Công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn chuẩn xác nhất

Công thức tính phương sai là kiến thức quan trọng trong thống kê, giúp đo lường mức độ phân tán của dữ liệu quanh giá trị trung bình. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết cách tính phương sai, công thức phương sai mẫu, cùng các ví dụ minh họa dễ hiểu.

1. Phương sai là gì? Phương sai ký hiệu là gì?

Trước khi tìm hiểu công thức, chúng ta cần nắm rõ khái niệm và ký hiệu của phương sai trong thống kê.

1.1. Định nghĩa phương sai

Phương sai là đại lượng đo lường mức độ phân tán của các giá trị trong tập dữ liệu so với giá trị trung bình. Phương sai càng lớn, dữ liệu càng phân tán; phương sai càng nhỏ, dữ liệu càng tập trung.

1.2. Phương sai ký hiệu là gì?

Phương sai ký hiệu được biểu diễn bằng nhiều cách tùy theo ngữ cảnh:

2. Công thức tính phương sai

Dưới đây là các công thức phương sai được sử dụng phổ biến trong thống kê và toán học phổ thông.

2.1. Công thức phương sai tổng quát

Công thức tính phương sai tổng quát cho tập dữ liệu \( x_1, x_2, …, x_n \):

\[ S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \]

Trong đó:

• \( S^2 \): Phương sai
• \( n \): Số phần tử trong tập dữ liệu
• \( x_i \): Giá trị thứ i
• \( \bar{x} \): Giá trị trung bình cộng

2.2. Công thức tính phương sai mẫu

Phương sai mẫu được sử dụng khi tính toán từ một mẫu đại diện cho tổng thể. Công thức phương sai mẫu hiệu chỉnh:

\[ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \]

Lưu ý: Mẫu số \( (n-1) \) được gọi là bậc tự do, giúp ước lượng không chệch cho phương sai tổng thể.

2.3. Công thức tính nhanh phương sai

Công thức biến đổi giúp tính phương sai nhanh hơn:

\[ S^2 = \overline{x^2} – (\bar{x})^2 \]

Trong đó:

• \( \overline{x^2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \): Trung bình của bình phương các giá trị
• \( (\bar{x})^2 \): Bình phương của trung bình

2.4. Bảng tổng hợp công thức phương sai

3. Công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn

Công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn có mối quan hệ mật thiết với nhau. Độ lệch chuẩn chính là căn bậc hai của phương sai.

3.1. Mối quan hệ phương sai và độ lệch chuẩn

\[ S = \sqrt{S^2} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \]

Hoặc với phương sai mẫu:

\[ S = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \]

3.2. So sánh phương sai và độ lệch chuẩn

4. Cách tính phương sai chi tiết

Để tính phương sai chính xác, bạn có thể thực hiện theo các bước sau:

4.1. Các bước tính phương sai

1. Bước 1: Tính giá trị trung bình \( \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + … + x_n}{n} \)
2. Bước 2: Tính độ lệch của mỗi giá trị so với trung bình: \( (x_i – \bar{x}) \)
3. Bước 3: Bình phương các độ lệch: \( (x_i – \bar{x})^2 \)
4. Bước 4: Tính tổng các bình phương độ lệch: \( \sum (x_i – \bar{x})^2 \)
5. Bước 5: Chia cho n (hoặc n-1) để được phương sai

4.2. Công thức phương sai với tần số

Khi dữ liệu có tần số, công thức tính phương sai được điều chỉnh:

\[ S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} n_i (x_i – \bar{x})^2 \]

Trong đó:

• \( n_i \): Tần số của giá trị \( x_i \)
• \( n = \sum n_i \): Tổng tần số
• \( k \): Số giá trị khác nhau

5. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng cách sử dụng giá trị đại diện của mỗi nhóm.

5.1. Công thức

\[ S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} n_i (c_i – \bar{x})^2 \]

Trong đó:

• \( c_i \): Giá trị đại diện của nhóm thứ i (thường là trung điểm)
• \( c_i = \frac{a_i + b_i}{2} \) với \( [a_i; b_i) \) là khoảng của nhóm

5.2. Các bước tính

1. Xác định giá trị đại diện \( c_i \) cho mỗi nhóm
2. Tính trung bình: \( \bar{x} = \frac{\sum n_i \cdot c_i}{n} \)
3. Áp dụng công thức phương sai với giá trị đại diện

6. Ví dụ minh họa cách tính phương sai

Dưới đây là các ví dụ chi tiết giúp bạn nắm vững cách tính phương sai trong thực tế.

