Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong Oxyz chi tiết

Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong Oxyz là một trong những dạng bài quan trọng nhất của chương trình Toán lớp 12. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, các phương pháp tính toán và bài tập minh họa cụ thể giúp bạn nắm vững kiến thức này.

1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng là gì?

Trước khi tìm hiểu cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, ta cần nắm rõ định nghĩa cơ bản.

1.1. Định nghĩa

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là độ dài đoạn vuông góc kẻ từ điểm đó đến đường thẳng.

Cụ thể: Cho điểm M và đường thẳng d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d. Khi đó:

Khoảng cách từ M đến d = MH

1.2. Ý nghĩa hình học

Khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng có các tính chất sau:

• Là khoảng cách ngắn nhất từ điểm đến đường thẳng
• Đoạn MH vuông góc với đường thẳng d
• Nếu M nằm trên d thì khoảng cách bằng 0

2. Công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong Oxyz

Trong không gian Oxyz, công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được thiết lập như sau:

2.1. Công thức chính (Dùng tích có hướng)

Cho điểm \(M(x_0; y_0; z_0)\) và đường thẳng d đi qua điểm \(A(x_1; y_1; z_1)\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (a; b; c)\).

Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng lớp 12:

\(d(M, d) = \frac{|\overrightarrow{AM} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}\)

Trong đó:

• \(\overrightarrow{AM} = (x_0 – x_1; y_0 – y_1; z_0 – z_1)\)
• \(\overrightarrow{AM} \times \vec{u}\) là tích có hướng của hai vectơ
• \(|\vec{u}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)

2.2. Công thức tích có hướng

Cho \(\overrightarrow{AM} = (m_1; m_2; m_3)\) và \(\vec{u} = (a; b; c)\), tích có hướng được tính:

\(\overrightarrow{AM} \times \vec{u} = (m_2c – m_3b; m_3a – m_1c; m_1b – m_2a)\)

Hoặc dùng định thức:

\(\overrightarrow{AM} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ m_1 & m_2 & m_3 \\ a & b & c \end{vmatrix}\)

2.3. Công thức khai triển đầy đủ

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Oxyz có thể viết dưới dạng:

\(d(M, d) = \frac{\sqrt{(m_2c – m_3b)^2 + (m_3a – m_1c)^2 + (m_1b – m_2a)^2}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)

3. Chứng minh công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Ta chứng minh công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bằng phương pháp hình học.

3.1. Ý tưởng chứng minh

Xét tam giác AMH với H là hình chiếu của M lên d:

• Diện tích tam giác AMH: \(S = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot MH\)
• Mặt khác: \(S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AM} \times \overrightarrow{AH}|\)

Vì \(\overrightarrow{AH}\) cùng phương với \(\vec{u}\), nên:

\(|\overrightarrow{AM} \times \overrightarrow{AH}| = |\overrightarrow{AM} \times \vec{u}| \cdot \frac{AH}{|\vec{u}|}\)

Từ đó suy ra: \(MH = \frac{|\overrightarrow{AM} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}\) ✓

4. Các phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Có nhiều cách để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian Oxyz:

4.1. Phương pháp 1: Dùng công thức tích có hướng (Phổ biến nhất)

Các bước thực hiện:

1. Bước 1: Xác định điểm M và đường thẳng d (điểm A thuộc d và vectơ chỉ phương \(\vec{u}\))
2. Bước 2: Tính vectơ \(\overrightarrow{AM}\)
3. Bước 3: Tính tích có hướng \(\overrightarrow{AM} \times \vec{u}\)
4. Bước 4: Áp dụng công thức: \(d(M, d) = \frac{|\overrightarrow{AM} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}\)

4.2. Phương pháp 2: Dùng hình chiếu vuông góc

Các bước thực hiện:

1. Bước 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng d
2. Bước 2: Gọi H(x; y; z) là hình chiếu của M lên d (H thuộc d)
3. Bước 3: Lập điều kiện \(\overrightarrow{MH} \perp \vec{u}\) (tích vô hướng bằng 0)
4. Bước 4: Giải tìm tọa độ H, tính MH

4.3. Phương pháp 3: Dùng công thức Pytago

Công thức:

\(d(M, d)^2 = AM^2 – AH^2\)

Trong đó: \(AH = \frac{|\overrightarrow{AM} \cdot \vec{u}|}{|\vec{u}|}\) (hình chiếu của AM lên d)

4.4. Bảng so sánh các phương pháp

5. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lớp 12

Bên cạnh khoảng cách từ điểm tới đường, còn có công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lớp 12:

5.1. Công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho điểm \(M(x_0; y_0; z_0)\) và mặt phẳng (P): \(Ax + By + Cz + D = 0\)

\(d(M, (P)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)

5.2. So sánh hai công thức

6. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Vận dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để giải các bài tập sau:

Bài tập 1: Tính khoảng cách cơ bản

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) và đường thẳng d: \(\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{-1}\). Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng d.

