Tính tổng: Công thức tính tổng dãy số, tổng các số hạng chi tiết

Tính tổng là một trong những kỹ năng cơ bản và quan trọng nhất trong Toán học, xuất hiện từ chương trình Tiểu học đến Đại học và các kỳ thi học sinh giỏi. Tính tổng là phép toán cộng các số hạng của một dãy số theo quy luật nhất định, sử dụng các công thức và phương pháp như cấp số cộng, cấp số nhân, phân tích phân số, sai phân. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn nắm vững các công thức và phương pháp tính tổng hiệu quả.

1. Tính tổng là gì?

Tính tổng là việc tìm giá trị của phép cộng nhiều số hạng:

1.1. Khái niệm

Tổng của n số hạng a₁, a₂, a₃, …, aₙ được ký hiệu:

\[ S = a_1 + a_2 + a_3 + … + a_n = \sum_{i=1}^{n} a_i \]

Trong đó:

• S: Tổng cần tìm
• aᵢ: Số hạng tổng quát (số hạng thứ i)
• n: Số lượng số hạng
• Σ (Sigma): Ký hiệu tổng

1.2. Phân loại các dạng tính tổng

Dạng	Đặc điểm	Ví dụ
Tổng hữu hạn	Số số hạng xác định	1 + 2 + 3 + … + 100
Tổng vô hạn (chuỗi)	Số số hạng vô hạn	\( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + … \)
Cấp số cộng	Hiệu hai số liên tiếp không đổi	2 + 5 + 8 + 11 + …
Cấp số nhân	Thương hai số liên tiếp không đổi	2 + 6 + 18 + 54 + …

1.3. Các tính chất cơ bản của tổng

Tính chất	Công thức
Giao hoán	a + b = b + a
Kết hợp	(a + b) + c = a + (b + c)
Tuyến tính	\( \sum (a_i + b_i) = \sum a_i + \sum b_i \)
Nhân hằng số	\( \sum (k \cdot a_i) = k \cdot \sum a_i \)

2. Công thức tính tổng các số tự nhiên liên tiếp

Các công thức tính tổng cơ bản nhất:

2.1. Tổng n số tự nhiên đầu tiên

\[ 1 + 2 + 3 + … + n = \frac{n(n+1)}{2} \]

Ví dụ: 1 + 2 + 3 + … + 100 = \( \frac{100 \times 101}{2} = 5050 \)

2.2. Tổng các số tự nhiên từ a đến b

\[ a + (a+1) + (a+2) + … + b = \frac{(b-a+1)(a+b)}{2} \]

Công thức: Tổng = (Số số hạng) × (Số đầu + Số cuối) / 2

Ví dụ: 5 + 6 + 7 + … + 20 = \( \frac{(20-5+1)(5+20)}{2} = \frac{16 \times 25}{2} = 200 \)

2.3. Tổng n số lẻ đầu tiên

\[ 1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n^2 \]

Ví dụ: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5² = 25

2.4. Tổng n số chẵn đầu tiên

\[ 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n+1) \]

Ví dụ: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 5 × 6 = 30

2.5. Bảng công thức tổng hợp

Dãy số	Công thức tổng
1 + 2 + 3 + … + n	\( \frac{n(n+1)}{2} \)
1 + 3 + 5 + … + (2n−1)	\( n^2 \)
2 + 4 + 6 + … + 2n	\( n(n+1) \)
a + (a+1) + … + b	\( \frac{(b-a+1)(a+b)}{2} \)

3. Tính tổng cấp số cộng

Tính tổng cấp số cộng là dạng phổ biến nhất:

3.1. Định nghĩa cấp số cộng

Cấp số cộng là dãy số mà mỗi số hạng (từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước cộng với một hằng số d (công sai).

\[ a_{n+1} = a_n + d \quad \text{hay} \quad a_n = a_1 + (n-1)d \]

3.2. Công thức tính tổng n số hạng đầu

Công thức 1:

\[ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \]

Công thức 2:

\[ S_n = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2} \]

Trong đó:

• Sₙ: Tổng n số hạng đầu
• a₁: Số hạng đầu
• aₙ: Số hạng thứ n
• d: Công sai
• n: Số số hạng

