Xét dấu hàm bậc 3: Quy tắc, bảng xét dấu và bài tập chi tiết

Xét dấu hàm bậc 3 là kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán 10 và Toán 12, giúp giải bất phương trình, khảo sát hàm số và nhiều bài toán khác. Bài viết này trình bày đầy đủ cách xét dấu hàm bậc 3, quy tắc xét dấu của hàm bậc 3, bảng xét dấu cùng các ví dụ minh họa chi tiết về đồ thị hàm số bậc 3.

1. Hàm số bậc 3 là gì?

Trước khi tìm hiểu xét dấu hàm bậc 3, cần nắm rõ định nghĩa và tính chất của hàm số bậc 3.

1.1. Định nghĩa hàm số bậc 3

Hàm số bậc 3 (hay tam thức bậc 3) có dạng tổng quát:

\[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \quad (a \neq 0) \]

Trong đó: a, b, c, d là các hệ số thực, a ≠ 0.

1.2. Tính chất cơ bản

• Tập xác định: D = ℝ
• Giới hạn: Nếu a > 0: \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\), \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\)
• Nếu a < 0: \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\), \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\)
• Số nghiệm: Phương trình bậc 3 luôn có ít nhất 1 nghiệm thực

1.3. Phân loại theo số nghiệm

Trường hợp	Số nghiệm thực	Đặc điểm
3 nghiệm phân biệt	3	\(x_1 < x_2 < x_3\)
1 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép	2 (tính bội)	Đồ thị tiếp xúc Ox tại nghiệm kép
1 nghiệm bội 3	1 (bội 3)	Đồ thị có điểm uốn trên Ox
1 nghiệm thực duy nhất	1	2 nghiệm phức còn lại

2. Đồ thị hàm số bậc 3

Đồ thị hàm số bậc 3 có hình dạng đặc trưng giúp ta hiểu rõ hơn về cách xét dấu tam thức bậc 3.

2.1. Hình dạng đồ thị

Đồ thị hàm số bậc 3 có các đặc điểm:

• Có dạng đường cong hình chữ S (hoặc chữ S ngược)
• Có một điểm uốn
• Nếu a > 0: đồ thị đi từ dưới lên (↗)
• Nếu a < 0: đồ thị đi từ trên xuống (↘)

2.2. Các dạng đồ thị theo hệ số a

Hệ số a	Hình dạng	Xu hướng
a > 0	Chữ S thuận	Từ -∞ đi lên +∞
a < 0	Chữ S ngược	Từ +∞ đi xuống -∞

2.3. Đồ thị theo số nghiệm

Trường hợp 1: Ba nghiệm phân biệt \(x_1 < x_2 < x_3\)

• Đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm
• Có 1 cực đại và 1 cực tiểu

Trường hợp 2: Một nghiệm đơn và một nghiệm kép

• Đồ thị cắt Ox tại 1 điểm, tiếp xúc Ox tại 1 điểm

Trường hợp 3: Một nghiệm duy nhất

• Đồ thị cắt Ox tại đúng 1 điểm
• Hàm số đơn điệu (không có cực trị)

3. Quy tắc xét dấu hàm bậc 3

Dưới đây là quy tắc xét dấu của hàm bậc 3 cần nắm vững.

3.1. Nguyên tắc cơ bản

Quy tắc xét dấu của hàm bậc 3:

1. Tìm tất cả nghiệm thực của f(x) = 0
2. Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần
3. Xét dấu dựa vào hệ số a và quy tắc “trong trái dấu, ngoài cùng dấu”

3.2. Quy tắc dấu theo hệ số a

Giả sử f(x) = a(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃) với x₁ < x₂ < x₃:

Khoảng	a > 0	a < 0
\((-\infty; x_1)\)	−	+
\((x_1; x_2)\)	+	−
\((x_2; x_3)\)	−	+
\((x_3; +\infty)\)	+	−

3.3. Quy tắc nhớ nhanh

Với a > 0: Dấu của f(x) lần lượt là: − + − + (từ trái sang phải)

Với a < 0: Dấu của f(x) lần lượt là: + − + − (từ trái sang phải)

Mẹo nhớ: “Khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu với a”

4. Cách xét dấu hàm bậc 3

Dưới đây là hướng dẫn chi tiết cách xét dấu hàm bậc 3 theo từng bước.