Ví dụ 1: Tính phương sai cơ bản

Đề bài: Tính phương sai của mẫu số liệu: 2, 4, 6, 8, 10

Lời giải:

Bước 1: Tính trung bình cộng

\[ \bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = \frac{30}{5} = 6 \]

Bước 2: Tính độ lệch và bình phương độ lệch

Bước 3: Áp dụng công thức tính phương sai

\[ S^2 = \frac{40}{5} = 8 \]

Kết luận: Phương sai của mẫu số liệu là \( S^2 = 8 \)

Ví dụ 2: Tính phương sai mẫu

Đề bài: Điểm kiểm tra của 6 học sinh: 7, 8, 6, 9, 7, 5. Tính phương sai mẫu.

Lời giải:

Bước 1: Tính trung bình

\[ \bar{x} = \frac{7 + 8 + 6 + 9 + 7 + 5}{6} = \frac{42}{6} = 7 \]

Bước 2: Tính tổng bình phương độ lệch

\[ \sum (x_i – \bar{x})^2 = (7-7)^2 + (8-7)^2 + (6-7)^2 + (9-7)^2 + (7-7)^2 + (5-7)^2 \]

\[ = 0 + 1 + 1 + 4 + 0 + 4 = 10 \]

Bước 3: Áp dụng công thức phương sai mẫu

\[ S^2 = \frac{10}{6-1} = \frac{10}{5} = 2 \]

Kết luận: Phương sai mẫu là \( S^2 = 2 \)

Ví dụ 3: Tính phương sai và độ lệch chuẩn

Đề bài: Cho mẫu số liệu về chiều cao (cm): 160, 165, 170, 155, 175. Tính phương sai và độ lệch chuẩn.

Lời giải:

Bước 1: Tính trung bình

\[ \bar{x} = \frac{160 + 165 + 170 + 155 + 175}{5} = \frac{825}{5} = 165 \text{ cm} \]

Bước 2: Tính tổng bình phương độ lệch

Bước 3: Tính phương sai

\[ S^2 = \frac{250}{5} = 50 \text{ cm}^2 \]

Bước 4: Tính độ lệch chuẩn

\[ S = \sqrt{50} \approx 7,07 \text{ cm} \]

Kết luận: Phương sai \( S^2 = 50 \text{ cm}^2 \), độ lệch chuẩn \( S \approx 7,07 \text{ cm} \)

Ví dụ 4: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm

Đề bài: Bảng phân bố tần số về cân nặng của học sinh:

Tính phương sai của mẫu số liệu này.

Lời giải:

Bước 1: Xác định giá trị đại diện

• \( c_1 = \frac{40+45}{2} = 42,5 \)
• \( c_2 = \frac{45+50}{2} = 47,5 \)
• \( c_3 = \frac{50+55}{2} = 52,5 \)
• \( c_4 = \frac{55+60}{2} = 57,5 \)

Bước 2: Tính trung bình

\[ n = 5 + 12 + 8 + 5 = 30 \]

\[ \bar{x} = \frac{5 \times 42,5 + 12 \times 47,5 + 8 \times 52,5 + 5 \times 57,5}{30} \]

\[ \bar{x} = \frac{212,5 + 570 + 420 + 287,5}{30} = \frac{1490}{30} \approx 49,67 \text{ kg} \]

Bước 3: Tính phương sai

\[ S^2 = \frac{1}{30}[5(42,5-49,67)^2 + 12(47,5-49,67)^2 + 8(52,5-49,67)^2 + 5(57,5-49,67)^2] \]

\[ S^2 = \frac{1}{30}[5(51,41) + 12(4,71) + 8(8,01) + 5(61,31)] \]

\[ S^2 = \frac{257,05 + 56,52 + 64,08 + 306,55}{30} = \frac{684,2}{30} \approx 22,81 \text{ kg}^2 \]

7. Bài tập tự luyện

Áp dụng công thức tính phương sai để giải các bài tập sau:

Bài 1: Tính phương sai của dãy số: 3, 5, 7, 9, 11

Bài 2: Tính phương sai mẫu của: 12, 15, 18, 14, 16

Bài 3: Cho mẫu số liệu có tần số:

Tính phương sai.

Bài 4: Tính phương sai và độ lệch chuẩn: 20, 25, 30, 35, 40

8. Kết luận

Công thức tính phương sai là công cụ quan trọng giúp đánh giá mức độ phân tán của dữ liệu. Qua bài viết, bạn đã nắm được:

• Công thức phương sai tổng quát: \( S^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i – \bar{x})^2 \)
• Công thức phương sai mẫu: \( S^2 = \frac{1}{n-1} \sum (x_i – \bar{x})^2 \)
• Công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn: \( S = \sqrt{S^2} \)
• Cách tính phương sai theo 5 bước chi tiết

Hãy luyện tập thường xuyên với các bài tập để thành thạo cách tính phương sai và áp dụng hiệu quả trong học tập!