Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác: Công thức và cách tính chi tiết

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là kiến thức quan trọng trong chương trình Toán THCS và THPT. Bài viết này tổng hợp đầy đủ công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp, cách tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác cho các loại tam giác thường, tam giác vuông, và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều. Mỗi công thức đều có chứng minh và ví dụ minh họa chi tiết.

1. Đường tròn nội tiếp tam giác là gì?

Trước khi tìm hiểu công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp, cần nắm vững khái niệm:

1.1. Định nghĩa

Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn nằm bên trong tam giác và tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác.

Tâm đường tròn nội tiếp (ký hiệu I) là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác.

Bán kính đường tròn nội tiếp (ký hiệu r) là khoảng cách từ tâm I đến mỗi cạnh của tam giác.

1.2. Tính chất cơ bản

• Mỗi tam giác có duy nhất một đường tròn nội tiếp
• Tâm I cách đều ba cạnh của tam giác
• Bán kính đường tròn nội tiếp bằng khoảng cách từ I đến mỗi cạnh
• Tâm I luôn nằm trong tam giác

2. Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp

Có nhiều cách tính r tùy thuộc vào dữ kiện đề bài cho:

2.1. Công thức cơ bản (theo diện tích và nửa chu vi)

Cho tam giác ABC có diện tích S, chu vi \( 2p \) (với p là nửa chu vi).

Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp:

\[ r = \frac{S}{p} \]

Trong đó:

• \( r \): bán kính đường tròn nội tiếp
• \( S \): diện tích tam giác
• \( p = \frac{a + b + c}{2} \): nửa chu vi tam giác

2.2. Chứng minh công thức

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, r là bán kính.

Chia tam giác ABC thành 3 tam giác nhỏ: IAB, IBC, ICA.

Vì r là khoảng cách từ I đến mỗi cạnh (chiều cao của mỗi tam giác nhỏ):

\[ S_{ABC} = S_{IAB} + S_{IBC} + S_{ICA} \]
\[ S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot r + \frac{1}{2} \cdot a \cdot r + \frac{1}{2} \cdot b \cdot r \]
\[ S = \frac{1}{2} r(a + b + c) = r \cdot p \]

Suy ra: \( r = \frac{S}{p} \)

2.3. Công thức theo ba cạnh (công thức Heron)

Kết hợp với công thức Heron tính diện tích:

\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

Công thức tính bán kính:

\[ r = \frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p} = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} \]

2.4. Bảng tổng hợp công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp

Dữ kiện	Công thức tính r
Diện tích S, nửa chu vi p	\( r = \frac{S}{p} \)
Ba cạnh a, b, c	\( r = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} \)
Diện tích S, ba cạnh a, b, c	\( r = \frac{2S}{a + b + c} \)

3. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều có công thức đặc biệt đơn giản:

3.1. Công thức

Cho tam giác đều cạnh a.

Công thức bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều:

\[ r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{a}{2\sqrt{3}} \]

3.2. Chứng minh

Tam giác đều cạnh a có:

• Diện tích: \( S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \)
• Nửa chu vi: \( p = \frac{3a}{2} \)

Áp dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp:

\[ r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{3a}{2}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \times \frac{2}{3a} = \frac{a\sqrt{3}}{6} \]

3.3. Mối liên hệ với bán kính ngoại tiếp

Trong tam giác đều cạnh a:

• Bán kính đường tròn nội tiếp: \( r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \)
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp: \( R = \frac{a\sqrt{3}}{3} \)

Mối liên hệ:

\[ R = 2r \]

Hay: Bán kính ngoại tiếp gấp đôi bán kính nội tiếp trong tam giác đều.

4. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông

Cách tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông có công thức riêng:

4.1. Công thức

Cho tam giác vuông có hai cạnh góc vuông a, b và cạnh huyền c.

Công thức:

\[ r = \frac{a + b – c}{2} \]

4.2. Chứng minh

Tam giác vuông có:

• Diện tích: \( S = \frac{1}{2}ab \)
• Nửa chu vi: \( p = \frac{a + b + c}{2} \)

Áp dụng công thức tính bán kính:

\[ r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{1}{2}ab}{\frac{a + b + c}{2}} = \frac{ab}{a + b + c} \]

Vì \( c^2 = a^2 + b^2 \), ta có thể biến đổi:

\[ r = \frac{ab}{a + b + c} = \frac{(a + b)^2 – c^2}{2(a + b + c)} = \frac{(a + b – c)(a + b + c)}{2(a + b + c)} = \frac{a + b – c}{2} \]

4.3. Công thức khác cho tam giác vuông

Dữ kiện	Công thức tính r
Hai cạnh góc vuông a, b và cạnh huyền c	\( r = \frac{a + b – c}{2} \)
Hai cạnh góc vuông a, b	\( r = \frac{ab}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}} \)
Cạnh huyền c và một cạnh góc vuông a	\( r = \frac{a + \sqrt{c^2 – a^2} – c}{2} \)

5. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác cân

Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác cân:

5.1. Công thức

Cho tam giác cân có cạnh bên b, cạnh đáy a.

