Công thức tính độ dài vectơ: Cách tính vecto AB lớp 12 và bài tập

Công thức tính độ dài vectơ là kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 10 và lớp 12, được ứng dụng rộng rãi trong hình học giải tích. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững cách tính độ dài vectơ, công thức tính độ dài vectơ AB, tính độ dài đoạn thẳng cùng các ví dụ minh họa chi tiết và dễ hiểu nhất.

Độ dài vectơ là gì?

Trước khi tìm hiểu công thức tính độ dài vectơ, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm cơ bản:

Định nghĩa độ dài vectơ

Định nghĩa: Độ dài vectơ (hay độ lớn của vectơ) là khoảng cách từ điểm đầu đến điểm cuối của vectơ. Độ dài vectơ \( \vec{a} \) được ký hiệu là \( |\vec{a}| \) hoặc \( \|\vec{a}\| \).

Ký hiệu:

• \( |\vec{a}| \) – Độ dài vectơ \( \vec{a} \)
• \( |\vec{AB}| \) hoặc \( AB \) – Độ dài vectơ AB

Tính chất của độ dài vectơ

STT	Tính chất	Biểu thức
1	Độ dài luôn không âm	\( |\vec{a}| \geq 0 \)
2	Độ dài bằng 0 khi và chỉ khi là vectơ không	\( |\vec{a}| = 0 \Leftrightarrow \vec{a} = \vec{0} \)
3	Độ dài vectơ đối bằng nhau	\( |\vec{a}| = |-\vec{a}| \)
4	Nhân vô hướng với vectơ	\( |k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}| \)
5	Vectơ đơn vị có độ dài bằng 1	\( |\vec{e}| = 1 \)

Vectơ đơn vị

Định nghĩa: Vectơ đơn vị là vectơ có độ dài bằng 1.

Công thức tính vectơ đơn vị:

\[ \vec{e_a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} \quad (\vec{a} \neq \vec{0}) \]

Tiếp theo, hãy xem công thức tính độ dài vectơ trong mặt phẳng.

Công thức tính độ dài vectơ trong mặt phẳng Oxy

Công thức tính độ dài vectơ trong mặt phẳng Oxy là kiến thức cơ bản của lớp 10.

Công thức chính

Cho vectơ \( \vec{a} = (a_1; a_2) \) trong mặt phẳng Oxy:

Công thức:

\[ |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \]

Chứng minh:

Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là \( a_1 \) và \( a_2 \):

\[ |\vec{a}|^2 = a_1^2 + a_2^2 \]

\[ |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \]

Công thức tính độ dài vectơ AB

Cho hai điểm \( A(x_A; y_A) \) và \( B(x_B; y_B) \):

Vectơ AB:

\[ \vec{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A) \]

Độ dài vectơ AB:

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2} \]

Đây cũng chính là công thức tính độ dài đoạn thẳng AB.

Bảng tổng hợp công thức trong mặt phẳng

Loại	Công thức tính độ dài
Vectơ \( \vec{a} = (a_1; a_2) \)	\( |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \)
Vectơ \( \vec{AB} \) với A(x₁; y₁), B(x₂; y₂)	\( |\vec{AB}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \)
Đoạn thẳng AB	\( AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \)

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính độ dài vectơ \( \vec{a} = (3; 4) \)

\[ |\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Ví dụ 2: Tính độ dài vectơ AB với A(1; 2), B(4; 6)

\[ \vec{AB} = (4-1; 6-2) = (3; 4) \]

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \]

Tiếp theo là công thức tính độ dài vectơ lớp 12 trong không gian.

Công thức tính độ dài vectơ trong không gian Oxyz

Công thức tính độ dài vectơ lớp 12 mở rộng sang không gian ba chiều Oxyz.

Công thức chính

Cho vectơ \( \vec{a} = (a_1; a_2; a_3) \) trong không gian Oxyz:

Công thức:

\[ |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \]

Công thức tính độ dài vectơ AB trong không gian

Cho hai điểm \( A(x_A; y_A; z_A) \) và \( B(x_B; y_B; z_B) \):

Vectơ AB:

\[ \vec{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A; z_B – z_A) \]

Độ dài vectơ AB:

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2 + (z_B – z_A)^2} \]

Bảng tổng hợp công thức trong không gian

Loại	Công thức tính độ dài vectơ
Vectơ \( \vec{a} = (a_1; a_2; a_3) \)	\( |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \)
Vectơ \( \vec{AB} \) trong không gian	\( |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2} \)
Khoảng cách hai điểm A, B	\( AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2} \)

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính độ dài vector \( \vec{a} = (1; 2; 2) \)

\[ |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \]

Ví dụ 2: Tính độ dài AB với A(1; 0; 2), B(3; 2; 4)

\[ \vec{AB} = (2; 2; 2) \]

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]

Công thức tính độ dài đoạn thẳng AB

Tính độ dài đoạn thẳng AB chính là tính độ dài vectơ \( \vec{AB} \).

