Tứ diện đều: Định nghĩa, tính chất và công thức tính đầy đủ nhất
Tứ diện đều là một trong những hình khối quan trọng nhất trong hình học không gian. Bài viết này giải thích chi tiết hình tứ diện đều là gì, phân biệt với hình chóp tam giác đều, tổng hợp đầy đủ tính chất tứ diện đều và các công thức tính toán. Đồng thời giải đáp thắc mắc “hình chóp tam giác đều có mặt bên là hình gì” kèm ví dụ minh họa dễ hiểu.
1. Tứ diện đều là gì?
Trước tiên, cần hiểu rõ định nghĩa tứ diện đều và phân biệt với các khái niệm liên quan:
1.1. Định nghĩa tứ diện đều
Tứ diện đều (hay hình tứ diện đều) là hình chóp tam giác có tất cả bốn mặt đều là các tam giác đều bằng nhau.
Đặc điểm nhận dạng:
- Có 4 mặt là 4 tam giác đều bằng nhau
- Có 6 cạnh bằng nhau
- Có 4 đỉnh
- Mỗi đỉnh là đỉnh chung của 3 tam giác đều
1.2. Phân biệt các khái niệm
Nhiều học sinh nhầm lẫn giữa các khái niệm. Dưới đây là bảng phân biệt:
| Khái niệm | Định nghĩa | Đặc điểm |
|---|---|---|
| Tứ diện | Hình chóp có đáy là tam giác | 4 mặt tam giác bất kỳ |
| Tứ diện đều | Tứ diện có 4 mặt là tam giác đều bằng nhau | 6 cạnh bằng nhau, 4 mặt tam giác đều |
| Hình chóp tam giác | Hình chóp có đáy là tam giác | Giống tứ diện |
| Hình chóp tam giác đều | Hình chóp có đáy là tam giác đều, các cạnh bên bằng nhau | Đáy tam giác đều, 3 mặt bên cân bằng nhau |
1.3. Tứ diện đều có phải là hình chóp tam giác đều không?
Tứ diện đều là trường hợp đặc biệt của hình chóp tam giác đều khi các mặt bên cũng là tam giác đều (tức cạnh bên bằng cạnh đáy).
So sánh:
| Tiêu chí | Hình chóp tam giác đều | Tứ diện đều |
|---|---|---|
| Đáy | Tam giác đều | Tam giác đều |
| Mặt bên | 3 tam giác cân bằng nhau | 3 tam giác đều bằng nhau |
| Cạnh bên | Bằng nhau | Bằng cạnh đáy |
| Tổng số mặt tam giác đều | 1 (chỉ đáy) | 4 (cả đáy và mặt bên) |
2. Hình chóp tam giác đều có mặt bên là hình gì?
Đây là câu hỏi thường gặp. Câu trả lời phụ thuộc vào loại hình chóp:
2.1. Trường hợp hình chóp tam giác đều (tổng quát)
Hình chóp tam giác đều có mặt bên là hình gì?
Đáp án: Mặt bên của chóp tam giác đều là các tam giác cân bằng nhau.
Giải thích:
- Đáy là tam giác đều ABC cạnh a
- Đỉnh S cách đều 3 đỉnh A, B, C → SA = SB = SC = b (cạnh bên)
- Mỗi mặt bên (ví dụ SAB) có: SA = SB = b, AB = a
- → Tam giác SAB là tam giác cân tại S
2.2. Trường hợp tứ diện đều
Khi cạnh bên bằng cạnh đáy (b = a), hình chóp tam giác đều trở thành tứ diện đều.
Lúc này, mặt bên là các tam giác đều.