4.1. Các bước xét dấu tam thức bậc 3

Cách xét dấu tam thức bậc 3 gồm 4 bước:

1. Bước 1: Giải phương trình f(x) = 0 tìm tất cả nghiệm thực
2. Bước 2: Sắp xếp nghiệm theo thứ tự tăng dần trên trục số
3. Bước 3: Lập bảng xét dấu
4. Bước 4: Kết luận dấu của f(x) trên từng khoảng

4.2. Phương pháp giải phương trình bậc 3

Để xét dấu phương trình bậc 3, trước tiên cần tìm nghiệm:

Phương pháp 1: Nhẩm nghiệm

• Thử các ước của d/a (theo định lý nghiệm hữu tỉ)
• Thường thử: ±1, ±2, ±3, …

Phương pháp 2: Phân tích thành nhân tử

• Nếu tìm được 1 nghiệm x₀, thì f(x) = (x – x₀)·g(x)
• g(x) là đa thức bậc 2, giải tiếp

Phương pháp 3: Sử dụng công thức Cardano (ít dùng trong phổ thông)

4.3. Kỹ thuật phân tích đa thức bậc 3

Khi đã biết x₀ là nghiệm, chia đa thức:

\[ ax^3 + bx^2 + cx + d = a(x – x_0)(x^2 + px + q) \]

Trong đó: p và q được tìm bằng phép chia đa thức hoặc đồng nhất hệ số.

5. Bảng xét dấu hàm bậc 3

Dưới đây là các mẫu bảng xét dấu cho hàm bậc 3 theo từng trường hợp.

5.1. Trường hợp 1: Ba nghiệm phân biệt (a > 0)

Cho f(x) = a(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃) với a > 0 và x₁ < x₂ < x₃

Bảng xét dấu:

x	\(-\infty\)		\(x_1\)		\(x_2\)		\(x_3\)		\(+\infty\)
f(x)		−	0	+	0	−	0	+

5.2. Trường hợp 2: Ba nghiệm phân biệt (a < 0)

Cho f(x) = a(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃) với a < 0 và x₁ < x₂ < x₃

Bảng xét dấu:

x	\(-\infty\)		\(x_1\)		\(x_2\)		\(x_3\)		\(+\infty\)
f(x)		+	0	−	0	+	0	−

5.3. Trường hợp 3: Một nghiệm đơn, một nghiệm kép (a > 0)

Cho f(x) = a(x – x₁)(x – x₂)² với a > 0 và x₁ < x₂

Bảng xét dấu:

x	\(-\infty\)		\(x_1\)		\(x_2\)		\(+\infty\)
f(x)		−	0	+	0	+

Lưu ý: Tại nghiệm kép x₂, f(x) không đổi dấu (chỉ tiếp xúc trục Ox).

5.4. Trường hợp 4: Một nghiệm đơn, một nghiệm kép (a > 0, nghiệm kép đứng trước)

Cho f(x) = a(x – x₁)²(x – x₂) với a > 0 và x₁ < x₂

Bảng xét dấu:

x	\(-\infty\)		\(x_1\)		\(x_2\)		\(+\infty\)
f(x)		−	0	−	0	+

5.5. Trường hợp 5: Một nghiệm bội ba (a > 0)

Cho f(x) = a(x – x₀)³ với a > 0

Bảng xét dấu:

x	\(-\infty\)		\(x_0\)		\(+\infty\)
f(x)		−	0	+

Lưu ý: Tại nghiệm bội 3, f(x) đổi dấu (đồ thị đi qua Ox với điểm uốn).

5.6. Trường hợp 6: Một nghiệm thực duy nhất (a > 0)

Cho f(x) có duy nhất 1 nghiệm thực x₀ (2 nghiệm phức còn lại)

Bảng xét dấu:

x	\(-\infty\)		\(x_0\)		\(+\infty\)
f(x)		−	0	+

5.7. Tổng hợp quy tắc xét dấu

Loại nghiệm	Qua nghiệm đó
Nghiệm đơn	f(x) ĐỔI DẤU
Nghiệm kép (bội 2)	f(x) KHÔNG ĐỔI DẤU
Nghiệm bội 3	f(x) ĐỔI DẤU

Quy tắc tổng quát: Qua nghiệm bội lẻ thì đổi dấu, qua nghiệm bội chẵn thì không đổi dấu.

