Công thức tính diện tích tam giác đầy đủ, dễ hiểu nhất

Công thức tính diện tích tam giác là kiến thức nền tảng quan trọng trong chương trình Toán từ cấp 2 đến cấp 3 và các kỳ thi. Bài viết này tổng hợp đầy đủ các công thức tính diện tích tam giác, từ công thức cơ bản đến nâng cao như Heron, công thức lượng giác, kèm theo cách tính diện tích tam giác qua các ví dụ minh họa chi tiết, dễ hiểu.

1. Diện tích tam giác là gì?

Diện tích tam giác là phần mặt phẳng được giới hạn bởi ba cạnh của tam giác đó. Diện tích được ký hiệu là S (hoặc S tam giác), đơn vị tính thường là cm², m², dm²,…

Với tam giác ABC, diện tích được ký hiệu là \( S_{ABC} \) hoặc đơn giản là \( S \).

2. Các công thức tính diện tích tam giác đầy đủ nhất

Điểm qua các công thức tính S tâm giác phổ biến nhất cho học sinh các cấp:

2.1. Công thức cơ bản (Đáy nhân chiều cao)

Công thức tính diện tích hình tam giác cơ bản nhất sử dụng độ dài đáy và chiều cao tương ứng:

\( S = \frac{1}{2} \times a \times h \)

Trong đó:

• \( a \): độ dài cạnh đáy
• \( h \): chiều cao tương ứng với cạnh đáy (đường vuông góc từ đỉnh đối diện xuống đáy)

2.2. Công thức Heron (Theo 3 cạnh)

Khi biết độ dài 3 cạnh của tam giác, ta áp dụng công thức diện tích tam giác Heron:

\( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \)

Trong đó:

• \( a, b, c \): độ dài 3 cạnh của tam giác
• \( p = \frac{a + b + c}{2} \): nửa chu vi tam giác

2.3. Công thức theo 2 cạnh và góc xen giữa

Khi biết 2 cạnh và góc xen giữa chúng, cách tính diện tích tam giác như sau:

\( S = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin C \)

Trong đó:

• \( a, b \): hai cạnh của tam giác
• \( C \): góc xen giữa hai cạnh \( a \) và \( b \)

Tương tự: \( S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B \)

2.4. Công thức theo bán kính đường tròn ngoại tiếp (R)

Công thức tính diện tích tam giác ABC khi biết 3 cạnh và bán kính đường tròn ngoại tiếp:

\( S = \frac{abc}{4R} \)

Trong đó:

• \( a, b, c \): độ dài 3 cạnh
• \( R \): bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

2.5. Công thức theo bán kính đường tròn nội tiếp (r)

Diện tích tam giác công thức theo nửa chu vi và bán kính đường tròn nội tiếp:

\( S = p \times r \)

Trong đó:

• \( p = \frac{a + b + c}{2} \): nửa chu vi tam giác
• \( r \): bán kính đường tròn nội tiếp

2.6. Công thức theo tọa độ 3 đỉnh

Với tam giác có 3 đỉnh \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \), công thức tính diện tích tam giác là:

\( S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2)| \)

Hoặc viết dưới dạng định thức:

\( S = \frac{1}{2} \left| \det \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix} \right| \)

2.7. Công thức diện tích tam giác vuông

Với tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông là \( a \) và \( b \):

\( S = \frac{1}{2} \times a \times b \)

2.8. Công thức diện tích tam giác đều

Với tam giác đều có cạnh \( a \):

\( S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \)

3. Bảng tổng hợp các công thức tính diện tích tam giác

4. Ví dụ minh họa và bài tập có lời giải chi tiết

Giới thiệu các bài tập đơn giản giúp học sinh nắm rõ công thức diện tích tam giác.

Ví dụ 1: Áp dụng công thức cơ bản

Đề bài: Tính diện tích tam giác có đáy bằng 10 cm và chiều cao tương ứng bằng 6 cm.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác:

\( S = \frac{1}{2} \times a \times h = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30 \) (cm²)

Đáp số: \( S = 30 \) cm²

Ví dụ 2: Áp dụng công thức Heron

Đề bài: Tính diện tích tam giác có 3 cạnh lần lượt là 5 cm, 6 cm và 7 cm.

