Máy tính giải phương trình bậc 3 online

Máy tính giải phương trình bậc 3 online ax³ + bx² + cx + d = 0. Sử dụng phương pháp Cardano - Vi-ét, trả về 1 nghiệm thực và 2 nghiệm phức, hoặc 3 nghiệm thực. Hỗ trợ học sinh khối A1, sinh viên kỹ thuật.

Công thức & ví dụ

Phương trình bậc 3 tổng quát:

ax³ + bx² + cx + d = 0 (a ≠ 0)

Bước 1 — Chuẩn hoá: Chia 2 vế cho a, đổi biến x = y − b/(3a) để khử số hạng bậc 2, đưa về:

y³ + py + q = 0

Bước 2 — Tính biệt thức:

Δ = −4p³ − 27q²

Bước 3 — Phân loại nghiệm:

Δ > 0: 3 nghiệm thực phân biệt (dùng công thức lượng giác).
Δ = 0: nghiệm bội hoặc 2 nghiệm thực.
Δ < 0: 1 nghiệm thực + 2 nghiệm phức liên hợp (Cardano).

Định lý Vi-ét bậc 3:

x₁ + x₂ + x₃ = −b/a
x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ = c/a
x₁·x₂·x₃ = −d/a

Ví dụ: x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 → 3 nghiệm thực x₁=1, x₂=2, x₃=3.

Hướng dẫn sử dụng

Nhập 4 hệ số a, b, c, d của phương trình ax³ + bx² + cx + d = 0. Bắt buộc a ≠ 0.
Nhấn “Giải”. Công cụ tính biệt thức Δ và áp dụng công thức Cardano để tìm nghiệm.
Đọc kết quả: hoặc 3 nghiệm thực, hoặc 1 nghiệm thực + 2 nghiệm phức liên hợp, hoặc 1 nghiệm bội 3.
Nhấn “Đặt lại” để giải phương trình khác.

Mẹo nhẩm nghiệm: Trước khi dùng công thức tổng quát, thử các nghiệm hữu tỉ đơn giản như ±1, ±d/a, các ước của d. Nếu tìm được 1 nghiệm thì chia đa thức ra phương trình bậc 2 còn lại dễ giải hơn.

Câu hỏi thường gặp

Phương trình bậc 3 luôn có ít nhất bao nhiêu nghiệm thực?

Luôn có ít nhất 1 nghiệm thực (theo định lý giá trị trung gian, vì hàm đa thức bậc 3 liên tục và đi từ -∞ đến +∞). Có thể có 1 nghiệm thực + 2 phức liên hợp, hoặc 3 nghiệm thực (phân biệt hoặc trùng).

Khi nào nên dùng công thức Cardano?

Cardano dùng khi không nhẩm được nghiệm hữu tỉ. Với đa thức hệ số nguyên, thử trước các nghiệm hữu tỉ ±ước_của_(d/a). Nếu tìm được 1 nghiệm thì chia đa thức để hạ về bậc 2 dễ hơn. Cardano là phương pháp cuối cùng.

Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 3 nhanh?

Thử các giá trị đơn giản: x = ±1, ±2, ±d/a (theo định lý nghiệm hữu tỉ). Nếu f(x₀) = 0 thì x₀ là nghiệm. Sau đó thực hiện phép chia đa thức để tìm 2 nghiệm còn lại bằng phương trình bậc 2.

Định lý Vi-ét bậc 3 phát biểu thế nào?

Với phương trình ax³ + bx² + cx + d = 0 có 3 nghiệm x₁, x₂, x₃: x₁+x₂+x₃ = -b/a, x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃ = c/a, x₁x₂x₃ = -d/a. Dùng để kiểm tra nghiệm hoặc lập phương trình từ 3 nghiệm cho trước.