Bất đẳng thức Minkowski: Công thức, chứng minh và bài tập

Bất đẳng thức Minkowski là một trong những bất đẳng thức quan trọng nhất trong giải tích toán học, được đặt theo tên nhà toán học Hermann Minkowski. BĐT Minkowski thiết lập mối quan hệ giữa tổng các lũy thừa và có ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết không gian \(L^p\), bất đẳng thức vecto và nhiều lĩnh vực toán học khác. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết công thức, chứng minh và các bài tập vận dụng bất đẳng thức Mincopxki.

1. Định nghĩa và công thức bất đẳng thức Minkowski

Bất đẳng thức Minkowski (hay còn gọi là BĐT Mincopxki) phát biểu mối quan hệ bất đẳng thức giữa các tổng lũy thừa. Dưới đây là các dạng công thức chính:

1.1. Dạng tổng hữu hạn

Cho các số thực \(a_i, b_i \geq 0\) với \(i = 1, 2, …, n\) và \(p \geq 1\). Khi đó:

\[\left( \sum_{i=1}^{n} |a_i + b_i|^p \right)^{\frac{1}{p}} \leq \left( \sum_{i=1}^{n} |a_i|^p \right)^{\frac{1}{p}} + \left( \sum_{i=1}^{n} |b_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}\]

1.2. Dạng tích phân

Với các hàm \(f, g\) khả tích trên miền \(\Omega\) và \(p \geq 1\):

\[\left( \int_{\Omega} |f + g|^p \, dx \right)^{\frac{1}{p}} \leq \left( \int_{\Omega} |f|^p \, dx \right)^{\frac{1}{p}} + \left( \int_{\Omega} |g|^p \, dx \right)^{\frac{1}{p}}\]

1.3. Điều kiện đẳng thức

Đẳng thức trong BDT Minkowski xảy ra khi và chỉ khi:

• Tồn tại hằng số \(\lambda \geq 0\) sao cho \(a_i = \lambda b_i\) với mọi \(i\)
• Hoặc một trong hai dãy \((a_i)\) hoặc \((b_i)\) bằng 0

2. Chứng minh bất đẳng thức Minkowski

Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức Mincopxki. Dưới đây là cách chứng minh phổ biến nhất sử dụng bất đẳng thức Hölder.

2.1. Chứng minh bằng bất đẳng thức Hölder

Bước 1: Nhắc lại bất đẳng thức Hölder với \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\):

\[\sum_{i=1}^{n} |x_i y_i| \leq \left( \sum_{i=1}^{n} |x_i|^p \right)^{\frac{1}{p}} \cdot \left( \sum_{i=1}^{n} |y_i|^q \right)^{\frac{1}{q}}\]

Bước 2: Đặt \(S = \sum_{i=1}^{n} |a_i + b_i|^p\). Ta có:

\[S = \sum_{i=1}^{n} |a_i + b_i|^{p-1} \cdot |a_i + b_i| \leq \sum_{i=1}^{n} |a_i + b_i|^{p-1} \cdot |a_i| + \sum_{i=1}^{n} |a_i + b_i|^{p-1} \cdot |b_i|\]

Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức Hölder cho mỗi tổng:

\[\sum_{i=1}^{n} |a_i + b_i|^{p-1} |a_i| \leq \left( \sum_{i=1}^{n} |a_i + b_i|^p \right)^{\frac{p-1}{p}} \cdot \left( \sum_{i=1}^{n} |a_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}\]

Bước 4: Tương tự với tổng chứa \(b_i\), rồi cộng lại và rút gọn, ta được BĐT Minkowski.

3. Các dạng đặc biệt của BĐT Minkowski

Minkowski có nhiều dạng đặc biệt quan trọng được sử dụng trong các bài toán cụ thể.

3.1. Trường hợp p = 2

Khi \(p = 2\), bất đẳng thức Minkowski trở thành:

\[\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (a_i + b_i)^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} + \sqrt{\sum_{i=1}^{n} b_i^2}\]

Đây chính là bất đẳng thức tam giác trong không gian Euclid, liên hệ mật thiết với bất đẳng thức vecto.

