Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian: Công thức Oxyz

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian là một trong những bài toán quan trọng trong hình học không gian và hình học giải tích. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng, đặc biệt là khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong hệ tọa độ Oxyz cùng các ví dụ và bài tập minh họa.

Vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong không gian

Trước khi tìm hiểu khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong Oxyz, chúng ta cần nắm vững các vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian.

Các vị trí tương đối

Trong không gian, hai đường thẳng có thể có 4 vị trí tương đối:

Hai đường thẳng chéo nhau

2 đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không có điểm chung và không nằm trong cùng một mặt phẳng. Đây là trường hợp đặc trưng của không gian 3 chiều (không tồn tại trong mặt phẳng 2 chiều).

Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau:

• Không song song (vectơ chỉ phương không cùng phương)
• Không cắt nhau (không có điểm chung)

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau là gì?

Phần này giải thích định nghĩa và tính chất của khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Định nghĩa

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. Đây là khoảng cách ngắn nhất giữa hai đường thẳng.

Nếu \( d_1 \) và \( d_2 \) là 2 đường thẳng chéo nhau, thì tồn tại duy nhất một đoạn thẳng \( MN \) sao cho:

• \( M \in d_1 \), \( N \in d_2 \)
• \( MN \perp d_1 \) và \( MN \perp d_2 \)

Khi đó: \( d(d_1, d_2) = MN \)

Tính chất quan trọng

• Đường vuông góc chung là đoạn thẳng ngắn nhất nối hai đường thẳng chéo nhau
• Đường vuông góc chung vuông góc với cả hai đường thẳng
• Đường vuông góc chung song song với mọi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia

Công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Dưới đây là các công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian.

Công thức tọa độ trong Oxyz

Cho hai đường thẳng trong hệ tọa độ Oxyz:

• \( d_1 \): đi qua \( M_1(x_1, y_1, z_1) \), có vectơ chỉ phương \( \vec{u_1} = (a_1, b_1, c_1) \)
• \( d_2 \): đi qua \( M_2(x_2, y_2, z_2) \), có vectơ chỉ phương \( \vec{u_2} = (a_2, b_2, c_2) \)

Công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:

\[ d(d_1, d_2) = \frac{|[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \overrightarrow{M_1M_2}|}{|[\vec{u_1}, \vec{u_2}]|} \]

Trong đó:

• \( [\vec{u_1}, \vec{u_2}] \): tích có hướng của hai vectơ chỉ phương
• \( \overrightarrow{M_1M_2} = (x_2 – x_1, y_2 – y_1, z_2 – z_1) \)
• \( [\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \overrightarrow{M_1M_2} \): tích hỗn tạp

Công thức tích có hướng

Tích có hướng của \( \vec{u_1} = (a_1, b_1, c_1) \) và \( \vec{u_2} = (a_2, b_2, c_2) \):

\[ [\vec{u_1}, \vec{u_2}] = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = (b_1c_2 – b_2c_1, c_1a_2 – c_2a_1, a_1b_2 – a_2b_1) \]

Công thức tích hỗn tạp

Tích hỗn tạp của ba vectơ \( \vec{u_1}, \vec{u_2}, \overrightarrow{M_1M_2} \):

\[ [\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \overrightarrow{M_1M_2} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \end{vmatrix} \]

Bảng tóm tắt công thức

Các phương pháp tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Có nhiều phương pháp để tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau. Dưới đây là các phương pháp phổ biến.

Phương pháp 1: Dùng công thức tọa độ

Áp dụng trực tiếp công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong Oxyz:

1. Bước 1: Xác định điểm \( M_1 \) thuộc \( d_1 \), điểm \( M_2 \) thuộc \( d_2 \)
2. Bước 2: Xác định vectơ chỉ phương \( \vec{u_1} \) của \( d_1 \), \( \vec{u_2} \) của \( d_2 \)
3. Bước 3: Tính \( [\vec{u_1}, \vec{u_2}] \) và \( \overrightarrow{M_1M_2} \)
4. Bước 4: Áp dụng công thức

Phương pháp 2: Dùng mặt phẳng song song

Khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ một đường thẳng đến mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với nó.