Công thức trong mặt phẳng Oxy

Cho A(x₁; y₁), B(x₂; y₂):

\[ AB = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} \]

Công thức trong không gian Oxyz

Cho A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂):

\[ AB = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2 + (z_2 – z_1)^2} \]

Các trường hợp đặc biệt

Trường hợp	Công thức tính độ dài
Khoảng cách từ O đến A(x; y)	\( OA = \sqrt{x^2 + y^2} \)
Khoảng cách từ O đến A(x; y; z)	\( OA = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \)
A, B cùng trục Ox	\( AB = |x_B – x_A| \)
A, B cùng trục Oy	\( AB = |y_B – y_A| \)
A, B cùng trục Oz	\( AB = |z_B – z_A| \)

Bảng giá trị thường gặp

Một số bộ ba Pythagore thường gặp khi tính độ dài vectơ:

Tọa độ vectơ	Độ dài
(3; 4) hoặc (4; 3)	5
(5; 12) hoặc (12; 5)	13
(8; 15) hoặc (15; 8)	17
(7; 24) hoặc (24; 7)	25
(1; 1)	\( \sqrt{2} \)
(1; 1; 1)	\( \sqrt{3} \)
(1; 2; 2)	3
(2; 3; 6)	7

Cách tính độ dài vectơ theo tích vô hướng

Cách tính độ dài vectơ còn có thể thực hiện thông qua tích vô hướng.

Công thức cơ bản

Công thức:

\[ |\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = \vec{a}^2 \]

Suy ra:

\[ |\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} = \sqrt{\vec{a}^2} \]

Công thức tính độ dài hiệu hai vectơ

\[ |\vec{a} – \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 – 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 \]

\[ |\vec{a} – \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 – 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2} \]

Công thức tính độ dài tổng hai vectơ

\[ |\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 \]

\[ |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2} \]

Ứng dụng: Tính độ dài AB theo vectơ

Với \( \vec{AB} = \vec{OB} – \vec{OA} \):

\[ AB^2 = |\vec{AB}|^2 = (\vec{OB} – \vec{OA})^2 = |\vec{OB}|^2 – 2\vec{OA} \cdot \vec{OB} + |\vec{OA}|^2 \]

Bảng công thức theo tích vô hướng

Công thức	Biểu thức
\( |\vec{a}|^2 \)	\( \vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} \)
\( |\vec{a} + \vec{b}|^2 \)	\( |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 \)
\( |\vec{a} – \vec{b}|^2 \)	\( |\vec{a}|^2 – 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 \)
\( \vec{a} \cdot \vec{b} \)	\( \frac{1}{2}(|\vec{a}+\vec{b}|^2 – |\vec{a}|^2 – |\vec{b}|^2) \)
\( \vec{a} \cdot \vec{b} \)	\( \frac{1}{4}(|\vec{a}+\vec{b}|^2 – |\vec{a}-\vec{b}|^2) \)

Các công thức liên quan đến độ dài vectơ

Công thức tính độ dài vectơ còn liên quan đến nhiều công thức quan trọng khác.

1. Công thức tích vô hướng theo góc

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b}) \]

Suy ra:

\[ \cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \]

2. Bất đẳng thức tam giác

\[ \big||\vec{a}| – |\vec{b}|\big| \leq |\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}| \]

\[ \big||\vec{a}| – |\vec{b}|\big| \leq |\vec{a} – \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}| \]

3. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

\[ |\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \]

Dấu “=” xảy ra khi \( \vec{a} \) và \( \vec{b} \) cùng phương.