3.3. Cách tìm số số hạng

\[ n = \frac{a_n – a_1}{d} + 1 \]

3.4. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Tính tổng S = 3 + 7 + 11 + 15 + … + 99

Lời giải:

Đây là cấp số cộng với a₁ = 3, d = 4, aₙ = 99

Số số hạng: \( n = \frac{99 – 3}{4} + 1 = 24 + 1 = 25 \)

Tổng: \( S = \frac{25(3 + 99)}{2} = \frac{25 \times 102}{2} = 1275 \)

3.5. Tính chất của cấp số cộng

Tính chất	Công thức
Số hạng tổng quát	\( a_n = a_1 + (n-1)d \)
Số hạng giữa	\( a_k = \frac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2} \)
Tổng hai số cách đều	\( a_i + a_{n-i+1} = a_1 + a_n \)

4. Tính tổng cấp số nhân

Tính tổng cấp số nhân với công bội q:

4.1. Định nghĩa cấp số nhân

Cấp số nhân là dãy số mà mỗi số hạng (từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nhân với một hằng số q (công bội).

\[ a_{n+1} = a_n \cdot q \quad \text{hay} \quad a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \]

4.2. Công thức tính tổng n số hạng đầu

Trường hợp q ≠ 1:

\[ S_n = a_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q} = a_1 \cdot \frac{q^n – 1}{q – 1} \]

Trường hợp q = 1:

\[ S_n = n \cdot a_1 \]

4.3. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Khi |q| < 1, tổng vô hạn hội tụ:

\[ S_{\infty} = \frac{a_1}{1 – q} \quad (|q| < 1) \]

Ví dụ: \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + … = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = 2 \)

4.4. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Tính tổng S = 2 + 6 + 18 + 54 + … + 1458

Lời giải:

Đây là cấp số nhân với a₁ = 2, q = 3

Tìm n: \( a_n = 2 \cdot 3^{n-1} = 1458 \)

\( 3^{n-1} = 729 = 3^6 \) ⟹ n = 7

Tổng: \( S = 2 \cdot \frac{3^7 – 1}{3 – 1} = 2 \cdot \frac{2187 – 1}{2} = 2186 \)

4.5. Bảng công thức cấp số nhân

Công thức	Điều kiện
\( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \)	Số hạng tổng quát
\( S_n = a_1 \cdot \frac{q^n – 1}{q – 1} \)	q ≠ 1
\( S_n = n \cdot a_1 \)	q = 1
\( S_{\infty} = \frac{a_1}{1 – q} \)	|q| < 1

4.6. Các tổng đặc biệt

Tổng lũy thừa của 2:

\[ 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2^{n-1} = 2^n – 1 \]

Tổng lũy thừa của q:

\[ 1 + q + q^2 + … + q^{n-1} = \frac{q^n – 1}{q – 1} \quad (q \neq 1) \]

5. Phương pháp tính tổng bằng phân tích thành phân số

Phương pháp tính tổng hiệu quả cho các dãy phân số:

5.1. Dạng cơ bản

\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \]

Áp dụng:

\[ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + … + \frac{1}{n(n+1)} \]

\[ = \left(1 – \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{3}\right) + … + \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}\right) \]

\[ = 1 – \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1} \]

5.2. Dạng tổng quát

\[ \frac{1}{n(n+k)} = \frac{1}{k}\left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+k}\right) \]

Ví dụ:

\[ \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + … + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \]

\[ = \frac{1}{2}\left[\left(1 – \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} – \frac{1}{5}\right) + … + \left(\frac{1}{2n-1} – \frac{1}{2n+1}\right)\right] \]

\[ = \frac{1}{2}\left(1 – \frac{1}{2n+1}\right) = \frac{n}{2n+1} \]

5.3. Dạng ba thừa số

\[ \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{n(n+1)} – \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right] \]

5.4. Bảng công thức phân tích

Dạng phân số	Phân tích
\( \frac{1}{n(n+1)} \)	\( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \)
\( \frac{1}{n(n+2)} \)	\( \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+2}\right) \)
\( \frac{1}{n(n+k)} \)	\( \frac{1}{k}\left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+k}\right) \)
\( \frac{1}{(an+b)(an+b+a)} \)	\( \frac{1}{a}\left(\frac{1}{an+b} – \frac{1}{an+b+a}\right) \)