1. Bước 1: Lập mặt phẳng \( (P) \) chứa \( d_2 \) và song song với \( d_1 \)
2. Bước 2: Tính khoảng cách từ một điểm trên \( d_1 \) đến \( (P) \)

Vectơ pháp tuyến của \( (P) \): \( \vec{n} = [\vec{u_1}, \vec{u_2}] \)

Phương pháp 3: Phương pháp thể tích

Sử dụng công thức thể tích khối tứ diện:

\[ d(d_1, d_2) = \frac{6V_{ABCD}}{S} \]

Trong đó:

• \( A, B \in d_1 \) và \( C, D \in d_2 \)
• \( V_{ABCD} \): thể tích tứ diện ABCD
• \( S \): diện tích hình bình hành có cạnh AB và CD

Phương pháp 4: Dựng đường vuông góc chung (Hình học thuần túy)

1. Dựng mặt phẳng \( (P) \) chứa \( d_1 \) và vuông góc với \( d_2 \)
2. Tìm giao điểm \( H \) của \( d_2 \) và \( (P) \)
3. Kẻ \( HK \perp d_1 \), \( K \in d_1 \)
4. Khoảng cách cần tìm là \( HK \)

Ví dụ minh họa khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong Oxyz

Dưới đây là các ví dụ chi tiết về khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau Oxyz.

Ví dụ 1: Dạng cơ bản

Đề bài: Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian:

• \( d_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{3} \)
• \( d_2: \frac{x}{1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-1}{2} \)

Lời giải:

Bước 1: Xác định điểm và vectơ chỉ phương:

• \( d_1 \): qua \( M_1(1, -1, 0) \), \( \vec{u_1} = (2, 1, 3) \)
• \( d_2 \): qua \( M_2(0, 2, 1) \), \( \vec{u_2} = (1, -1, 2) \)

Bước 2: Tính \( \overrightarrow{M_1M_2} \):

\[ \overrightarrow{M_1M_2} = (0-1, 2-(-1), 1-0) = (-1, 3, 1) \]

Bước 3: Tính tích có hướng \( [\vec{u_1}, \vec{u_2}] \):

\[ [\vec{u_1}, \vec{u_2}] = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} \]

\[ = (1 \cdot 2 – 3 \cdot (-1), 3 \cdot 1 – 2 \cdot 2, 2 \cdot (-1) – 1 \cdot 1) = (5, -1, -3) \]

Bước 4: Tính tích hỗn tạp:

\[ [\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \overrightarrow{M_1M_2} = 5 \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 + (-3) \cdot 1 = -5 – 3 – 3 = -11 \]

Bước 5: Tính độ dài \( |[\vec{u_1}, \vec{u_2}]| \):

\[ |[\vec{u_1}, \vec{u_2}]| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 1 + 9} = \sqrt{35} \]

Bước 6: Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng:

\[ d(d_1, d_2) = \frac{|-11|}{\sqrt{35}} = \frac{11}{\sqrt{35}} = \frac{11\sqrt{35}}{35} \]

Kết quả: \( d = \frac{11\sqrt{35}}{35} \)

Ví dụ 2: Đường thẳng cho bởi phương trình tham số

Đề bài: Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:

• \( d_1: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 – t \\ z = 3 + 2t \end{cases} \)
• \( d_2: \begin{cases} x = 2 + 2s \\ y = 1 + s \\ z = -1 + 3s \end{cases} \)

Lời giải:

Xác định các yếu tố:

• \( d_1 \): qua \( M_1(1, 2, 3) \), \( \vec{u_1} = (1, -1, 2) \)
• \( d_2 \): qua \( M_2(2, 1, -1) \), \( \vec{u_2} = (2, 1, 3) \)
• \( \overrightarrow{M_1M_2} = (1, -1, -4) \)

Tính tích có hướng:

\[ [\vec{u_1}, \vec{u_2}] = ((-1) \cdot 3 – 2 \cdot 1, 2 \cdot 2 – 1 \cdot 3, 1 \cdot 1 – (-1) \cdot 2) = (-5, 1, 3) \]

Tính tích hỗn tạp:

\[ [\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \overrightarrow{M_1M_2} = (-5) \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 3 \cdot (-4) = -5 – 1 – 12 = -18 \]

Độ dài tích có hướng:

\[ |[\vec{u_1}, \vec{u_2}]| = \sqrt{25 + 1 + 9} = \sqrt{35} \]

Khoảng cách:

\[ d = \frac{|-18|}{\sqrt{35}} = \frac{18\sqrt{35}}{35} \]

Kết quả: \( d = \frac{18\sqrt{35}}{35} \)

Ví dụ 3: Phương pháp mặt phẳng

Đề bài: Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong Oxyz:

• \( d_1 \): qua \( A(1, 0, 0) \), \( \vec{u_1} = (1, 1, 0) \)
• \( d_2 \): qua \( B(0, 1, 1) \), \( \vec{u_2} = (0, 1, 1) \)

Lời giải bằng phương pháp mặt phẳng:

Bước 1: Lập mặt phẳng \( (P) \) chứa \( d_2 \) và song song \( d_1 \):

Vectơ pháp tuyến:

\[ \vec{n} = [\vec{u_1}, \vec{u_2}] = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1, -1, 1) \]

Mặt phẳng \( (P) \) qua \( B(0, 1, 1) \):

\[ 1(x – 0) – 1(y – 1) + 1(z – 1) = 0 \]
\[ x – y + z = 0 \]

Bước 2: Tính khoảng cách từ \( A(1, 0, 0) \) đến \( (P) \):

\[ d = \frac{|1 – 0 + 0|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Kết quả: \( d = \frac{\sqrt{3}}{3} \)

Ví dụ 4: Bài toán hình học không gian

Đề bài: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh \( a \). Tính khoảng cách giữa AC và B’D’.

