10 hằng đẳng thức đáng nhớ: Công thức và bài tập chi tiết

10 hằng đẳng thức đáng nhớ là nền tảng quan trọng nhất trong chương trình Toán đại số, giúp học sinh giải nhanh các bài toán biến đổi biểu thức, phân tích đa thức và rút gọn. Bài viết này tổng hợp đầy đủ 7 hằng đẳng thức lớp 9, các hằng đẳng thức mũ 3, cùng 12 hằng đẳng thức mở rộng và bài tập minh họa chi tiết.

1. Hằng đẳng thức là gì?

Trước khi học 10 hằng đẳng thức đáng nhớ, ta cần hiểu khái niệm cơ bản.

1.1. Định nghĩa

Hằng đẳng thức là đẳng thức luôn đúng với mọi giá trị của các biến trong biểu thức.

1.2. Phân biệt hằng đẳng thức và phương trình

Tiêu chí	Hằng đẳng thức	Phương trình
Tính đúng	Đúng với mọi giá trị của biến	Chỉ đúng với một số giá trị
Ký hiệu	Dùng dấu “≡” hoặc “=”	Dùng dấu “=”
Ví dụ	\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)	\(x + 1 = 3\)

2. 7 hằng đẳng thức đáng nhớ (Lớp 8, 9)

Dưới đây là 7 hằng đẳng thức lớp 9 trong chương trình phổ thông cơ bản:

2.1. Hằng đẳng thức số 1: Bình phương của tổng

\((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\)

Cách nhớ: “Bình phương số đầu, cộng hai lần tích, cộng bình phương số sau”

Ví dụ:

• \((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\)
• \((2a + 5)^2 = 4a^2 + 20a + 25\)

2.2. Hằng đẳng thức số 2: Bình phương của hiệu

\((A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2\)

Cách nhớ: “Bình phương số đầu, trừ hai lần tích, cộng bình phương số sau”

Ví dụ:

• \((x – 4)^2 = x^2 – 8x + 16\)
• \((3a – 2)^2 = 9a^2 – 12a + 4\)

2.3. Hằng đẳng thức số 3: Hiệu hai bình phương

Hằng đẳng thức số 3 là một trong những HĐT được sử dụng nhiều nhất:

\(A^2 – B^2 = (A + B)(A – B)\)

Cách nhớ: “Hiệu hai bình phương bằng tổng nhân hiệu”

Ví dụ:

• \(x^2 – 9 = (x + 3)(x – 3)\)
• \(4a^2 – 25 = (2a + 5)(2a – 5)\)
• \(81 – y^2 = (9 + y)(9 – y)\)

2.4. Hằng đẳng thức số 4: Lập phương của tổng

Hằng đẳng thức mũ 3 đầu tiên:

\((A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3\)

Cách nhớ: “Lũy thừa A giảm dần từ 3 về 0, lũy thừa B tăng dần từ 0 lên 3, hệ số là 1-3-3-1”

Ví dụ:

• \((x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8\)
• \((a + 1)^3 = a^3 + 3a^2 + 3a + 1\)

2.5. Hằng đẳng thức số 5: Lập phương của hiệu

\((A – B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3\)

Cách nhớ: “Giống HĐT số 4 nhưng dấu xen kẽ: +, -, +, -”

Ví dụ:

• \((x – 1)^3 = x^3 – 3x^2 + 3x – 1\)
• \((2a – 3)^3 = 8a^3 – 36a^2 + 54a – 27\)

2.6. Hằng đẳng thức số 6: Tổng hai lập phương

\(A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2)\)

Cách nhớ: “Tổng hai lập phương bằng tổng nhân bình phương thiếu (dấu trừ ở giữa)”

Ví dụ:

• \(x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 – 2x + 4)\)
• \(27a^3 + 1 = (3a + 1)(9a^2 – 3a + 1)\)

2.7. Hằng đẳng thức số 7: Hiệu hai lập phương

\(A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2)\)

Cách nhớ: “Hiệu hai lập phương bằng hiệu nhân bình phương thiếu (dấu cộng ở giữa)”

Ví dụ:

• \(x^3 – 27 = (x – 3)(x^2 + 3x + 9)\)
• \(8a^3 – 125 = (2a – 5)(4a^2 + 10a + 25)\)

3. Bảng tổng hợp 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Dưới đây là bảng tổng hợp HĐT đáng nhớ cơ bản:

Số	Tên gọi	Công thức
1	Bình phương của tổng	\((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\)
2	Bình phương của hiệu	\((A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2\)
3	Hiệu hai bình phương	\(A^2 – B^2 = (A + B)(A – B)\)
4	Lập phương của tổng	\((A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3\)
5	Lập phương của hiệu	\((A – B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3\)
6	Tổng hai lập phương	\(A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2)\)
7	Hiệu hai lập phương	\(A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2)\)