Lời giải:

Bước 1: Xác định các yếu tố

• Điểm M(1; 2; 3)
• Đường thẳng d đi qua A(1; -1; 0) có VTCP \(\vec{u} = (2; 1; -1)\)

Bước 2: Tính vectơ \(\overrightarrow{AM}\)

\(\overrightarrow{AM} = (1-1; 2-(-1); 3-0) = (0; 3; 3)\)

Bước 3: Tính tích có hướng \(\overrightarrow{AM} \times \vec{u}\)

\(\overrightarrow{AM} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}\)

\(= \vec{i}(3 \cdot (-1) – 3 \cdot 1) – \vec{j}(0 \cdot (-1) – 3 \cdot 2) + \vec{k}(0 \cdot 1 – 3 \cdot 2)\)

\(= \vec{i}(-3 – 3) – \vec{j}(0 – 6) + \vec{k}(0 – 6)\)

\(= (-6; 6; -6)\)

Bước 4: Tính khoảng cách

\(|\overrightarrow{AM} \times \vec{u}| = \sqrt{(-6)^2 + 6^2 + (-6)^2} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}\)

\(|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}\)

\(d(M, d) = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = 6\sqrt{\frac{3}{6}} = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{2}\)

Hoặc: \(d(M, d) = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{108}{6}} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)

Vậy khoảng cách từ M đến d bằng \(3\sqrt{2}\)

Bài tập 2: Dùng phương pháp hình chiếu

Đề bài: Cho M(2; 1; 0) và đường thẳng d: \(\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 – t \\ z = 1 + 2t \end{cases}\). Tìm tọa độ hình chiếu H của M lên d và tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.

Lời giải:

Bước 1: Xác định điểm H thuộc d

H thuộc d nên: \(H(1+t; 2-t; 1+2t)\)

Bước 2: Lập điều kiện vuông góc

VTCP của d: \(\vec{u} = (1; -1; 2)\)

\(\overrightarrow{MH} = (1+t-2; 2-t-1; 1+2t-0) = (t-1; 1-t; 1+2t)\)

Điều kiện: \(\overrightarrow{MH} \cdot \vec{u} = 0\)

\((t-1) \cdot 1 + (1-t) \cdot (-1) + (1+2t) \cdot 2 = 0\)

\(t – 1 – 1 + t + 2 + 4t = 0\)

\(6t = 0 \Rightarrow t = 0\)

Bước 3: Tìm tọa độ H và tính khoảng cách

Với t = 0: \(H(1; 2; 1)\)

\(MH = \sqrt{(2-1)^2 + (1-2)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}\)

Vậy H(1; 2; 1) và khoảng cách từ M đến d bằng \(\sqrt{3}\)

Bài tập 3: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Đề bài: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: M(1; -2; 3) đến (P): \(2x – 2y + z – 3 = 0\)

Lời giải:

Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lớp 12:

\(d(M, (P)) = \frac{|2 \cdot 1 + (-2) \cdot (-2) + 1 \cdot 3 – 3|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}}\)

\(= \frac{|2 + 4 + 3 – 3|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{6}{\sqrt{9}} = \frac{6}{3} = 2\)

Vậy khoảng cách từ M đến (P) bằng 2

Bài tập 4: Bài toán tổng hợp

Đề bài: Cho đường thẳng d: \(\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z+1}{2}\) và điểm A(4; 3; 1). Tìm điểm B trên d sao cho AB ngắn nhất.

Lời giải:

AB ngắn nhất khi B là hình chiếu của A lên d.

Bước 1: Gọi B thuộc d: \(B(2+t; 1-2t; -1+2t)\)

Bước 2: Điều kiện \(\overrightarrow{AB} \perp \vec{u}\)

\(\overrightarrow{AB} = (2+t-4; 1-2t-3; -1+2t-1) = (t-2; -2-2t; -2+2t)\)

\(\vec{u} = (1; -2; 2)\)

\(\overrightarrow{AB} \cdot \vec{u} = (t-2) \cdot 1 + (-2-2t) \cdot (-2) + (-2+2t) \cdot 2 = 0\)

\(t – 2 + 4 + 4t – 4 + 4t = 0\)

\(9t – 2 = 0 \Rightarrow t = \frac{2}{9}\)

Bước 3: Tìm B

\(B\left(2 + \frac{2}{9}; 1 – \frac{4}{9}; -1 + \frac{4}{9}\right) = B\left(\frac{20}{9}; \frac{5}{9}; -\frac{5}{9}\right)\)

Vậy \(B\left(\frac{20}{9}; \frac{5}{9}; -\frac{5}{9}\right)\)

7. Bài tập tự luyện

Vận dụng các phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong Oxyz, hãy giải các bài tập sau:

Bài 1: Cho M(0; 1; 2) và d: \(\frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{-2}\). Tính khoảng cách từ M đến d.

Bài 2: Cho M(3; 2; 1) và d: \(\frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-1}\). Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng.

Bài 3: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: A(2; -1; 1) đến (P): \(x + 2y – 2z + 5 = 0\)

Bài 4: Cho d: \(\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 – t \\ z = 3 + 2t \end{cases}\) và M(1; 2; 1). Tìm hình chiếu H của M lên d.

8. Kết luận

Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong Oxyz là dạng bài quan trọng trong chương trình Toán lớp 12. Qua bài viết này, các bạn đã nắm được:

• Khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: \(d(M, d) = \frac{|\overrightarrow{AM} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}\)
• Các phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: tích có hướng, hình chiếu, Pytago
• Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lớp 12 và cách phân biệt với khoảng cách đến đường thẳng

Hãy luyện tập thường xuyên các bài tập về khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Oxyz để thành thạo và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.