Lời giải:

Đặt hệ trục tọa độ Oxyz với \( A \) là gốc tọa độ:

• \( A(0, 0, 0) \), \( B(a, 0, 0) \), \( C(a, a, 0) \), \( D(0, a, 0) \)
• \( A'(0, 0, a) \), \( B'(a, 0, a) \), \( C'(a, a, a) \), \( D'(0, a, a) \)

Đường thẳng AC:

• Qua \( A(0, 0, 0) \), \( \vec{u_1} = \overrightarrow{AC} = (a, a, 0) \)

Đường thẳng B’D’:

• Qua \( B'(a, 0, a) \), \( \vec{u_2} = \overrightarrow{B’D’} = (-a, a, 0) \)

Tính toán:

• \( \overrightarrow{AB’} = (a, 0, a) \)
• \( [\vec{u_1}, \vec{u_2}] = (0, 0, 2a^2) \)
• \( [\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \overrightarrow{AB’} = 2a^3 \)
• \( |[\vec{u_1}, \vec{u_2}]| = 2a^2 \)

Khoảng cách:

\[ d = \frac{|2a^3|}{2a^2} = a \]

Kết quả: Khoảng cách giữa AC và B’D’ bằng \( a \) (bằng cạnh hình lập phương).

Bài tập tự luyện có đáp án

Hãy vận dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng để giải các bài tập sau:

Bài tập

Bài 1: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

• \( d_1: \frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1} \)
• \( d_2: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{0} \)

Bài 2: Cho hai đường thẳng:

• \( d_1: \begin{cases} x = 2t \\ y = 1 + t \\ z = -1 + 3t \end{cases} \)
• \( d_2: \begin{cases} x = 1 + s \\ y = 2 – s \\ z = 2s \end{cases} \)

Tính khoảng cách giữa \( d_1 \) và \( d_2 \).

Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có \( AB = 3 \), \( AD = 4 \), \( AA’ = 5 \). Tính khoảng cách giữa BD và A’C’.

Bài 4: Tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau:

• \( d_1 \) qua \( A(1, 2, 3) \), có vectơ chỉ phương \( \vec{u_1} = (1, 0, 1) \)
• \( d_2 \) qua \( B(0, 1, 0) \), có vectơ chỉ phương \( \vec{u_2} = (0, 1, 1) \)

Bài 5: Cho tứ diện đều ABCD cạnh \( a \). Tính khoảng cách giữa AB và CD.

Đáp án chi tiết

Bài 1:

• \( M_1(0,0,0) \), \( \vec{u_1} = (1,1,1) \)
• \( M_2(1,0,0) \), \( \vec{u_2} = (1,-1,0) \)
• \( [\vec{u_1}, \vec{u_2}] = (1, 1, -2) \)
• \( d = \frac{|1|}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6} \)

Bài 2:

• \( \vec{u_1} = (2,1,3) \), \( \vec{u_2} = (1,-1,2) \)
• \( [\vec{u_1}, \vec{u_2}] = (5, -1, -3) \)
• \( \overrightarrow{M_1M_2} = (1, 1, 1) \)
• \( d = \frac{|5-1-3|}{\sqrt{35}} = \frac{1}{\sqrt{35}} = \frac{\sqrt{35}}{35} \)

Bài 3:

• BD và A’C’ song song (cùng phương)
• Khoảng cách bằng \( AA’ = 5 \)

Bài 4:

• \( [\vec{u_1}, \vec{u_2}] = (-1, -1, 1) \)
• \( \overrightarrow{AB} = (-1, -1, -3) \)
• \( d = \frac{|1+1-3|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)

Bài 5:

• Khoảng cách giữa hai cạnh đối của tứ diện đều cạnh \( a \):
• \( d = \frac{a\sqrt{2}}{2} \)

Kết luận

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian là bài toán quan trọng với công thức cốt lõi \( d = \frac{|[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \overrightarrow{M_1M_2}|}{|[\vec{u_1}, \vec{u_2}]|} \). Để tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau, có thể sử dụng phương pháp tọa độ, phương pháp mặt phẳng hoặc phương pháp thể tích. Hãy ghi nhớ công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và luyện tập thường xuyên để thành thạo dạng toán khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau Oxyz.