2.3. Tổng kết
| Loại hình chóp | Mặt bên là hình gì |
|---|---|
| Chóp tam giác đều (cạnh bên ≠ cạnh đáy) | Tam giác cân |
| Tứ diện đều (cạnh bên = cạnh đáy) | Tam giác đều |
3. Tính chất tứ diện đều
Dưới đây là các tính chất tứ diện đều quan trọng:
3.1. Tính chất về cạnh và mặt
| Thành phần | Số lượng | Tính chất |
|---|---|---|
| Đỉnh | 4 | Mỗi đỉnh là đỉnh chung của 3 mặt |
| Cạnh | 6 | Tất cả bằng nhau |
| Mặt | 4 | 4 tam giác đều bằng nhau |
3.2. Tính chất về tâm và trục đối xứng
Tứ diện đều có các tính chất đối xứng đặc biệt:
- Tâm đối xứng: Không có tâm đối xứng
- Mặt phẳng đối xứng: Có 6 mặt phẳng đối xứng, mỗi mặt phẳng đi qua một cạnh và trung điểm cạnh đối diện
- Trục đối xứng: Không có trục đối xứng
3.3. Tính chất về đường cao và trọng tâm
Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a:
- Tâm của tứ diện đều: Là điểm cách đều 4 đỉnh và cách đều 4 mặt
- Đường cao: Hạ từ một đỉnh xuống mặt đối diện, đi qua trọng tâm của mặt đó
- 4 đường cao đồng quy tại tâm của tứ diện
- Tâm chia mỗi đường cao theo tỉ lệ 3:1 (tính từ đỉnh)
3.4. Tính chất về các cạnh đối
Trong tứ diện đều, có 3 cặp cạnh đối:
- AB và CD
- AC và BD
- AD và BC
Tính chất:
- Hai cạnh đối vuông góc với nhau
- Hai cạnh đối có chung trung điểm (đường nối trung điểm hai cạnh đối đi qua tâm)
4. Các công thức tính toán trong tứ diện đều
Cho tứ diện đều cạnh a, các công thức quan trọng:
4.1. Bảng công thức tứ diện đều
| Đại lượng | Công thức |
|---|---|
| Chiều cao h | \( h = a\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3} \) |
| Diện tích một mặt | \( S_1 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \) |
| Diện tích toàn phần | \( S_{tp} = 4 \times \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3} \) |
| Thể tích | \( V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12} \) |
| Bán kính mặt cầu ngoại tiếp R | \( R = \frac{a\sqrt{6}}{4} \) |
| Bán kính mặt cầu nội tiếp r | \( r = \frac{a\sqrt{6}}{12} = \frac{R}{3} \) |
| Khoảng cách hai cạnh đối | \( d = \frac{a\sqrt{2}}{2} \) |
4.2. Chứng minh công thức chiều cao
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là chân đường cao hạ từ D.
H là trọng tâm của tam giác đều ABC, nên:
\[ AH = \frac{2}{3} \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3} \]
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác DAH vuông tại H:
\[ h = DH = \sqrt{DA^2 – AH^2} = \sqrt{a^2 – \frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3} \]
4.3. Chứng minh công thức thể tích
Thể tích hình tứ diện đều:
\[ V = \frac{1}{3} \times S_{đáy} \times h = \frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \times \frac{a\sqrt{6}}{3} \]
\[ V = \frac{a^3\sqrt{18}}{36} = \frac{a^3 \times 3\sqrt{2}}{36} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12} \]
4.4. Mối liên hệ R và r
Trong tứ diện đều:
\[ R = 3r \]
Hay: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp gấp 3 lần bán kính mặt cầu nội tiếp.
5. Hình chóp tam giác đều – Công thức tổng quát
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên b:
5.1. Bảng công thức chóp tam giác đều
| Đại lượng | Công thức |
|---|---|
| Chiều cao h | \( h = \sqrt{b^2 – \frac{a^2}{3}} \) |
| Trung đoạn (apothem) l | \( l = \sqrt{b^2 – \frac{a^2}{4}} \) |
| Diện tích đáy | \( S_{đáy} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \) |
| Diện tích xung quanh | \( S_{xq} = \frac{3}{2} \times a \times l = \frac{3a}{2}\sqrt{b^2 – \frac{a^2}{4}} \) |
| Thể tích | \( V = \frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \times h \) |
5.2. Trường hợp đặc biệt: b = a (tứ diện đều)
Khi b = a, chóp tam giác đều trở thành tứ diện đều:
\[ h = \sqrt{a^2 – \frac{a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3} \]
6. Cách vẽ tứ diện đều
Để vẽ hình tứ diện đều ABCD:
6.1. Các bước vẽ
- Bước 1: Vẽ tam giác đều ABC (thường vẽ hình bình hành ABCE với AC là đường chéo để tạo hiệu ứng 3D)
- Bước 2: Xác định trọng tâm G của tam giác ABC
- Bước 3: Dựng đường thẳng đi qua G vuông góc với mặt phẳng (ABC)
- Bước 4: Lấy điểm D trên đường thẳng đó sao cho DA = DB = DC = AB
- Bước 5: Nối D với A, B, C
6.2. Quy ước vẽ hình
- Cạnh nhìn thấy: nét liền
- Cạnh khuất: nét đứt
- Thường đặt một mặt làm đáy (nằm ngang)
7. Ví dụ và bài tập minh họa
Dưới đây là các bài tập về tứ diện đều và hình chóp tam giác đều:
Bài tập 1: Tính chiều cao và thể tích tứ diện đều
Đề bài: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a = 6 cm. Tính:
- Chiều cao của tứ diện
- Thể tích tứ diện
- Diện tích toàn phần
Lời giải:
a) Chiều cao:
\[ h = \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6} \approx 4,90 \, cm \]
b) Thể tích:
\[ V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12} = \frac{6^3\sqrt{2}}{12} = \frac{216\sqrt{2}}{12} = 18\sqrt{2} \approx 25,46 \, cm^3 \]
c) Diện tích toàn phần:
\[ S_{tp} = a^2\sqrt{3} = 36\sqrt{3} \approx 62,35 \, cm^2 \]
Bài tập 2: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp
Đề bài: Cho hình tứ diện đều cạnh a = 4 cm. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp R và nội tiếp r.