5.5. Dạng căn thức

\[ \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = \sqrt{n+1} – \sqrt{n} \]

Áp dụng:

\[ \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + … + \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = \sqrt{n+1} – 1 \]

6. Phương pháp tính tổng bằng sai phân (Telescoping)

Phương pháp tính tổng bằng cách triệt tiêu các số hạng:

6.1. Nguyên lý

Nếu có thể viết: \( a_k = f(k) – f(k-1) \)

Thì: \( \sum_{k=1}^{n} a_k = f(n) – f(0) \)

6.2. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Tính \( S = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + … + n \cdot n! \)

Lời giải:

Nhận xét: \( k \cdot k! = (k+1-1) \cdot k! = (k+1)! – k! \)

Vậy:

\[ S = (2! – 1!) + (3! – 2!) + (4! – 3!) + … + ((n+1)! – n!) \]

\[ S = (n+1)! – 1 \]

6.3. Các dạng sai phân thường gặp

Biểu thức	Sai phân
\( k \cdot k! \)	\( (k+1)! – k! \)
\( \frac{1}{k(k+1)} \)	\( \frac{1}{k} – \frac{1}{k+1} \)
\( k \cdot 2^k \)	\( (k-1) \cdot 2^{k+1} – (k-2) \cdot 2^k \)
\( \sqrt{k+1} – \sqrt{k} \)	Trực tiếp là sai phân

6.4. Tổng lồng ghép (Nested Sum)

\[ \sum_{k=1}^{n} [f(k+1) – f(k)] = f(n+1) – f(1) \]

7. Tính tổng bằng phương pháp đặt thừa số chung

Phương pháp tính tổng bằng cách nhân với công bội:

7.1. Nguyên lý

Với tổng dạng: \( S = a_1 + a_2q + a_3q^2 + … + a_nq^{n-1} \)

Nhân cả hai vế với q rồi trừ đi.

7.2. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Tính S = 1 + 2·2 + 3·2² + 4·2³ + … + n·2ⁿ⁻¹

Lời giải:

\[ S = 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + … + n \cdot 2^{n-1} \]

\[ 2S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + … + n \cdot 2^n \]

Trừ vế theo vế:

\[ S – 2S = 1 + 2 + 2^2 + … + 2^{n-1} – n \cdot 2^n \]

\[ -S = (2^n – 1) – n \cdot 2^n = -1 – (n-1) \cdot 2^n \]

\[ S = 1 + (n-1) \cdot 2^n \]

7.3. Công thức tổng quát

\[ \sum_{k=1}^{n} k \cdot q^{k-1} = \frac{1 – (n+1)q^n + nq^{n+1}}{(1-q)^2} \quad (q \neq 1) \]

Hoặc viết gọn:

\[ \sum_{k=1}^{n} k \cdot q^k = q \cdot \frac{1 – (n+1)q^n + nq^{n+1}}{(1-q)^2} \]

8. Các công thức tính tổng lũy thừa

Công thức tính tổng các lũy thừa của số tự nhiên:

8.1. Tổng các số tự nhiên

\[ \sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + … + n = \frac{n(n+1)}{2} \]

8.2. Tổng bình phương

\[ \sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

8.3. Tổng lập phương

\[ \sum_{k=1}^{n} k^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + … + n^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 \]

Nhận xét: Tổng lập phương bằng bình phương của tổng các số tự nhiên!

8.4. Tổng lũy thừa bậc 4

\[ \sum_{k=1}^{n} k^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} \]

8.5. Bảng tổng hợp

Tổng	Công thức
\( \sum_{k=1}^{n} k \)	\( \frac{n(n+1)}{2} \)
\( \sum_{k=1}^{n} k^2 \)	\( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)
\( \sum_{k=1}^{n} k^3 \)	\( \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 \)
\( \sum_{k=1}^{n} k^4 \)	\( \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} \)

8.6. Ví dụ

Ví dụ: Tính \( S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + … + 20^2 \)

Lời giải:

\[ S = \frac{20 \cdot 21 \cdot 41}{6} = \frac{17220}{6} = 2870 \]