Công thức:

\[ r = \frac{a}{2} \cdot \frac{\sqrt{4b^2 – a^2}}{2b + a} \]

Hoặc áp dụng công thức tổng quát \( r = \frac{S}{p} \) với:

• \( S = \frac{a}{4}\sqrt{4b^2 – a^2} \)
• \( p = \frac{a + 2b}{2} \)

6. Bảng tổng hợp công thức bán kính đường tròn nội tiếp

Dưới đây là bảng tổng hợp tất cả công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp:

Loại tam giác	Công thức tính r	Điều kiện
Tam giác thường	\( r = \frac{S}{p} \)	S: diện tích, p: nửa chu vi
Tam giác thường	\( r = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} \)	a, b, c: ba cạnh
Tam giác đều	\( r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \)	a: cạnh tam giác đều
Tam giác vuông	\( r = \frac{a + b – c}{2} \)	a, b: cạnh góc vuông; c: cạnh huyền
Tam giác vuông cân	\( r = \frac{a(2 – \sqrt{2})}{2} \)	a: cạnh góc vuông

7. Cách tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác – Hướng dẫn chi tiết

Dưới đây là cách tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác theo từng bước:

7.1. Phương pháp 1: Sử dụng công thức r = S/p

1. Bước 1: Tính diện tích S của tam giác
   • Nếu biết đáy và chiều cao: \( S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{cao} \)
   • Nếu biết ba cạnh: dùng công thức Heron
   • Nếu biết hai cạnh và góc xen giữa: \( S = \frac{1}{2}ab\sin C \)
2. Bước 2: Tính nửa chu vi \( p = \frac{a + b + c}{2} \)
3. Bước 3: Áp dụng công thức tính bán kính: \( r = \frac{S}{p} \)

7.2. Phương pháp 2: Dùng công thức theo ba cạnh

1. Bước 1: Tính nửa chu vi \( p = \frac{a + b + c}{2} \)
2. Bước 2: Tính \( p – a \), \( p – b \), \( p – c \)
3. Bước 3: Áp dụng: \( r = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} \)

7.3. Sơ đồ chọn công thức

Dữ kiện đề bài	Công thức nên dùng
Cho diện tích và chu vi	\( r = \frac{S}{p} \)
Cho ba cạnh a, b, c	\( r = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} \)
Tam giác đều cạnh a	\( r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \)
Tam giác vuông	\( r = \frac{a + b – c}{2} \)

8. So sánh bán kính nội tiếp và ngoại tiếp

Để hiểu rõ hơn về bán kính đường tròn, cần phân biệt:

Đặc điểm	Đường tròn nội tiếp (r)	Đường tròn ngoại tiếp (R)
Vị trí	Nằm trong tam giác	Đi qua ba đỉnh tam giác
Tâm	Giao ba đường phân giác	Giao ba đường trung trực
Công thức chung	\( r = \frac{S}{p} \)	\( R = \frac{abc}{4S} \)
Tam giác đều cạnh a	\( r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \)	\( R = \frac{a\sqrt{3}}{3} \)
Mối liên hệ (tam giác đều)	\( R = 2r \)

9. Ví dụ và bài tập minh họa

Dưới đây là các bài tập áp dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp:

Bài tập 1: Tính r theo diện tích và chu vi

Đề bài: Cho tam giác ABC có diện tích \( S = 24 \, cm^2 \) và chu vi bằng 24 cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

Lời giải:

Nửa chu vi: \( p = \frac{24}{2} = 12 \, cm \)

Áp dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp:

\[ r = \frac{S}{p} = \frac{24}{12} = 2 \, cm \]

Kết luận: Bán kính đường tròn nội tiếp là 2 cm.

Bài tập 2: Tính r theo ba cạnh

Đề bài: Cho tam giác ABC có các cạnh a = 5 cm, b = 12 cm, c = 13 cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp.

