Bảng nguyên hàm cơ bản và mở rộng – Công thức đầy đủ lớp 12

Bảng nguyên hàm là công cụ không thể thiếu giúp học sinh lớp 12 giải nhanh các bài toán tích phân. Bài viết này tổng hợp đầy đủ bảng nguyên hàm cơ bản, bảng nguyên hàm mở rộng cùng các công thức nguyên hàm 12 thường gặp như nguyên hàm 1/x, nguyên hàm 1/u, nguyên hàm của x. Mỗi công thức đều có ví dụ minh họa chi tiết, dễ hiểu.

1. Định nghĩa nguyên hàm

Trước khi tìm hiểu bảng nguyên hàm, chúng ta cần nắm vững khái niệm cơ bản sau:

Định nghĩa: Cho hàm số \( f(x) \) xác định trên khoảng \( (a; b) \). Hàm số \( F(x) \) được gọi là nguyên hàm của \( f(x) \) trên \( (a; b) \) nếu \( F'(x) = f(x) \) với mọi \( x \in (a; b) \).

Ký hiệu:

\[ \int f(x)\,dx = F(x) + C \]

Trong đó:

• \( \int \): dấu tích phân
• \( f(x) \): hàm số dưới dấu nguyên hàm
• \( F(x) \): một nguyên hàm của \( f(x) \)
• \( C \): hằng số tích phân

2. Bảng nguyên hàm cơ bản

Dưới đây là bảng nguyên hàm cơ bản tổng hợp các ct nguyên hàm quan trọng nhất trong chương trình Toán 12:

2.1. Nguyên hàm của hàm lũy thừa

2.2. Nguyên hàm của hàm mũ và logarit

2.3. Nguyên hàm của hàm lượng giác

3. Bảng nguyên hàm mở rộng

Bảng nguyên hàm mở rộng bao gồm các nguyên hàm công thức của hàm hợp, được suy ra từ bảng cơ bản bằng phương pháp đổi biến:

3.1. Công thức nguyên hàm mở rộng dạng lũy thừa

3.2. Nguyên hàm 1/u (dạng tổng quát)

Đây là công thức quan trọng thường gặp trong các bài toán:

Công thức nguyên hàm 1/u:

\[ \int \frac{u’}{u}\,dx = \ln|u| + C \]

Trong đó \( u = u(x) \) là hàm số khả vi và \( u \neq 0 \).

3.3. Công thức nguyên hàm mở rộng dạng mũ

3.4. Công thức nguyên hàm mở rộng dạng lượng giác

4. Chi tiết các công thức nguyên hàm quan trọng

Phần này giải thích chi tiết các công thức nguyên hàm 12 hay gặp nhất:

4.1. Nguyên hàm của x (dạng x^n)

Nguyên hàm của x và các lũy thừa của x tuân theo quy tắc sau:

\[ \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) \]

Giải thích: Lấy đạo hàm vế phải ta được:

\[ \left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right)’ = \frac{(n+1)x^n}{n+1} = x^n \]

Ví dụ minh họa:

• \( \int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C \)
• \( \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C \)
• \( \int x^5\,dx = \frac{x^6}{6} + C \)
• \( \int \sqrt{x}\,dx = \int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2x\sqrt{x}}{3} + C \)

4.2. Nguyên hàm 1/x

Nguyên hàm 1/x là trường hợp đặc biệt khi \( n = -1 \):

\[ \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C \quad (x \neq 0) \]

Giải thích: Ta có \( (\ln|x|)’ = \frac{1}{x} \), do đó nguyên hàm của \( \frac{1}{x} \) là \( \ln|x| + C \).

Lưu ý quan trọng: Phải lấy giá trị tuyệt đối \( |x| \) vì logarit chỉ xác định với số dương.

