Thể tích khối nón: Công thức, cách tính và ví dụ chi tiết
Thể tích khối nón là một trong những kiến thức trọng tâm của hình học không gian, thường xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia. Bài viết này cung cấp đầy đủ công thức tính thể tích khối nón, hướng dẫn cách tính thể tích chi tiết kèm ví dụ minh họa, đồng thời tổng hợp các công thức tính thể tích các khối hình học liên quan giúp bạn hệ thống hóa kiến thức hiệu quả.
1. Khối nón là gì?
Khối nón (hay hình nón) là khối hình học được tạo thành khi quay một tam giác vuông quanh một cạnh góc vuông của nó.
Các yếu tố của khối nón:
- Đỉnh (S): Điểm cố định phía trên của khối nón
- Đáy: Hình tròn có tâm O, bán kính r
- Chiều cao (h): Khoảng cách từ đỉnh S đến tâm O của đáy (SO ⊥ mặt đáy)
- Đường sinh (l): Đoạn thẳng nối đỉnh S với một điểm trên đường tròn đáy
- Bán kính đáy (r): Bán kính của hình tròn đáy
Mối quan hệ giữa các yếu tố: \( l^2 = h^2 + r^2 \) (theo định lý Pythagore)
2. Công thức tính thể tích khối nón
Các công thức tính thể tích khối nón bao gồm:
2.1. Công thức chính
Công thức thể tích khối nón được xác định như sau:
\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \)
Trong đó:
- \( V \): Thể tích khối nón
- \( \pi \approx 3,14159 \) hoặc lấy \( \pi = \frac{22}{7} \)
- \( r \): Bán kính đáy của khối nón
- \( h \): Chiều cao của khối nón (khoảng cách từ đỉnh đến tâm đáy)
2.2. Công thức theo đường sinh
Khi biết đường sinh \( l \) và bán kính \( r \), ta có \( h = \sqrt{l^2 – r^2} \), từ đó:
\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 \sqrt{l^2 – r^2} \)
2.3. Công thức theo góc ở đỉnh
Gọi \( \alpha \) là góc giữa đường sinh và trục (nửa góc ở đỉnh), ta có:
- \( r = h \tan \alpha \)
- \( r = l \sin \alpha \)
- \( h = l \cos \alpha \)
Công thức thể tích khối nón theo góc:
\( V = \frac{1}{3} \pi h^3 \tan^2 \alpha \)
3. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần khối nón
Bên cạnh công thức tính thể tích, cần nắm thêm các công thức diện tích:
| Đại lượng | Công thức |
|---|---|
| Diện tích xung quanh | \( S_{xq} = \pi r l \) |
| Diện tích đáy | \( S_{đáy} = \pi r^2 \) |
| Diện tích toàn phần | \( S_{tp} = \pi r l + \pi r^2 = \pi r(l + r) \) |
4. So sánh với các công thức thể tích khác
Công thức V khối nón có điểm tương đồng với nhiều công thức tính toán khác.
4.1. Công thức thể tích khối chóp
Công thức tính thể tích khối chóp có dạng tương tự khối nón:
\( V_{chóp} = \frac{1}{3} S_{đáy} \times h \)
Trong đó:
- \( S_{đáy} \): Diện tích đáy của khối chóp
- \( h \): Chiều cao (khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy)
Lưu ý: Công thức thể tích khối chóp và khối nón đều có hệ số \( \frac{1}{3} \) vì khối nón thực chất là khối chóp có đáy là hình tròn.
4.2. Công thức tính thể tích hình trụ
Công thức tính thể tích hình trụ:
\( V_{trụ} = \pi r^2 h \)
Mối quan hệ: Thể tích khối nón bằng \( \frac{1}{3} \) thể tích hình trụ có cùng bán kính đáy và chiều cao.
4.3. Bảng tổng hợp các công thức tính thể tích
| Khối hình học | Công thức thể tích | Ghi chú |
|---|---|---|
| Khối nón | \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \) | r: bán kính đáy, h: chiều cao |
| Khối trụ | \( V = \pi r^2 h \) | r: bán kính đáy, h: chiều cao |
| Khối chóp | \( V = \frac{1}{3} S_{đáy} \times h \) | S: diện tích đáy, h: chiều cao |
| Khối cầu | \( V = \frac{4}{3} \pi R^3 \) | R: bán kính khối cầu |
| Khối lăng trụ | \( V = S_{đáy} \times h \) | S: diện tích đáy, h: chiều cao |
| Khối hộp chữ nhật | \( V = a \times b \times c \) | a, b, c: ba kích thước |
| Khối nón cụt | \( V = \frac{1}{3}\pi h(R^2 + Rr + r^2) \) | R, r: bán kính hai đáy |
5. Ví dụ minh họa và bài tập có lời giải chi tiết
Ví dụ 1: Tính thể tích cơ bản
Đề bài: Tính thể tích khối nón có bán kính đáy \( r = 3 \) cm và chiều cao \( h = 4 \) cm.