4. 10 hằng đẳng thức đáng nhớ (Mở rộng)

Ngoài 7 HĐT cơ bản, còn có 3 hằng đẳng thức số mở rộng quan trọng:

4.1. Hằng đẳng thức số 8: Bình phương của tổng ba số

Hằng đẳng thức số 8 mở rộng cho ba số hạng:

\((A + B + C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2BC + 2CA\)

Cách nhớ: “Tổng các bình phương cộng hai lần tổng các tích đôi một”

Ví dụ:

\((x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx\)

\((a + b + 1)^2 = a^2 + b^2 + 1 + 2ab + 2b + 2a\)

4.2. Hằng đẳng thức số 9: Tổng và hiệu các lập phương

\(A^3 + B^3 + C^3 – 3ABC = (A + B + C)(A^2 + B^2 + C^2 – AB – BC – CA)\)

Hệ quả quan trọng: Nếu \(A + B + C = 0\) thì \(A^3 + B^3 + C^3 = 3ABC\)

4.3. Hằng đẳng thức số 10: Công thức nhị thức Newton

\((A + B)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k A^{n-k} B^k\)

Trong đó \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) là hệ số tổ hợp.

5. Bảng tổng hợp 10 hằng đẳng thức đáng nhớ

Bảng đầy đủ 10 hằng đẳng thức đáng nhớ:

Số	Công thức
1	\((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\)
2	\((A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2\)
3	\(A^2 – B^2 = (A + B)(A – B)\)
4	\((A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3\)
5	\((A – B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3\)
6	\(A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2)\)
7	\(A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2)\)
8	\((A + B + C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2BC + 2CA\)
9	\(A^3 + B^3 + C^3 – 3ABC = (A + B + C)(A^2 + B^2 + C^2 – AB – BC – CA)\)
10	\((A + B)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k A^{n-k} B^k\)

6. 12 hằng đẳng thức (Bổ sung thêm)

Ngoài 10 hằng đẳng thức đáng nhớ, còn có thêm 2 HĐT thường gặp:

6.1. Hằng đẳng thức số 11: Hiệu các lũy thừa bậc n

\(A^n – B^n = (A – B)(A^{n-1} + A^{n-2}B + A^{n-3}B^2 + … + AB^{n-2} + B^{n-1})\)

6.2. Hằng đẳng thức số 12: Tổng các lũy thừa bậc lẻ

\(A^n + B^n = (A + B)(A^{n-1} – A^{n-2}B + A^{n-3}B^2 – … – AB^{n-2} + B^{n-1})\) (với n lẻ)

7. Hằng đẳng thức mũ 3 chi tiết

Các hằng đẳng thức mũ 3 là nhóm HĐT quan trọng trong chương trình lớp 8, 9:

7.1. Tổng hợp các hằng đẳng thức mũ 3

Loại	Công thức	Dạng khai triển
Lập phương của tổng	\((A + B)^3\)	\(A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3\)
Lập phương của hiệu	\((A – B)^3\)	\(A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3\)
Tổng hai lập phương	\(A^3 + B^3\)	\((A + B)(A^2 – AB + B^2)\)
Hiệu hai lập phương	\(A^3 – B^3\)	\((A – B)(A^2 + AB + B^2)\)

7.2. Công thức rút gọn hằng đẳng thức mũ 3

Hai công thức rút gọn hữu ích:

• \((A + B)^3 = A^3 + B^3 + 3AB(A + B)\)
• \((A – B)^3 = A^3 – B^3 – 3AB(A – B)\)

8. Cách ghi nhớ hằng đẳng thức

Dưới đây là các mẹo giúp nhớ nhanh HĐT đáng nhớ:

8.1. Quy tắc dấu

Hằng đẳng thức	Quy tắc dấu
Bình phương của tổng	Tất cả dấu cộng (+)
Bình phương của hiệu	Dấu trừ (-) ở số hạng giữa
Lập phương của tổng	Tất cả dấu cộng (+)
Lập phương của hiệu	Dấu xen kẽ: +, -, +, –
Tổng hai lập phương	Tổng × (bình phương thiếu với dấu -)
Hiệu hai lập phương	Hiệu × (bình phương thiếu với dấu +)

8.2. Tam giác Pascal (Hệ số)

Hệ số của các hằng đẳng thức theo tam giác Pascal:

• Bậc 2: 1 – 2 – 1
• Bậc 3: 1 – 3 – 3 – 1
• Bậc 4: 1 – 4 – 6 – 4 – 1

9. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Vận dụng 10 hằng đẳng thức đáng nhớ để giải các bài tập sau:

Bài tập 1: Khai triển biểu thức

Đề bài: Khai triển các biểu thức sau:

a) \((2x + 3)^2\)

b) \((3a – 2b)^3\)

Lời giải:

a) Áp dụng HĐT số 1:

\((2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2\)

\(= 4x^2 + 12x + 9\)

b) Áp dụng hằng đẳng thức mũ 3 (HĐT số 5):

\((3a – 2b)^3 = (3a)^3 – 3(3a)^2(2b) + 3(3a)(2b)^2 – (2b)^3\)

\(= 27a^3 – 54a^2b + 36ab^2 – 8b^3\)

Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

Đề bài: Phân tích thành nhân tử:

a) \(x^2 – 16\)

b) \(8x^3 + 27\)

c) \(x^3 – 64y^3\)

Lời giải:

a) Áp dụng hằng đẳng thức số 3:

\(x^2 – 16 = x^2 – 4^2 = (x + 4)(x – 4)\)

b) Áp dụng HĐT số 6 (tổng hai lập phương):

\(8x^3 + 27 = (2x)^3 + 3^3 = (2x + 3)(4x^2 – 6x + 9)\)

c) Áp dụng HĐT số 7 (hiệu hai lập phương):

\(x^3 – 64y^3 = x^3 – (4y)^3 = (x – 4y)(x^2 + 4xy + 16y^2)\)

Bài tập 3: Tính nhanh

Đề bài: Tính nhanh giá trị các biểu thức:

a) \(101^2\)

b) \(47 \times 53\)

Lời giải:

a) Áp dụng HĐT số 1:

\(101^2 = (100 + 1)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2\)

\(= 10000 + 200 + 1 = 10201\)

b) Áp dụng hằng đẳng thức số 3:

\(47 \times 53 = (50 – 3)(50 + 3) = 50^2 – 3^2\)

\(= 2500 – 9 = 2491\)

Bài tập 4: Áp dụng hằng đẳng thức số 8

Đề bài: Khai triển \((x + y + 2)^2\)

Lời giải:

Áp dụng hằng đẳng thức số 8:

\((x + y + 2)^2 = x^2 + y^2 + 4 + 2xy + 4y + 4x\)

\(= x^2 + y^2 + 2xy + 4x + 4y + 4\)

Bài tập 5: Rút gọn biểu thức

Đề bài: Rút gọn biểu thức: \(A = (x + 2)^3 – (x – 2)^3\)

Lời giải:

Áp dụng hằng đẳng thức mũ 3:

\((x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8\)

\((x – 2)^3 = x^3 – 6x^2 + 12x – 8\)

\(A = (x^3 + 6x^2 + 12x + 8) – (x^3 – 6x^2 + 12x – 8)\)

\(A = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 – x^3 + 6x^2 – 12x + 8\)

\(A = 12x^2 + 16\)

10. Bài tập tự luyện

Vận dụng HĐT đáng nhớ, hãy giải các bài tập sau:

Bài 1: Khai triển \((3x – 2y)^2\)

Xem đáp án

\((3x – 2y)^2 = 9x^2 – 12xy + 4y^2\)

Bài 2: Phân tích thành nhân tử: \(25a^2 – 36b^2\)

Xem đáp án

\(25a^2 – 36b^2 = (5a)^2 – (6b)^2 = (5a + 6b)(5a – 6b)\)

Bài 3: Tính nhanh \(99^2\)

Xem đáp án

\(99^2 = (100 – 1)^2 = 10000 – 200 + 1 = 9801\)

Bài 4: Phân tích: \(x^3 + 125\)

Xem đáp án

\(x^3 + 125 = x^3 + 5^3 = (x + 5)(x^2 – 5x + 25)\)

Bài 5: Chứng minh: \((a + b + c)^2 – (a – b – c)^2 = 4a(b + c)\)

Xem đáp án

Áp dụng hằng đẳng thức số 3:

VT = [(a + b + c) + (a – b – c)][(a + b + c) – (a – b – c)]

= [2a][2(b + c)]

= 4a(b + c) = VP ✓

11. Kết luận

10 hằng đẳng thức đáng nhớ là công cụ không thể thiếu trong học Toán đại số. Qua bài viết này, các bạn đã nắm được:

• 7 hằng đẳng thức lớp 9 cơ bản trong chương trình phổ thông
• Hằng đẳng thức số 3 (hiệu hai bình phương) và hằng đẳng thức số 8 (bình phương tổng ba số)
• Các hằng đẳng thức mũ 3: lập phương của tổng, hiệu, tổng và hiệu hai lập phương
• 12 hằng đẳng thức mở rộng cho các bài toán nâng cao
• Cách ghi nhớ và áp dụng HĐT đáng nhớ vào giải toán

Hãy luyện tập thường xuyên các HĐT để thành thạo kỹ năng biến đổi biểu thức và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.