4.3. Nguyên hàm 1/u

Nguyên hàm 1/u là dạng tổng quát hóa của nguyên hàm 1/x:

\[ \int \frac{u’}{u}\,dx = \ln|u| + C \]

Ví dụ: Tính \( \int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx \)

Lời giải:

• Đặt \( u = x^2 + 1 \Rightarrow u’ = 2x \)
• Ta có: \( \int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \int \frac{u’}{u}\,dx = \ln|u| + C = \ln(x^2 + 1) + C \)

4.4. Nguyên hàm 1/x²

Nguyên hàm 1/x² được tính như sau:

\[ \int \frac{1}{x^2}\,dx = \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C \]

Tổng quát hơn:

\[ \int \frac{1}{(ax+b)^2}\,dx = -\frac{1}{a(ax+b)} + C \]

5. Tính chất của nguyên hàm

Để vận dụng bảng nguyên hàm hiệu quả, cần nắm các tính chất sau:

6. Ví dụ và bài tập minh họa

Dưới đây là các bài tập áp dụng bảng nguyên hàm cơ bản và bảng nguyên hàm mở rộng:

Bài tập 1: Nguyên hàm cơ bản

Đề bài: Tính các nguyên hàm sau:

1. \( \int (3x^2 – 2x + 5)\,dx \)
2. \( \int \left( \frac{1}{x} + e^x \right)\,dx \)
3. \( \int (\sin x – 2\cos x)\,dx \)

Lời giải:

a) Áp dụng tính chất và nguyên hàm của x:

\[ \int (3x^2 – 2x + 5)\,dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} – 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = x^3 – x^2 + 5x + C \]

b) Áp dụng nguyên hàm 1/x và nguyên hàm hàm mũ:

\[ \int \left( \frac{1}{x} + e^x \right)\,dx = \ln|x| + e^x + C \]

c) Áp dụng nguyên hàm lượng giác:

\[ \int (\sin x – 2\cos x)\,dx = -\cos x – 2\sin x + C \]

Bài tập 2: Nguyên hàm 1/u

Đề bài: Tính các nguyên hàm sau:

1. \( \int \frac{3}{3x + 1}\,dx \)
2. \( \int \frac{x}{x^2 – 4}\,dx \)
3. \( \int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx \)

Lời giải:

a) Áp dụng công thức nguyên hàm 1/u:

\[ \int \frac{3}{3x + 1}\,dx = \int \frac{(3x+1)’}{3x+1}\,dx = \ln|3x + 1| + C \]

b) Đặt \( u = x^2 – 4 \Rightarrow u’ = 2x \):

\[ \int \frac{x}{x^2 – 4}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2 – 4}\,dx = \frac{1}{2}\ln|x^2 – 4| + C \]

c) Đặt \( u = \sin x \Rightarrow u’ = \cos x \):

\[ \int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx = \int \frac{u’}{u}\,dx = \ln|\sin x| + C \]

Bài tập 3: Nguyên hàm 1/x²

Đề bài: Tính các nguyên hàm sau:

1. \( \int \frac{2}{x^2}\,dx \)
2. \( \int \frac{1}{(2x – 3)^2}\,dx \)

Lời giải:

a) Áp dụng nguyên hàm 1/x²:

\[ \int \frac{2}{x^2}\,dx = 2 \int x^{-2}\,dx = 2 \cdot \left( -\frac{1}{x} \right) + C = -\frac{2}{x} + C \]

b) Áp dụng công thức mở rộng với \( a = 2, b = -3 \):

\[ \int \frac{1}{(2x – 3)^2}\,dx = -\frac{1}{2(2x – 3)} + C = -\frac{1}{4x – 6} + C \]

Bài tập 4: Bài tập tổng hợp

Đề bài: Tính nguyên hàm \( \int \left( x^3 – \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} + 3e^{2x} \right)\,dx \)

Lời giải:

Áp dụng các công thức nguyên hàm 12 đã học:

\[ \int \left( x^3 – \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} + 3e^{2x} \right)\,dx \]

\[ = \frac{x^4}{4} – 2\ln|x| – \frac{1}{x} + \frac{3}{2}e^{2x} + C \]

7. Kết luận

Bảng nguyên hàm là kiến thức nền tảng quan trọng trong chương trình Toán 12, đặc biệt khi học tích phân. Để làm tốt các bài toán nguyên hàm, học sinh cần:

• Học thuộc bảng nguyên hàm cơ bản và bảng nguyên hàm mở rộng
• Nắm vững các công thức đặc biệt: nguyên hàm 1/x, nguyên hàm 1/u, nguyên hàm 1/x²
• Luyện tập thường xuyên để nhận dạng và áp dụng đúng công thức
• Hiểu bản chất thay vì chỉ học thuộc máy móc

Hy vọng bài viết này giúp bạn nắm vững các ct nguyên hàm và tự tin chinh phục mọi bài toán tích phân!