Giao tuyến 2 mặt phẳng: Cách tìm trong không gian và Oxyz chi tiết

Giao tuyến 2 mặt phẳng là một khái niệm quan trọng trong Hình học không gian. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững định nghĩa, cách xác định giao tuyến của hai mặt phẳng cùng các phương pháp giải chi tiết thông qua ví dụ minh họa dễ hiểu.

Giao tuyến của hai mặt phẳng là gì?

Trước khi tìm hiểu phương pháp giải, chúng ta cần nắm rõ khái niệm cơ bản.

Định nghĩa: Khi hai mặt phẳng \((\alpha)\) và \((\beta)\) cắt nhau, giao tuyến của hai mặt phẳng là tập hợp tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó. Giao tuyến là một đường thẳng, ký hiệu \(d = (\alpha) \cap (\beta)\).

Tính chất quan trọng:

• Giao tuyến 2 mặt phẳng là một đường thẳng duy nhất
• Mọi điểm thuộc giao tuyến đều nằm trên cả hai mặt phẳng
• Để xác định giao tuyến, ta cần tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng

Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Hai mặt phẳng trong không gian có thể có các vị trí tương đối sau đây.

Nhận xét: Giao tuyến 2 mặt phẳng chỉ tồn tại khi hai mặt phẳng cắt nhau (không song song và không trùng nhau).

Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (Hình học không gian)

Trong hình học không gian thuần túy, để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta áp dụng nguyên tắc sau.

Nguyên tắc: Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng, khi đó đường thẳng đi qua hai điểm này chính là giao tuyến.

Các bước thực hiện:

Các phương pháp tìm điểm chung:

• Phương pháp 1: Tìm giao điểm của một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này với mặt phẳng kia
• Phương pháp 2: Sử dụng mặt phẳng phụ cắt cả hai mặt phẳng
• Phương pháp 3: Xét các đường thẳng song song để suy ra điểm chung

Công thức tìm giao tuyến của hai mặt phẳng trong Oxyz

Trong hệ tọa độ Oxyz, việc tìm giao tuyến 2 mặt phẳng được thực hiện bằng phương pháp đại số.

Cho hai mặt phẳng:

• \((\alpha): A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0\)
• \((\beta): A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0\)

Phương pháp tìm giao tuyến:

Cách 1: Tìm VTCP và một điểm thuộc giao tuyến

Bước 1: Tìm vecto chỉ phương của giao tuyến:

\[\vec{u} = [\vec{n_1}, \vec{n_2}]\]

Trong đó \(\vec{n_1} = (A_1; B_1; C_1)\) và \(\vec{n_2} = (A_2; B_2; C_2)\) là các vecto pháp tuyến.

Công thức tích có hướng:

\[\vec{u} = (B_1C_2 – B_2C_1;\ C_1A_2 – C_2A_1;\ A_1B_2 – A_2B_1)\]

Bước 2: Tìm một điểm \(M_0\) thuộc giao tuyến bằng cách giải hệ phương trình (cho một ẩn bằng 0).

Bước 3: Viết phương trình giao tuyến:

\[\frac{x – x_0}{u_1} = \frac{y – y_0}{u_2} = \frac{z – z_0}{u_3}\]

Cách 2: Giải hệ phương trình

Giải hệ hai phương trình của hai mặt phẳng với một ẩn tự do (tham số \(t\)):

\[\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases}\]

Ví dụ minh họa tìm giao tuyến 2 mặt phẳng

Áp dụng lý thuyết trên, chúng ta cùng giải một số ví dụ cụ thể.

Ví dụ 1 (Hình học không gian)

Đề bài: Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((MCD)\) và \((NAB)\).

Lời giải:

Bước 1: Tìm điểm chung thứ nhất.

• \(M \in AB \Rightarrow M \in (NAB)\)
• \(M \in (MCD)\) (hiển nhiên)

Vậy \(M\) là điểm chung thứ nhất.

Bước 2: Tìm điểm chung thứ hai.

• \(N \in CD \Rightarrow N \in (MCD)\)
• \(N \in (NAB)\) (hiển nhiên)

Vậy \(N\) là điểm chung thứ hai.

Kết luận: Giao tuyến của \((MCD)\) và \((NAB)\) là đường thẳng \(MN\).

Ví dụ 2 (Hình học không gian – Nâng cao)

Đề bài: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M\) là trung điểm của \(SA\). Tìm giao tuyến của mặt phẳng \((MBC)\) và mặt phẳng \((SAD)\).

Lời giải:

Bước 1: Tìm điểm chung thứ nhất.

• \(M \in SA \Rightarrow M \in (SAD)\)
• \(M \in (MBC)\) (hiển nhiên)

Vậy \(M\) là điểm chung thứ nhất.

Bước 2: Tìm điểm chung thứ hai.