3.2. Bất đẳng thức Minkowski ngược (0 < p < 1)

Khi \(0 < p < 1\), bất đẳng thức đổi chiều:

\[\left( \sum_{i=1}^{n} |a_i + b_i|^p \right)^{\frac{1}{p}} \geq \left( \sum_{i=1}^{n} |a_i|^p \right)^{\frac{1}{p}} + \left( \sum_{i=1}^{n} |b_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}\]

4. Bất đẳng thức vecto và mối liên hệ với Minkowski

Bất đẳng thức vecto là trường hợp đặc biệt quan trọng của BĐT Mincopxki. Xét các vecto trong không gian \(\mathbb{R}^n\):

4.1. Bất đẳng thức tam giác cho vecto

Với hai vecto \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) trong \(\mathbb{R}^n\):

\[|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|\]

Trong đó \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + … + a_n^2}\) là độ dài (chuẩn Euclid) của vecto.

4.2. Ý nghĩa hình học

Bất đẳng thức vecto thể hiện rằng: Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh luôn lớn hơn hoặc bằng độ dài cạnh còn lại.

5. Ví dụ và bài tập minh họa BĐT Minkowski

Dưới đây là các ví dụ và bài tập áp dụng bất đẳng thức Minkowski từ cơ bản đến nâng cao.

Ví dụ 1: Áp dụng trực tiếp công thức

Đề bài: Cho \(a, b, c, d > 0\). Chứng minh rằng:

\[\sqrt{(a+c)^2 + (b+d)^2} \leq \sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{c^2 + d^2}\]

Lời giải:

Áp dụng BDT Minkowski với \(p = 2\), \(n = 2\):

• Đặt \(a_1 = a, a_2 = b\) và \(b_1 = c, b_2 = d\)
• Theo công thức: \(\sqrt{(a_1 + b_1)^2 + (a_2 + b_2)^2} \leq \sqrt{a_1^2 + a_2^2} + \sqrt{b_1^2 + b_2^2}\)
• Thay số: \(\sqrt{(a+c)^2 + (b+d)^2} \leq \sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{c^2 + d^2}\) (đpcm)

Ví dụ 2: Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất

Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{(x-3)^2 + 9}\)

Lời giải:

Ta viết lại: \(P = \sqrt{x^2 + 2^2} + \sqrt{(3-x)^2 + 3^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Mincopxki:

\[P \geq \sqrt{(x + 3 – x)^2 + (2 + 3)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}\]

Đẳng thức xảy ra khi \(\frac{x}{3-x} = \frac{2}{3}\), tức \(x = \frac{6}{5}\).

Vậy \(P_{min} = \sqrt{34}\) khi \(x = \frac{6}{5}\).

Ví dụ 3: Bất đẳng thức vecto trong mặt phẳng

Đề bài: Cho tam giác ABC với \(A(1, 2)\), \(B(4, 6)\), \(C(7, 3)\). Chứng minh bất đẳng thức tam giác.

Lời giải:

Tính độ dài các cạnh:

• \(AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\)
• \(BC = \sqrt{(7-4)^2 + (3-6)^2} = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}\)
• \(AC = \sqrt{(7-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37}\)

Kiểm tra bất đẳng thức vecto:

• \(AB + BC = 5 + 3\sqrt{2} \approx 9.24 > \sqrt{37} \approx 6.08 = AC\) ✓
• \(AB + AC = 5 + \sqrt{37} \approx 11.08 > 3\sqrt{2} \approx 4.24 = BC\) ✓
• \(BC + AC = 3\sqrt{2} + \sqrt{37} \approx 10.32 > 5 = AB\) ✓

Bài tập tự luyện

Vận dụng BĐT Minkowski để giải các bài tập sau:

1. Chứng minh: \(\sqrt{a^2 + 1} + \sqrt{b^2 + 1} + \sqrt{c^2 + 1} \geq \sqrt{(a+b+c)^2 + 9}\) với \(a, b, c > 0\)
2. Tìm GTNN của \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{(x-2)^2 + 4}\)
3. Cho \(a, b, c, d\) là các số thực. Chứng minh: \(\sqrt[3]{(a+c)^3 + (b+d)^3} \leq \sqrt[3]{a^3 + b^3} + \sqrt[3]{c^3 + d^3}\)

6. Kết luận

Bất đẳng thức Minkowski là công cụ mạnh mẽ trong giải tích và đại số, đặc biệt hữu ích khi làm việc với các không gian \(L^p\) và các bài toán cực trị. Từ BĐT Mincopxki, ta có thể suy ra nhiều bất đẳng thức quan trọng khác như bất đẳng thức vecto, bất đẳng thức tam giác. Việc nắm vững công thức và phương pháp chứng minh BDT Minkowski sẽ giúp bạn giải quyết hiệu quả nhiều bài toán trong các kỳ thi học sinh giỏi và đại học.