Lời giải:

Ta có: \( a = 5 \), \( b = 6 \), \( c = 7 \)

Nửa chu vi: \( p = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9 \) (cm)

Áp dụng công thức Heron:

\( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \)

\( S = \sqrt{9 \times (9-5) \times (9-6) \times (9-7)} \)

\( S = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6} \approx 14,7 \) (cm²)

Đáp số: \( S = 6\sqrt{6} \approx 14,7 \) cm²

Ví dụ 3: Áp dụng công thức lượng giác

Đề bài: Cho tam giác ABC có \( AB = 8 \) cm, \( AC = 10 \) cm và góc \( \widehat{BAC} = 30° \). Tính S tam giác ABC.

Lời giải:

Áp dụng công thức diện tích tam giác theo 2 cạnh và góc xen giữa:

\( S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin A \)

\( S = \frac{1}{2} \times 8 \times 10 \times \sin 30° = \frac{1}{2} \times 8 \times 10 \times \frac{1}{2} = 20 \) (cm²)

Đáp số: \( S_{ABC} = 20 \) cm²

Ví dụ 4: Áp dụng công thức tọa độ

Đề bài: Tính diện tích tam giác ABC với \( A(1, 2) \), \( B(4, 6) \), \( C(5, 1) \).

Lời giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình tam giác theo tọa độ:

\( S = \frac{1}{2}|x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2)| \)

\( S = \frac{1}{2}|1 \times (6-1) + 4 \times (1-2) + 5 \times (2-6)| \)

\( S = \frac{1}{2}|1 \times 5 + 4 \times (-1) + 5 \times (-4)| \)

\( S = \frac{1}{2}|5 – 4 – 20| = \frac{1}{2} \times |-19| = \frac{19}{2} = 9,5 \) (đvdt)

Đáp số: \( S = 9,5 \) đơn vị diện tích

Ví dụ 5: Diện tích tam giác đều

Đề bài: Tính diện tích tam giác đều có cạnh bằng 6 cm.

Lời giải:

Áp dụng công thức diện tích tam giác đều:

\( S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2 \times \sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \approx 15,59 \) (cm²)

Đáp số: \( S = 9\sqrt{3} \approx 15,59 \) cm²

Ví dụ 6: Diện tích tam giác vuông

Đề bài: Tam giác ABC vuông tại A có \( AB = 3 \) cm, \( AC = 4 \) cm. Tính diện tích tam giác.

Lời giải:

Vì tam giác vuông tại A nên AB và AC là hai cạnh góc vuông.

Áp dụng cách tính diện tích tam giác vuông:

\( S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \) (cm²)

Đáp số: \( S = 6 \) cm²

5. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tính diện tích tam giác có đáy 12 cm, chiều cao 8 cm.

Bài 2: Cho tam giác có 3 cạnh là 13 cm, 14 cm, 15 cm. Tính diện tích.

Bài 3: Tam giác ABC có \( AB = 7 \) cm, \( BC = 9 \) cm, góc B = 60°. Tính diện tích.

Bài 4: Tính diện tích tam giác đều cạnh 10 cm.

Bài 5: Cho tam giác có các đỉnh \( A(0,0) \), \( B(6,0) \), \( C(3,4) \). Tính diện tích.

Đáp án tham khảo

1. S = 48 cm²
2. S = 84 cm²
3. \( S = \frac{63\sqrt{3}}{4} \approx 27,28 \) cm²
4. \( S = 25\sqrt{3} \approx 43,3 \) cm²
5. S = 12 đơn vị diện tích

6. Kết luận

Trên đây là tổng hợp đầy đủ công thức tính diện tích tam giác từ cơ bản đến nâng cao. Tùy vào dữ kiện đề bài cho, bạn hãy lựa chọn công thức diện tích tam giác phù hợp để giải nhanh và chính xác nhất. Việc nắm vững các công thức tính diện tích tam giác sẽ giúp bạn giải quyết hiệu quả các bài toán hình học trong học tập và thi cử.