Lời giải:
Bán kính ngoại tiếp:
\[ R = \frac{a\sqrt{6}}{4} = \frac{4\sqrt{6}}{4} = \sqrt{6} \approx 2,45 \, cm \]
Bán kính nội tiếp:
\[ r = \frac{a\sqrt{6}}{12} = \frac{4\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 0,82 \, cm \]
Kiểm tra: \( R = 3r = 3 \times \frac{\sqrt{6}}{3} = \sqrt{6} \) ✓
Bài tập 3: Hình chóp tam giác đều
Đề bài: Cho chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a = 6 cm, cạnh bên b = 5 cm. Tính:
- Chiều cao của hình chóp
- Thể tích hình chóp
Lời giải:
a) Chiều cao:
\[ h = \sqrt{b^2 – \frac{a^2}{3}} = \sqrt{25 – \frac{36}{3}} = \sqrt{25 – 12} = \sqrt{13} \approx 3,61 \, cm \]
b) Thể tích:
\[ S_{đáy} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \, cm^2 \]
\[ V = \frac{1}{3} \times 9\sqrt{3} \times \sqrt{13} = 3\sqrt{39} \approx 18,73 \, cm^3 \]
Bài tập 4: Khoảng cách hai cạnh đối
Đề bài: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối AB và CD.
Lời giải:
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Trong tứ diện đều, MN vuông góc với cả AB và CD, nên:
\[ d(AB, CD) = MN \]
Tính MN:
- Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
- \( MG = \frac{1}{3} \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6} \)
- \( GN = h = \frac{a\sqrt{6}}{3} \) (chiều cao tứ diện)
Tuy nhiên, có công thức trực tiếp:
\[ d = \frac{a\sqrt{2}}{2} \]
Kết luận: Khoảng cách giữa hai cạnh đối bằng \( \frac{a\sqrt{2}}{2} \)
Bài tập 5: Góc giữa cạnh bên và mặt đáy
Đề bài: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính góc giữa cạnh bên DA và mặt đáy (BCD).
Lời giải:
Gọi H là chân đường cao từ A xuống mặt (BCD). H là trọng tâm của tam giác đều BCD.
Góc giữa DA và (BCD) là góc \( \widehat{DAH} \).
Ta có:
- \( DH = \frac{2}{3} \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3} \)
- \( DA = a \)
\[ \cos\widehat{DAH} = \frac{DH}{DA} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
\[ \widehat{DAH} = \arccos\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 54°44′ \]
Bài tập 6: Trắc nghiệm
Đề bài: Hình chóp tam giác đều có mặt bên là hình gì?
- Tam giác đều
- Tam giác cân
- Tam giác vuông
- Tam giác thường
Đáp án: B. Tam giác cân
Giải thích: Trong chóp tam giác đều, các cạnh bên bằng nhau nên mỗi mặt bên là tam giác cân tại đỉnh.
8. Một số lưu ý quan trọng
Khi làm bài về tứ diện đều và hình chóp tam giác, cần lưu ý:
| Lưu ý | Giải thích |
|---|---|
| Phân biệt khái niệm | Tứ diện đều ≠ Hình chóp tam giác đều (trừ khi cạnh bên = cạnh đáy) |
| Chân đường cao | Trong tứ diện đều, chân đường cao là trọng tâm của mặt đối diện |
| Tính đối xứng | Mỗi đỉnh của tứ diện đều đều có vai trò như nhau |
| Mối quan hệ R = 3r | Đây là tính chất đặc trưng của tứ diện đều |
9. Kết luận
Tứ diện đều là hình khối đặc biệt với nhiều tính chất đối xứng đẹp. Để nắm vững chủ đề này, học sinh cần:
- Hiểu rõ định nghĩa hình tứ diện đều và phân biệt với hình chóp tam giác đều
- Ghi nhớ các tính chất tứ diện đều: 4 mặt tam giác đều, 6 cạnh bằng nhau, cạnh đối vuông góc
- Nắm vững các công thức: chiều cao \( h = \frac{a\sqrt{6}}{3} \), thể tích \( V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12} \)
- Luyện tập các bài toán về chóp tam giác và tứ diện đều
Hy vọng bài viết này giúp bạn hiểu rõ tứ diện đều và tự tin giải quyết mọi bài toán liên quan!
Có thể bạn quan tâm