9. Tính tổng dãy số đặc biệt

Một số dạng tính tổng đặc biệt thường gặp:

9.1. Tổng dãy Fibonacci

Dãy Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

\[ F_1 + F_2 + F_3 + … + F_n = F_{n+2} – 1 \]

9.2. Tổng các tổ hợp

\[ C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + … + C_n^n = 2^n \]

\[ C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + … = 2^{n-1} \]

\[ C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + … = 2^{n-1} \]

9.3. Tổng nghịch đảo giai thừa

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e \approx 2.71828… \]

9.4. Tổng các số chia hết cho k

Tổng các số chia hết cho k từ k đến n·k:

\[ k + 2k + 3k + … + nk = k \cdot \frac{n(n+1)}{2} \]

9.5. Tổng dãy có quy luật đặc biệt

Dạng 1: Tổng các số có dạng aaa…a (n chữ số a)

\[ \underbrace{aa…a}_{n} = a \cdot \frac{10^n – 1}{9} \]

Ví dụ: 111 = 1 × (10³ − 1)/9 = 999/9 = 111 ✓

9.6. Bảng tổng đặc biệt

Tổng	Kết quả
\( 1 + 2 + 4 + … + 2^{n-1} \)	\( 2^n – 1 \)
\( 1 – 2 + 3 – 4 + … \pm n \)	\( (-1)^{n+1} \left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil \)
\( 1^2 – 2^2 + 3^2 – 4^2 + … \)	\( (-1)^{n+1} \cdot \frac{n(n+1)}{2} \)
\( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + … + \frac{1}{n(n+1)} \)	\( \frac{n}{n+1} \)

10. Ví dụ và bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Để nắm vững các phương pháp tính tổng, hãy làm các bài tập sau:

Bài tập 1: Tổng số tự nhiên liên tiếp

Đề bài: Tính S = 1 + 2 + 3 + … + 2024

Lời giải:

\[ S = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{2024 \times 2025}{2} = 1012 \times 2025 = 2049300 \]

Kết quả: S = 2 049 300

Bài tập 2: Tổng các số lẻ

Đề bài: Tính S = 1 + 3 + 5 + 7 + … + 99

Lời giải:

Số số hạng: n = (99 − 1)/2 + 1 = 50

\[ S = n^2 = 50^2 = 2500 \]

Cách 2: Dùng công thức cấp số cộng

\[ S = \frac{50(1 + 99)}{2} = 25 \times 100 = 2500 \]

Kết quả: S = 2500

Bài tập 3: Tổng cấp số cộng

Đề bài: Tính S = 5 + 8 + 11 + 14 + … + 302

Lời giải:

Cấp số cộng với a₁ = 5, d = 3, aₙ = 302

Số số hạng: \( n = \frac{302 – 5}{3} + 1 = 99 + 1 = 100 \)

Tổng: \( S = \frac{100(5 + 302)}{2} = 50 \times 307 = 15350 \)

Kết quả: S = 15 350

Bài tập 4: Tổng cấp số nhân

Đề bài: Tính S = 3 + 6 + 12 + 24 + … + 3072

Lời giải:

Cấp số nhân với a₁ = 3, q = 2

Tìm n: \( 3 \cdot 2^{n-1} = 3072 \)

\( 2^{n-1} = 1024 = 2^{10} \) ⟹ n = 11

Tổng: \( S = 3 \cdot \frac{2^{11} – 1}{2 – 1} = 3 \times 2047 = 6141 \)

Kết quả: S = 6141

Bài tập 5: Tổng phân số dạng 1/(n(n+1))

Đề bài: Tính \( S = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + … + \frac{1}{99 \cdot 100} \)

Lời giải:

Phân tích: \( \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} – \frac{1}{k+1} \)

\[ S = \left(1 – \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{3}\right) + … + \left(\frac{1}{99} – \frac{1}{100}\right) \]

\[ S = 1 – \frac{1}{100} = \frac{99}{100} \]

Kết quả: S = 99/100

Bài tập 6: Tổng phân số dạng 1/((2n-1)(2n+1))

Đề bài: Tính \( S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + … + \frac{1}{99 \cdot 101} \)

Lời giải:

Phân tích: \( \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1} – \frac{1}{2k+1}\right) \)

\[ S = \frac{1}{2}\left[\left(1 – \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} – \frac{1}{5}\right) + … + \left(\frac{1}{99} – \frac{1}{101}\right)\right] \]

\[ S = \frac{1}{2}\left(1 – \frac{1}{101}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{100}{101} = \frac{50}{101} \]

Kết quả: S = 50/101

Bài tập 7: Tổng bình phương

Đề bài: Tính \( S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + … + 50^2 \)

Lời giải:

\[ S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{50 \times 51 \times 101}{6} \]

\[ S = \frac{257550}{6} = 42925 \]

Kết quả: S = 42 925

Bài tập 8: Tổng lập phương

Đề bài: Tính \( S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + … + 10^3 \)

Lời giải:

\[ S = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 = \left[\frac{10 \times 11}{2}\right]^2 = 55^2 = 3025 \]

Kiểm tra: 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 + 512 + 729 + 1000 = 3025 ✓

Kết quả: S = 3025

Bài tập 9: Tổng dạng k·k!

Đề bài: Tính \( S = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + … + 10 \cdot 10! \)

Lời giải:

Nhận xét: \( k \cdot k! = (k+1)! – k! \)

\[ S = (2! – 1!) + (3! – 2!) + (4! – 3!) + … + (11! – 10!) \]

\[ S = 11! – 1! = 39916800 – 1 = 39916799 \]

Kết quả: S = 39 916 799

Bài tập 10: Tổng dạng căn thức

Đề bài: Tính \( S = \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + … + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}} \)

Lời giải:

Trục căn: \( \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \sqrt{k+1} – \sqrt{k} \)

\[ S = (\sqrt{2} – \sqrt{1}) + (\sqrt{3} – \sqrt{2}) + … + (\sqrt{100} – \sqrt{99}) \]

\[ S = \sqrt{100} – \sqrt{1} = 10 – 1 = 9 \]

Kết quả: S = 9

Bài tập 11: Tổng dạng k·2ᵏ

Đề bài: Tính S = 1·2 + 2·2² + 3·2³ + … + 10·2¹⁰

Lời giải:

\[ S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + … + 10 \cdot 2^{10} \]

\[ 2S = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4 + … + 10 \cdot 2^{11} \]

Trừ vế theo vế:

\[ -S = 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^{10} – 10 \cdot 2^{11} \]

\[ -S = 2 \cdot \frac{2^{10} – 1}{2 – 1} – 10 \cdot 2^{11} = 2(1024 – 1) – 10 \cdot 2048 \]

\[ -S = 2046 – 20480 = -18434 \]

\[ S = 18434 \]

Kết quả: S = 18 434

Bài tập 12: Tổng cấp số nhân vô hạn

Đề bài: Tính \( S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + … \)

Lời giải:

Đây là cấp số nhân vô hạn với a₁ = 1, q = 1/3

Vì |q| = 1/3 < 1 nên tổng hội tụ:

\[ S = \frac{a_1}{1 – q} = \frac{1}{1 – \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \]

Kết quả: S = 3/2

11. Kết luận

Qua bài viết trên, VJOL đã giúp bạn hiểu rõ các phương pháp tính tổng cùng các công thức quan trọng. Tóm tắt những điểm cần nhớ:

• Tổng n số tự nhiên đầu: \( 1 + 2 + … + n = \frac{n(n+1)}{2} \)
• Tổng n số lẻ đầu: \( 1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n^2 \)
• Tổng cấp số cộng: \( S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \)
• Tổng cấp số nhân: \( S_n = a_1 \cdot \frac{q^n – 1}{q – 1} \) (q ≠ 1)
• Tổng bình phương: \( 1^2 + 2^2 + … + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)
• Tổng lập phương: \( 1^3 + 2^3 + … + n^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 \)
• Phân tích: \( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \)
• Phương pháp sai phân: Triệt tiêu các số hạng liên tiếp
• Tổng vô hạn cấp số nhân: \( S = \frac{a_1}{1-q} \) khi |q| < 1

Hy vọng bài viết đã giúp bạn nắm vững các phương pháp tính tổng và có thể áp dụng vào giải toán hiệu quả!