Lời giải:
Áp dụng công thức thể tích khối nón:
\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 4 \)
\( V = \frac{1}{3} \times \pi \times 9 \times 4 = \frac{36\pi}{3} = 12\pi \) (cm³)
\( V \approx 12 \times 3,14 = 37,68 \) (cm³)
Đáp số: \( V = 12\pi \approx 37,68 \) cm³
Ví dụ 2: Biết đường sinh và bán kính
Đề bài: Khối nón có bán kính đáy \( r = 6 \) cm, đường sinh \( l = 10 \) cm. Tính thể tích khối nón.
Lời giải:
Tính chiều cao h theo định lý Pythagore:
\( h = \sqrt{l^2 – r^2} = \sqrt{10^2 – 6^2} = \sqrt{100 – 36} = \sqrt{64} = 8 \) (cm)
Áp dụng công thức tính thể tích:
\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times 6^2 \times 8 = \frac{1}{3} \times \pi \times 36 \times 8 = 96\pi \) (cm³)
Đáp số: \( V = 96\pi \approx 301,44 \) cm³
Ví dụ 3: Tính thể tích khi biết góc
Đề bài: Khối nón có chiều cao \( h = 9 \) cm, góc giữa đường sinh và trục bằng 30°. Tính thể tích.
Lời giải:
Ta có: \( r = h \tan 30° = 9 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3} \) (cm)
Áp dụng cách tính thể tích:
\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times (3\sqrt{3})^2 \times 9 \)
\( V = \frac{1}{3} \times \pi \times 27 \times 9 = 81\pi \) (cm³)
Đáp số: \( V = 81\pi \approx 254,34 \) cm³
Ví dụ 4: So sánh thể tích khối nón và khối trụ
Đề bài: Một khối trụ và một khối nón có cùng bán kính đáy \( r = 5 \) cm và chiều cao \( h = 12 \) cm. Tính thể tích mỗi khối và so sánh.
Lời giải:
Áp dụng công thức tính thể tích hình trụ:
\( V_{trụ} = \pi r^2 h = \pi \times 5^2 \times 12 = 300\pi \) (cm³)
Áp dụng công thức thể tích khối nón:
\( V_{nón} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 12 = 100\pi \) (cm³)
So sánh: \( \frac{V_{nón}}{V_{trụ}} = \frac{100\pi}{300\pi} = \frac{1}{3} \)
Kết luận: Thể tích khối nón bằng \( \frac{1}{3} \) thể tích khối trụ cùng kích thước.
Ví dụ 5: Bài toán thực tế
Đề bài: Một chiếc phễu hình nón có đường kính miệng 14 cm, chiều cao 24 cm. Tính thể tích của phễu.
Lời giải:
Bán kính đáy: \( r = \frac{14}{2} = 7 \) (cm)
Chiều cao: \( h = 24 \) cm
Áp dụng công thức tính thể tích khối nón:
\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times 7^2 \times 24 = \frac{1}{3} \times \pi \times 49 \times 24 = 392\pi \) (cm³)
\( V \approx 392 \times 3,14 = 1230,88 \) (cm³) \( \approx 1,23 \) lít
Đáp số: \( V = 392\pi \approx 1230,88 \) cm³
Ví dụ 6: Tính bán kính khi biết thể tích
Đề bài: Khối nón có thể tích \( V = 48\pi \) cm³ và chiều cao \( h = 4 \) cm. Tính bán kính đáy.
Lời giải:
Từ công thức: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \)
Suy ra: \( r^2 = \frac{3V}{\pi h} = \frac{3 \times 48\pi}{\pi \times 4} = \frac{144\pi}{4\pi} = 36 \)
Do đó: \( r = \sqrt{36} = 6 \) (cm)
Đáp số: \( r = 6 \) cm
6. Bài tập tự luyện
Bài 1: Tính thể tích khối nón có bán kính đáy 5 cm, chiều cao 9 cm.
Bài 2: Khối nón có đường sinh 13 cm, bán kính đáy 5 cm. Tính thể tích.
Bài 3: Tính thể tích khối nón có chiều cao 6 cm, góc ở đỉnh (góc giữa hai đường sinh đối diện) bằng 120°.
Bài 4: Một khối nón có diện tích xung quanh bằng \( 15\pi \) cm² và đường sinh bằng 5 cm. Tính thể tích.
Bài 5: Khối nón có thể tích \( 100\pi \) cm³ và bán kính đáy 5 cm. Tính chiều cao và đường sinh.
Đáp án tham khảo
- \( V = 75\pi \approx 235,5 \) cm³
- \( V = 100\pi \approx 314 \) cm³
- \( V = 216\pi \approx 678,24 \) cm³
- \( V = 12\pi \approx 37,68 \) cm³
- \( h = 12 \) cm, \( l = 13 \) cm
7. Kết luận
Thể tích khối nón được tính bằng công thức \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \), là một trong những công thức tính thể tích quan trọng nhất trong chương trình hình học không gian. Nắm vững cách tính thể tích khối nón cùng với việc hiểu rõ mối liên hệ với công thức thể tích khối chóp và công thức tính thể tích hình trụ sẽ giúp bạn giải quyết hiệu quả các bài toán trong học tập và thi cử.
Có thể bạn quan tâm