4. Công thức độ dài vectơ tổ hợp tuyến tính

Với \( \vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b} \):

\[ |\vec{c}|^2 = m^2|\vec{a}|^2 + 2mn(\vec{a} \cdot \vec{b}) + n^2|\vec{b}|^2 \]

5. Công thức trung điểm

Nếu M là trung điểm AB thì:

\[ \vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} \]

\[ OM = \frac{1}{2}|\vec{OA} + \vec{OB}| \]

6. Công thức trọng tâm

Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì:

\[ \vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3} \]

Bảng tổng hợp các công thức

Công thức	Mặt phẳng Oxy	Không gian Oxyz
Độ dài vectơ	\( \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \)	\( \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \)
Tích vô hướng	\( a_1b_1 + a_2b_2 \)	\( a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \)
Góc giữa hai vectơ	\( \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \)
Vectơ đơn vị	\( \vec{e} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} \)

Ví dụ tính độ dài vectơ chi tiết

Dưới đây là các ví dụ minh họa cách tính độ dài vectơ từ cơ bản đến nâng cao:

Ví dụ 1: Tính độ dài vectơ cơ bản

Đề bài: Tính độ dài vectơ \( \vec{a} = (6; 8) \)

Lời giải:

\[ |\vec{a}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]

Đáp số: \( |\vec{a}| = 10 \)

Ví dụ 2: Tính độ dài vectơ AB trong mặt phẳng

Đề bài: Cho A(2; 3), B(5; 7). Tính độ dài AB.

Lời giải:

Tọa độ vectơ \( \vec{AB} \):

\[ \vec{AB} = (5-2; 7-3) = (3; 4) \]

Độ dài vectơ AB:

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Đáp số: AB = 5

Ví dụ 3: Tính độ dài vectơ trong không gian

Đề bài: Tính độ dài vector \( \vec{b} = (2; 3; 6) \)

Lời giải:

\[ |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 \]

Đáp số: \( |\vec{b}| = 7 \)

Ví dụ 4: Tính độ dài đoạn thẳng trong không gian

Đề bài: Cho A(1; 2; 3), B(4; 6; 3). Tính độ dài đoạn thẳng AB.

Lời giải:

\[ \vec{AB} = (4-1; 6-2; 3-3) = (3; 4; 0) \]

\[ AB = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \]

Đáp số: AB = 5

Ví dụ 5: Tính độ dài vectơ tổng

Đề bài: Cho \( \vec{a} = (1; 2) \), \( \vec{b} = (3; -1) \). Tính độ dài \( \vec{a} + \vec{b} \).

Lời giải:

\[ \vec{a} + \vec{b} = (1+3; 2+(-1)) = (4; 1) \]

\[ |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17} \]

Đáp số: \( |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{17} \)

Ví dụ 6: Sử dụng tích vô hướng

Đề bài: Cho \( |\vec{a}| = 3 \), \( |\vec{b}| = 4 \), góc giữa \( \vec{a} \) và \( \vec{b} \) bằng 60°. Tính độ dài \( \vec{a} – \vec{b} \).

Lời giải:

Tích vô hướng:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos 60° = 3 \times 4 \times \frac{1}{2} = 6 \]

Độ dài hiệu:

\[ |\vec{a} – \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 – 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 \]

\[ = 9 – 12 + 16 = 13 \]

\[ |\vec{a} – \vec{b}| = \sqrt{13} \]

Đáp số: \( |\vec{a} – \vec{b}| = \sqrt{13} \)

Ví dụ 7: Tìm vectơ đơn vị

Đề bài: Tìm vectơ đơn vị cùng hướng với \( \vec{a} = (3; 4) \).

Lời giải:

Độ dài: \( |\vec{a}| = \sqrt{9 + 16} = 5 \)

Vectơ đơn vị:

\[ \vec{e} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{(3; 4)}{5} = \left(\frac{3}{5}; \frac{4}{5}\right) \]

Đáp số: \( \vec{e} = \left(\frac{3}{5}; \frac{4}{5}\right) \)

Ví dụ 8: Tính chu vi tam giác

Đề bài: Cho tam giác ABC với A(1; 1), B(4; 1), C(1; 5). Tính chu vi tam giác.

Lời giải:

\[ AB = \sqrt{(4-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{9} = 3 \]

\[ BC = \sqrt{(1-4)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \]

\[ CA = \sqrt{(1-1)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{16} = 4 \]

\[ C = AB + BC + CA = 3 + 5 + 4 = 12 \]

Đáp số: Chu vi = 12

Bài tập tính độ dài vectơ (có lời giải)

Dưới đây là các bài tập về công thức tính độ dài vectơ từ cơ bản đến nâng cao:

Dạng 1: Tính độ dài vectơ khi biết tọa độ

Bài tập 1: Tính độ dài vectơ:

a) \( \vec{a} = (5; 12) \)

b) \( \vec{b} = (-3; 4) \)

c) \( \vec{c} = (1; 1; 1) \)

d) \( \vec{d} = (2; -2; 1) \)

Lời giải:

a) \( |\vec{a}| = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \)

b) \( |\vec{b}| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)

c) \( |\vec{c}| = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \)

d) \( |\vec{d}| = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \)

Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng AB

Bài tập 2: Tính độ dài AB với:

a) A(0; 0), B(6; 8)

b) A(-1; 2), B(2; 6)

c) A(1; 2; 3), B(3; 4; 5)

Lời giải:

a) \( AB = \sqrt{36 + 64} = 10 \)

b) \( AB = \sqrt{9 + 16} = 5 \)

c) \( AB = \sqrt{4 + 4 + 4} = 2\sqrt{3} \)

Dạng 3: Tính độ dài vectơ tổng và hiệu

Bài tập 3: Cho \( \vec{a} = (2; 1) \), \( \vec{b} = (-1; 3) \). Tính:

a) \( |\vec{a} + \vec{b}| \)

b) \( |\vec{a} – \vec{b}| \)

c) \( |2\vec{a} + 3\vec{b}| \)

Lời giải:

a) \( \vec{a} + \vec{b} = (1; 4) \) → \( |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \)

b) \( \vec{a} – \vec{b} = (3; -2) \) → \( |\vec{a} – \vec{b}| = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \)

c) \( 2\vec{a} + 3\vec{b} = (4; 2) + (-3; 9) = (1; 11) \) → \( |2\vec{a} + 3\vec{b}| = \sqrt{1 + 121} = \sqrt{122} \)

Dạng 4: Sử dụng tích vô hướng

Bài tập 4: Cho \( |\vec{a}| = 2 \), \( |\vec{b}| = 3 \), \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \). Tính \( |\vec{a} + \vec{b}| \).

Lời giải:

\[ |\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 4 + 6 + 9 = 19 \]

\[ |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{19} \]

Dạng 5: Tìm điều kiện để độ dài bằng giá trị cho trước

Bài tập 5: Tìm m để vectơ \( \vec{a} = (m; 3) \) có độ dài bằng 5.

Lời giải:

\[ |\vec{a}| = 5 \Leftrightarrow \sqrt{m^2 + 9} = 5 \]

\[ m^2 + 9 = 25 \]

\[ m^2 = 16 \]

\[ m = \pm 4 \]

Đáp số: m = 4 hoặc m = -4

Dạng 6: Bài toán về tam giác

Bài tập 6: Cho tam giác ABC với A(1; 1), B(5; 1), C(3; 5). Chứng minh tam giác ABC cân.

Lời giải:

\[ AB = \sqrt{(5-1)^2 + 0^2} = 4 \]

\[ AC = \sqrt{(3-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]

\[ BC = \sqrt{(3-5)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]

Vì AC = BC → Tam giác ABC cân tại C.

Dạng 7: Bài toán nâng cao

Bài tập 7: Cho \( |\vec{a}| = 3 \), \( |\vec{b}| = 5 \), \( |\vec{a} – \vec{b}| = 7 \). Tính \( |\vec{a} + \vec{b}| \).

Lời giải:

Từ \( |\vec{a} – \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 – 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 \):

\[ 49 = 9 – 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 25 \]

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{9 + 25 – 49}{2} = -\frac{15}{2} \]

Tính \( |\vec{a} + \vec{b}| \):

\[ |\vec{a} + \vec{b}|^2 = 9 + 2 \times \left(-\frac{15}{2}\right) + 25 = 9 – 15 + 25 = 19 \]

\[ |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{19} \]

Dạng 8: Tìm tọa độ điểm

Bài tập 8: Tìm điểm M trên trục Ox sao cho MA = MB với A(1; 2), B(3; 4).

Lời giải:

M thuộc Ox nên M(x; 0).

\[ MA = MB \Leftrightarrow MA^2 = MB^2 \]

\[ (x-1)^2 + 4 = (x-3)^2 + 16 \]

\[ x^2 – 2x + 1 + 4 = x^2 – 6x + 9 + 16 \]

\[ 4x = 20 \]

\[ x = 5 \]

Đáp số: M(5; 0)

Kết luận

Qua bài viết này, bạn đã nắm vững công thức tính độ dài vectơ trong cả mặt phẳng Oxy và không gian Oxyz. Công thức cơ bản nhất là \( |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \) (mặt phẳng) và \( |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \) (không gian). Công thức tính độ dài vectơ AB hay tính độ dài đoạn thẳng AB là \( AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2} \). Ngoài ra, cách tính độ dài vectơ còn có thể thực hiện thông qua tích vô hướng với công thức \( |\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} \). Độ dài vectơ là kiến thức nền tảng quan trọng, được ứng dụng rộng rãi trong hình học giải tích, vật lý và nhiều lĩnh vực khác.