập về công thức tính độ dài dây cung từ cơ bản đến nâng cao:
Dạng 1: Tính dây cung theo R và góc ở tâm
Bài tập 1: Tính độ dài dây cung AB của đường tròn (O; R) với:
a) R = 10 cm, α = 60°
b) R = 8 cm, α = 90°
c) R = 12 cm, α = 45°
Lời giải:
a) \( AB = 2 \times 10 \times \sin 30° = 20 \times 0,5 = 10 \) cm
b) \( AB = 2 \times 8 \times \sin 45° = 16 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2} \approx 11,31 \) cm
c) \( AB = 2 \times 12 \times \sin 22,5° \approx 24 \times 0,383 \approx 9,19 \) cm
Dạng 2: Tính dây cung theo R và khoảng cách từ tâm
Bài tập 2: Tính dây cung AB với:
a) R = 5 cm, d = 3 cm
b) R = 17 cm, d = 8 cm
c) R = 25 cm, d = 7 cm
Lời giải:
a) \( AB = 2\sqrt{25 – 9} = 2\sqrt{16} = 8 \) cm
b) \( AB = 2\sqrt{289 – 64} = 2\sqrt{225} = 30 \) cm
c) \( AB = 2\sqrt{625 – 49} = 2\sqrt{576} = 48 \) cm
Dạng 3: Tìm bán kính hoặc khoảng cách
Bài tập 3: Tìm R hoặc d:
a) AB = 16 cm, d = 6 cm. Tìm R.
b) AB = 10 cm, R = 13 cm. Tìm d.
Lời giải:
a) \( R = \sqrt{d^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2} = \sqrt{36 + 64} = 10 \) cm
b) \( d = \sqrt{R^2 – \left(\frac{AB}{2}\right)^2} = \sqrt{169 – 25} = 12 \) cm
Dạng 4: Tính góc ở tâm
Bài tập 4: Đường tròn (O; 10) có dây AB = 10 cm. Tính góc ở tâm AOB.
Lời giải:
\[ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{AB}{2R} = \frac{10}{20} = 0,5 \]
\[ \frac{\alpha}{2} = 30° \Rightarrow \alpha = 60° \]
Dạng 5: So sánh các dây cung
Bài tập 5: Trong đường tròn (O; 13), có các dây: AB cách tâm 5 cm, CD cách tâm 12 cm. Tính và so sánh độ dài các dây.
Lời giải:
\[ AB = 2\sqrt{169 – 25} = 2\sqrt{144} = 24 \text{ cm} \]
\[ CD = 2\sqrt{169 – 144} = 2\sqrt{25} = 10 \text{ cm} \]
Vậy AB > CD
Dạng 6: Bài toán tổng hợp
Bài tập 6: Cho đường tròn (O; 10), dây AB có độ dài 16 cm. Tính:
a) Khoảng cách từ tâm đến dây AB
b) Góc ở tâm AOB
c) Độ dài cung nhỏ AB
Lời giải:
a) \( d = \sqrt{100 – 64} = 6 \) cm
b) \( \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{8}{10} = 0,8 \Rightarrow \frac{\alpha}{2} \approx 53,13° \Rightarrow \alpha \approx 106,26° \)
c) \( l = \frac{\pi R \alpha}{180°} = \frac{\pi \times 10 \times 106,26}{180} \approx 18,55 \) cm
Dạng 7: Bài toán thực tế
Bài tập 7: Một cây cầu hình cung có dạng cung tròn với bán kính 50 m, góc ở tâm 60°. Tính độ dài dây cung (khoảng cách giữa hai đầu cầu theo đường thẳng).
Lời giải:
\[ c = 2R\sin\frac{\alpha}{2} = 2 \times 50 \times \sin 30° = 100 \times 0,5 = 50 \text{ m} \]
Đáp số: 50 m
Kết luận
Qua bài viết này, bạn đã nắm vững công thức tính độ dài dây cung với hai công thức chính: \( c = 2R\sin\frac{\alpha}{2} \) (theo góc ở tâm) và \( c = 2\sqrt{R^2 – d^2} \) (theo khoảng cách từ tâm). Cách tính độ dài dây cung phụ thuộc vào dữ kiện đề bài cho, cần xác định rõ bán kính R, góc ở tâm α hoặc khoảng cách d. Độ dài dây cung có mối quan hệ chặt chẽ với các yếu tố khác trong đường tròn như góc nội tiếp, độ dài cung, diện tích hình quạt. Nắm vững công thức tính dây cung sẽ giúp bạn giải quyết hiệu quả các bài toán hình học đường tròn.
Có thể bạn quan tâm
- Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Công thức, cách tính lớp 12
- Diện tích hình quạt tròn - Hướng dẫn công thức tính và ví dụ dễ hiểu
- Phương trình lượng giác đặc biệt: sin x = 0, sin x = 1 và công thức
- Nội tiếp là gì? 📐 Nghĩa, giải thích Nội tiếp
- Không gian Euclide là gì? Euclidean, tính chất và ứng dụng chi tiết