6. Cách xét dấu tam thức bậc 3 đặc biệt

Một số dạng xét dấu tam thức bậc 3 đặc biệt thường gặp.

6.1. Dạng f(x) = x³ – a³

Phân tích: \(x^3 – a^3 = (x – a)(x^2 + ax + a^2)\)

Vì \(x^2 + ax + a^2 = \left(x + \frac{a}{2}\right)^2 + \frac{3a^2}{4} > 0\) với mọi x (khi a ≠ 0)

Nên dấu của f(x) cùng dấu với (x – a):

• f(x) < 0 khi x < a
• f(x) > 0 khi x > a

6.2. Dạng f(x) = x³ + a³

Phân tích: \(x^3 + a^3 = (x + a)(x^2 – ax + a^2)\)

Vì \(x^2 – ax + a^2 > 0\) với mọi x (khi a ≠ 0)

Nên dấu của f(x) cùng dấu với (x + a):

• f(x) < 0 khi x < -a
• f(x) > 0 khi x > -a

6.3. Dạng f(x) = (x – a)(x – b)(x – c)

Với a < b < c, áp dụng trực tiếp quy tắc xét dấu của hàm bậc 3:

Khoảng	Dấu f(x)
\((-\infty; a)\)	−
\((a; b)\)	+
\((b; c)\)	−
\((c; +\infty)\)	+

6.4. Xét dấu khi không giải được phương trình

Khi phương trình bậc 3 không có nghiệm “đẹp”, ta dùng đồ thị hàm số bậc 3:

1. Tính f'(x), tìm cực trị
2. Tính f(x) tại các điểm cực trị
3. Dựa vào dấu của f(cực đại) và f(cực tiểu) để suy ra số nghiệm

7. Ứng dụng xét dấu hàm bậc 3

7.1. Giải bất phương trình bậc 3

Để giải bất phương trình f(x) > 0 hoặc f(x) < 0:

1. Lập bảng xét dấu của f(x)
2. Chọn các khoảng thỏa mãn dấu yêu cầu

7.2. Khảo sát hàm số

Xét dấu hàm bậc 3 giúp:

• Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến
• Tìm cực trị
• Vẽ đồ thị

7.3. Xét dấu đạo hàm

Nếu f(x) là hàm bậc 4, thì f'(x) là hàm bậc 3. Cách xét dấu hàm bậc 3 được áp dụng để xét dấu f'(x).

8. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Xét dấu hàm bậc 3 cơ bản

Đề bài: Xét dấu hàm bậc 3: f(x) = x³ – 6x² + 11x – 6

Lời giải:

Bước 1: Giải f(x) = 0

Thử x = 1: f(1) = 1 – 6 + 11 – 6 = 0 ✓

Phân tích: f(x) = (x – 1)(x² – 5x + 6) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)

Bước 2: Các nghiệm: x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3

Bước 3: Lập bảng xét dấu (a = 1 > 0):

x	\(-\infty\)		1		2		3		\(+\infty\)
f(x)		−	0	+	0	−	0	+

Kết luận:

• f(x) < 0 khi x ∈ (−∞; 1) ∪ (2; 3)
• f(x) > 0 khi x ∈ (1; 2) ∪ (3; +∞)
• f(x) = 0 khi x ∈ {1, 2, 3}

Bài tập 2: Xét dấu với nghiệm kép

Đề bài: Xét dấu tam thức bậc 3: f(x) = x³ – 4x² + 4x

Lời giải:

Bước 1: Phân tích

f(x) = x(x² – 4x + 4) = x(x – 2)²

Bước 2: Các nghiệm: x₁ = 0 (nghiệm đơn), x₂ = 2 (nghiệm kép)

Bước 3: Lập bảng xét dấu (a = 1 > 0):

x	\(-\infty\)		0		2		\(+\infty\)
(x – 2)²		+	+	+	0	+
x		−	0	+	+	+
f(x)		−	0	+	0	+

Kết luận:

• f(x) < 0 khi x ∈ (−∞; 0)
• f(x) > 0 khi x ∈ (0; 2) ∪ (2; +∞)
• f(x) = 0 khi x ∈ {0, 2}

Bài tập 3: Xét dấu với hệ số âm

Đề bài: Xét dấu phương trình bậc 3: f(x) = -x³ + 3x² – 2x

Lời giải:

Bước 1: Phân tích

f(x) = -x(x² – 3x + 2) = -x(x – 1)(x – 2)

Bước 2: Các nghiệm: x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 2

Bước 3: Lập bảng xét dấu (a = -1 < 0):

x	\(-\infty\)		0		1		2		\(+\infty\)
f(x)		+	0	−	0	+	0	−

Kết luận:

• f(x) > 0 khi x ∈ (−∞; 0) ∪ (1; 2)
• f(x) < 0 khi x ∈ (0; 1) ∪ (2; +∞)

Bài tập 4: Giải bất phương trình bậc 3

Đề bài: Giải bất phương trình: x³ – 7x + 6 > 0

Lời giải:

Bước 1: Giải f(x) = x³ – 7x + 6 = 0

Thử x = 1: f(1) = 1 – 7 + 6 = 0 ✓

Thử x = 2: f(2) = 8 – 14 + 6 = 0 ✓

Thử x = -3: f(-3) = -27 + 21 + 6 = 0 ✓

f(x) = (x – 1)(x – 2)(x + 3)

Bước 2: Sắp xếp nghiệm: x₁ = -3 < x₂ = 1 < x₃ = 2

Bước 3: Bảng xét dấu (a = 1 > 0):

x	\(-\infty\)		-3		1		2		\(+\infty\)
f(x)		−	0	+	0	−	0	+

Bước 4: Từ bảng xét dấu, f(x) > 0 khi x ∈ (−3; 1) ∪ (2; +∞)

Vậy tập nghiệm: S = (−3; 1) ∪ (2; +∞)

Bài tập 5: Xét dấu dạng x³ – a³

Đề bài: Xét dấu hàm bậc 3: f(x) = x³ – 8

Lời giải:

f(x) = x³ – 8 = x³ – 2³ = (x – 2)(x² + 2x + 4)

Xét g(x) = x² + 2x + 4:

Δ = 4 – 16 = -12 < 0 và hệ số a = 1 > 0

→ g(x) > 0 với mọi x

Vậy dấu f(x) cùng dấu với (x – 2):

x	\(-\infty\)		2		\(+\infty\)
f(x)		−	0	+

Kết luận: f(x) < 0 khi x < 2; f(x) > 0 khi x > 2

Bài tập 6: Bài tập tự luyện

Xét dấu các hàm số sau:

1. f(x) = x³ – x² – x + 1
2. f(x) = x³ + x² – 4x – 4
3. f(x) = -x³ + 6x² – 9x
4. f(x) = 2x³ – 3x² – 11x + 6
5. Giải bất phương trình: x³ – 4x² + x + 6 ≤ 0
6. Giải bất phương trình: x³ + 27 ≥ 0

Đáp số:

1. f(x) = (x – 1)²(x + 1); f(x) < 0 khi x < -1; f(x) > 0 khi x ∈ (-1; 1) ∪ (1; +∞)
2. f(x) = (x + 1)(x – 2)(x + 2); f(x) < 0 khi x ∈ (-∞; -2) ∪ (-1; 2)
3. f(x) = -x(x – 3)²; f(x) > 0 khi x < 0; f(x) < 0 khi x ∈ (0; 3) ∪ (3; +∞)
4. f(x) = (x – 3)(x + 2)(2x – 1); xét dấu với nghiệm -2, 1/2, 3
5. S = (-∞; -1] ∪ [2; 3]
6. S = [-3; +∞)

9. Kết luận

Xét dấu hàm bậc 3 là kỹ năng quan trọng cần nắm vững. Qua bài viết này, bạn đã học được:

• Tính chất và đồ thị hàm số bậc 3
• Quy tắc xét dấu của hàm bậc 3: dấu ngoài cùng bên phải cùng dấu với a
• Cách xét dấu hàm bậc 3 theo 4 bước: giải phương trình → sắp xếp nghiệm → lập bảng → kết luận
• Bảng xét dấu cho các trường hợp: 3 nghiệm phân biệt, nghiệm kép, nghiệm bội 3
• Cách xét dấu tam thức bậc 3 đặc biệt và ứng dụng

Hãy luyện tập thường xuyên xét dấu phương trình bậc 3 để thành thạo kỹ năng này. Chúc bạn học tốt!