Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm: Công thức và cách tính chi tiết

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là một trong những đại lượng đặc trưng quan trọng trong thống kê, giúp xác định giá trị xuất hiện nhiều nhất trong tập dữ liệu. Bài viết này trình bày chi tiết công thức mốt, hướng dẫn cách tính mốt cho cả mẫu số liệu đơn giản và ghép nhóm, cùng với công thức tính mốt lớp 11 kèm các ví dụ minh họa giúp bạn tìm mốt nhanh chóng, chính xác.

1. Mốt là gì?

Mốt (Mode, ký hiệu M₀) là giá trị có tần số xuất hiện lớn nhất trong một mẫu số liệu. Nói cách khác, mốt của mẫu số liệu là giá trị phổ biến nhất, xuất hiện nhiều lần nhất.

1.1. Ý nghĩa của mốt

• Mốt cho biết giá trị “thời thượng” hay phổ biến nhất của dữ liệu
• Hữu ích trong nghiên cứu thị trường, khảo sát ý kiến
• Không bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ (outliers)
• Có thể áp dụng cho cả dữ liệu định tính và định lượng

1.2. Các trường hợp đặc biệt

2. Cách tìm mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm

Cách tính mốt cho mẫu số liệu đơn giản (không ghép nhóm):

2.1. Các bước tìm mốt

1. Bước 1: Liệt kê tất cả các giá trị khác nhau trong mẫu
2. Bước 2: Đếm tần số (số lần xuất hiện) của mỗi giá trị
3. Bước 3: Xác định giá trị có tần số lớn nhất
4. Bước 4: Giá trị đó chính là mốt

2.2. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Tìm mốt của mẫu số liệu: 5, 7, 8, 5, 9, 5, 7, 8, 5, 10

Lời giải:

Lập bảng tần số:

Giá trị 5 có tần số lớn nhất (4 lần).

Đáp số: M₀ = 5

3. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị đại diện cho nhóm (lớp) có tần số lớn nhất. Vì dữ liệu đã được ghép thành các khoảng, ta cần sử dụng công thức để ước lượng giá trị mốt chính xác.

3.1. Các khái niệm cần biết

3.2. Công thức tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Công thức mốt cho mẫu số liệu ghép nhóm:

\( M_0 = x_{M_0} + h \times \frac{n_{M_0} – n_{M_0 – 1}}{(n_{M_0} – n_{M_0 – 1}) + (n_{M_0} – n_{M_0 + 1})} \)

Trong đó:

• \( M_0 \): Mốt cần tìm
• \( x_{M_0} \): Cận dưới của lớp chứa mốt
• \( h \): Độ dài (độ rộng) của lớp
• \( n_{M_0} \): Tần số của lớp chứa mốt
• \( n_{M_0 – 1} \): Tần số của lớp liền trước lớp chứa mốt
• \( n_{M_0 + 1} \): Tần số của lớp liền sau lớp chứa mốt

3.3. Công thức rút gọn

Đặt \( d_1 = n_{M_0} – n_{M_0 – 1} \) và \( d_2 = n_{M_0} – n_{M_0 + 1} \), công thức tính mốt lớp 11 trở thành:

\( M_0 = x_{M_0} + h \times \frac{d_1}{d_1 + d_2} \)

3.4. Các bước tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Cách tính mốt theo các bước:

1. Bước 1: Xác định lớp chứa mốt (lớp có tần số lớn nhất)
2. Bước 2: Xác định cận dưới \( x_{M_0} \) của lớp chứa mốt
3. Bước 3: Xác định độ dài lớp \( h \)
4. Bước 4: Xác định các tần số \( n_{M_0} \), \( n_{M_0-1} \), \( n_{M_0+1} \)
5. Bước 5: Áp dụng công thức mốt để tính

4. Bảng tổng hợp công thức tính mốt

5. Ví dụ minh họa và bài tập có lời giải chi tiết

Gợi ý giải các bài tập ví dụ giúp học sinh nắm chắc công thức đã học ở trên.

Ví dụ 1: Tìm mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm

Đề bài: Điểm kiểm tra của 20 học sinh: 6, 7, 8, 7, 9, 6, 7, 8, 7, 10, 5, 7, 8, 6, 7, 9, 8, 7, 6, 8. Tìm mốt của mẫu số liệu.

Lời giải:

Lập bảng tần số:

Điểm 7 có tần số lớn nhất (7 lần).

Đáp số: M₀ = 7

Ví dụ 2: Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm (cơ bản)

Đề bài: Cho bảng phân bố tần số ghép nhóm về chiều cao (cm) của 40 học sinh:

Tính mốt của mẫu số liệu.

Lời giải:

Bước 1: Xác định lớp chứa mốt

Lớp [160; 165) có tần số lớn nhất là 15 → Đây là lớp chứa mốt.

Bước 2: Xác định các giá trị

• Cận dưới: \( x_{M_0} = 160 \)
• Độ dài lớp: \( h = 165 – 160 = 5 \)
• Tần số lớp chứa mốt: \( n_{M_0} = 15 \)
• Tần số lớp liền trước: \( n_{M_0-1} = 8 \)
• Tần số lớp liền sau: \( n_{M_0+1} = 10 \)

Bước 3: Áp dụng công thức mốt

\( d_1 = n_{M_0} – n_{M_0-1} = 15 – 8 = 7 \)

\( d_2 = n_{M_0} – n_{M_0+1} = 15 – 10 = 5 \)

\( M_0 = x_{M_0} + h \times \frac{d_1}{d_1 + d_2} = 160 + 5 \times \frac{7}{7 + 5} \)

\( M_0 = 160 + 5 \times \frac{7}{12} = 160 + \frac{35}{12} \approx 160 + 2,92 = 162,92 \)

Đáp số: M₀ ≈ 162,92 cm

Ví dụ 3: Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm (nâng cao)

Đề bài: Cho bảng phân bố tần số về cân nặng (kg) của 50 học sinh:

Tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm.