Lời giải:

Cách 1: Nhận xét \( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 \) → tam giác vuông.

Áp dụng cách tính r cho tam giác vuông:

\[ r = \frac{a + b – c}{2} = \frac{5 + 12 – 13}{2} = \frac{4}{2} = 2 \, cm \]

Cách 2: Dùng công thức tổng quát:

• Nửa chu vi: \( p = \frac{5 + 12 + 13}{2} = 15 \, cm \)
• Diện tích: \( S = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30 \, cm^2 \)
• \( r = \frac{S}{p} = \frac{30}{15} = 2 \, cm \)

Kết luận: \( r = 2 \, cm \)

Bài tập 3: Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều

Đề bài: Cho tam giác đều cạnh 6 cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều.

Lời giải:

Áp dụng công thức bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều:

\[ r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} \, cm \]

Kết luận: \( r = \sqrt{3} \approx 1,73 \, cm \)

Bài tập 4: Tính r bằng công thức Heron

Đề bài: Cho tam giác ABC có các cạnh a = 7 cm, b = 8 cm, c = 9 cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

Lời giải:

Bước 1: Tính nửa chu vi:

\[ p = \frac{7 + 8 + 9}{2} = 12 \, cm \]

Bước 2: Tính các hiệu:

• \( p – a = 12 – 7 = 5 \)
• \( p – b = 12 – 8 = 4 \)
• \( p – c = 12 – 9 = 3 \)

Bước 3: Áp dụng công thức tính bán kính:

\[ r = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} = \sqrt{\frac{5 \times 4 \times 3}{12}} = \sqrt{\frac{60}{12}} = \sqrt{5} \, cm \]

Kết luận: \( r = \sqrt{5} \approx 2,24 \, cm \)

Bài tập 5: Bài toán ngược – Tìm cạnh khi biết r

Đề bài: Tam giác đều có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 cm. Tính cạnh tam giác.

Lời giải:

Từ công thức: \( r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \)

Suy ra:

\[ a = \frac{6r}{\sqrt{3}} = \frac{6 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \, cm \]

Kết luận: Cạnh tam giác đều là \( 4\sqrt{3} \approx 6,93 \, cm \)

Bài tập 6: So sánh r và R

Đề bài: Cho tam giác đều cạnh 12 cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp r và ngoại tiếp R. So sánh r và R.

Lời giải:

Bán kính nội tiếp:

\[ r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{12\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3} \, cm \]

Bán kính ngoại tiếp:

\[ R = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \, cm \]

So sánh: \( R = 2r \) (bán kính ngoại tiếp gấp đôi bán kính nội tiếp)

Bài tập 7: Tam giác vuông cân

Đề bài: Cho tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 6 cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp.

Lời giải:

Tam giác vuông cân có \( a = b = 6 \, cm \), cạnh huyền \( c = 6\sqrt{2} \, cm \)

Áp dụng cách tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông:

\[ r = \frac{a + b – c}{2} = \frac{6 + 6 – 6\sqrt{2}}{2} = \frac{12 – 6\sqrt{2}}{2} = 6 – 3\sqrt{2} \]
\[ r = 3(2 – \sqrt{2}) \approx 1,76 \, cm \]

Kết luận: \( r = 3(2 – \sqrt{2}) \, cm \)

10. Một số lưu ý quan trọng

Khi tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, cần lưu ý:

Lưu ý	Giải thích
Chọn công thức phù hợp	Tùy dữ kiện đề bài mà chọn công thức tối ưu nhất
Đơn vị đo	r có cùng đơn vị với cạnh tam giác
Kiểm tra tam giác đặc biệt	Nếu là tam giác đều hoặc vuông, dùng công thức riêng sẽ nhanh hơn
Phân biệt r và R	r: nội tiếp (nhỏ hơn), R: ngoại tiếp (lớn hơn)

11. Kết luận

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là kiến thức quan trọng trong hình học. Để tính toán chính xác, học sinh cần:

• Ghi nhớ công thức cơ bản: \( r = \frac{S}{p} \)
• Nắm vững công thức cho các tam giác đặc biệt: bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều \( r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \), tam giác vuông \( r = \frac{a + b – c}{2} \)
• Biết cách chọn công thức tính bán kính đường tròn phù hợp với dữ kiện đề bài
• Luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập đa dạng

Hy vọng bài viết này giúp bạn nắm vững cách tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác và tự tin giải quyết mọi bài toán liên quan!