Lời giải:

Bước 1: Lớp [50; 55) có tần số lớn nhất (18) → Lớp chứa mốt

Bước 2: Xác định các giá trị:

• \( x_{M_0} = 50 \)
• \( h = 5 \)
• \( n_{M_0} = 18 \)
• \( n_{M_0-1} = 12 \)
• \( n_{M_0+1} = 11 \)

Bước 3: Áp dụng công thức tính mốt lớp 11:

\( M_0 = 50 + 5 \times \frac{18 – 12}{(18 – 12) + (18 – 11)} \)

\( M_0 = 50 + 5 \times \frac{6}{6 + 7} = 50 + 5 \times \frac{6}{13} \)

\( M_0 = 50 + \frac{30}{13} \approx 50 + 2,31 = 52,31 \)

Đáp số: M₀ ≈ 52,31 kg

Ví dụ 4: Trường hợp lớp chứa mốt ở đầu

Đề bài: Cho bảng phân bố tần số về tuổi của nhân viên:

Cách tìm mốt khi lớp chứa mốt ở vị trí đầu tiên.

Lời giải:

Lớp [20; 25) có tần số lớn nhất (15) → Lớp chứa mốt

Vì lớp chứa mốt ở đầu tiên, ta lấy \( n_{M_0-1} = 0 \)

• \( x_{M_0} = 20 \)
• \( h = 5 \)
• \( n_{M_0} = 15 \)
• \( n_{M_0-1} = 0 \) (không có lớp trước)
• \( n_{M_0+1} = 10 \)

\( M_0 = 20 + 5 \times \frac{15 – 0}{(15 – 0) + (15 – 10)} = 20 + 5 \times \frac{15}{15 + 5} \)

\( M_0 = 20 + 5 \times \frac{15}{20} = 20 + 3,75 = 23,75 \)

Đáp số: M₀ = 23,75 tuổi

Ví dụ 5: Trường hợp lớp chứa mốt ở cuối

Đề bài: Cho bảng phân bố tần số về thu nhập (triệu đồng):

Tính mốt.

Lời giải:

Lớp [20; 25) có tần số lớn nhất (20) → Lớp chứa mốt (ở cuối)

Vì lớp chứa mốt ở cuối, ta lấy \( n_{M_0+1} = 0 \)

• \( x_{M_0} = 20 \)
• \( h = 5 \)
• \( n_{M_0} = 20 \)
• \( n_{M_0-1} = 15 \)
• \( n_{M_0+1} = 0 \) (không có lớp sau)

\( M_0 = 20 + 5 \times \frac{20 – 15}{(20 – 15) + (20 – 0)} = 20 + 5 \times \frac{5}{5 + 20} \)

\( M_0 = 20 + 5 \times \frac{5}{25} = 20 + 1 = 21 \)

Đáp số: M₀ = 21 triệu đồng

Ví dụ 6: So sánh mốt với trung bình và trung vị

Đề bài: Cho mẫu số liệu: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 15. Tính mốt, trung bình và trung vị. Nhận xét.

Lời giải:

Tìm mốt: Giá trị 4 xuất hiện 3 lần (nhiều nhất) → M₀ = 4

Tính trung bình:

\( \bar{x} = \frac{2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 5 + 6 + 15}{9} = \frac{46}{9} \approx 5,11 \)

Tính trung vị: Dãy có 9 số, trung vị ở vị trí thứ 5 → Me = 4

Nhận xét:

• Mốt M₀ = 4, Trung vị Me = 4, Trung bình \( \bar{x} \approx 5,11 \)
• Giá trị 15 là ngoại lệ, làm trung bình bị kéo lên cao
• Mốt và trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ

6. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm mốt của mẫu số liệu: 12, 15, 15, 18, 15, 20, 18, 15, 22

Bài 2: Cho bảng phân bố tần số ghép nhóm:

Tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm.

Bài 3: Thời gian hoàn thành bài tập (phút) của 30 học sinh:

Tính mốt.

Bài 4: Cho mẫu số liệu: 5, 5, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9. Mẫu này có bao nhiêu mốt?

Bài 5: Điểm thi của 100 thí sinh được phân bố như sau:

Tính mốt của mẫu số liệu.

Đáp án tham khảo

1. M₀ = 15
2. M₀ ≈ 25 (chính xác: 25)
3. M₀ ≈ 17,22 phút
4. Có 2 mốt: M₀ = 7 và M₀ = 8
5. M₀ ≈ 5,33 điểm

7. Kết luận

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là đại lượng thống kê quan trọng, cho biết giá trị phổ biến nhất trong tập dữ liệu. Với mẫu số liệu không ghép nhóm, cách tìm mốt đơn giản là xác định giá trị có tần số lớn nhất. Với mẫu số liệu ghép nhóm, cần áp dụng công thức tính mốt lớp 11: \( M_0 = x_{M_0} + h \times \frac{d_1}{d_1 + d_2} \). Nắm vững công thức mốt và các bước tính mốt sẽ giúp bạn giải quyết hiệu quả các bài toán thống kê trong học tập và thi cử.