Trong mặt phẳng \((ABCD)\):

• \(BC \subset (MBC)\)
• \(AD \subset (SAD)\)
• Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(BC \parallel AD\)

Xét trong mặt phẳng \((SAB)\): Kẻ đường thẳng qua \(M\) song song với \(AB\), cắt \(SB\) tại \(E\).

Ta có \(ME \parallel AB \parallel CD\), do đó \(ME\) cắt \(BC\) tại điểm \(I\) (kéo dài).

Thực tế, ta tìm giao điểm của \(BC\) kéo dài và \(AD\) kéo dài: vì \(BC \parallel AD\) nên chúng không cắt nhau.

Ta cần tìm cách khác: Trong mp\((SAB)\), gọi \(E\) là trung điểm \(SB\). Khi đó \(ME \parallel AB\).

Gọi \(N = AD \cap BC\) (không tồn tại vì song song).

Xét mặt phẳng \((SAB)\): đường thẳng qua \(M\) song song \(AB\) cắt \(SB\) tại \(E\). Ta có \(ME \subset (MBC)\).

Trong mp\((SBC)\): \(E \in SB\), kẻ \(EF \parallel SC\) (\(F \in BC\)).

Cách khác: Vì \(BC \parallel AD\), ta tìm điểm chung trên \(SA\) hoặc sử dụng phương pháp đường thẳng song song.

Giao tuyến đi qua \(M\) và song song với \(AD\) (vì \(BC \parallel AD\)).

Kết luận: Giao tuyến của \((MBC)\) và \((SAD)\) là đường thẳng qua \(M\) và song song với \(AD\).

Ví dụ 3 (Trong hệ tọa độ Oxyz)

Đề bài: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: \((\alpha): x + 2y – z + 1 = 0\) và \((\beta): 2x – y + z – 3 = 0\).

Lời giải:

Bước 1: Tìm vecto chỉ phương của giao tuyến.

Ta có:

• \(\vec{n_1} = (1; 2; -1)\) là VTPT của \((\alpha)\)
• \(\vec{n_2} = (2; -1; 1)\) là VTPT của \((\beta)\)

Vecto chỉ phương của giao tuyến:

\[\vec{u} = [\vec{n_1}, \vec{n_2}] = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}\]

\[\vec{u} = (2 \cdot 1 – (-1) \cdot (-1);\ (-1) \cdot 2 – 1 \cdot 1;\ 1 \cdot (-1) – 2 \cdot 2)\]

\[\vec{u} = (2 – 1;\ -2 – 1;\ -1 – 4) = (1; -3; -5)\]

Bước 2: Tìm một điểm thuộc giao tuyến.

Cho \(z = 0\), giải hệ:

\[\begin{cases} x + 2y + 1 = 0 \\ 2x – y – 3 = 0 \end{cases}\]

Từ phương trình (2): \(y = 2x – 3\)

Thay vào phương trình (1):

\[x + 2(2x – 3) + 1 = 0\]
\[x + 4x – 6 + 1 = 0\]
\[5x = 5 \Rightarrow x = 1\]

Suy ra: \(y = 2(1) – 3 = -1\)

Vậy điểm \(M_0(1; -1; 0)\) thuộc giao tuyến.

Bước 3: Viết phương trình giao tuyến.

\[\frac{x – 1}{1} = \frac{y + 1}{-3} = \frac{z}{-5}\]

Kết luận: Phương trình giao tuyến là \(\frac{x – 1}{1} = \frac{y + 1}{-3} = \frac{z}{-5}\).

Ví dụ 4 (Oxyz – Cách 2)

Đề bài: Viết phương trình tham số của giao tuyến 2 mặt phẳng: \((P): x – y + 2z – 1 = 0\) và \((Q): 2x + y – z + 2 = 0\).

Lời giải:

Giải hệ phương trình với \(z = t\) (tham số):

\[\begin{cases} x – y + 2t – 1 = 0 \\ 2x + y – t + 2 = 0 \end{cases}\]

Cộng hai phương trình:

\[3x + t + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{-t – 1}{3}\]

Thay vào phương trình (1):

\[\frac{-t – 1}{3} – y + 2t – 1 = 0\]
\[y = \frac{-t – 1}{3} + 2t – 1 = \frac{-t – 1 + 6t – 3}{3} = \frac{5t – 4}{3}\]

Phương trình tham số của giao tuyến:

\[\begin{cases} x = \frac{-t – 1}{3} = -\frac{1}{3} – \frac{t}{3} \\ y = \frac{5t – 4}{3} = -\frac{4}{3} + \frac{5t}{3} \\ z = t \end{cases}\]

Đặt \(t = 3t’\), ta được:

\[\begin{cases} x = -\frac{1}{3} – t’ \\ y = -\frac{4}{3} + 5t’ \\ z = 3t’ \end{cases}\]

Bài tập tự luyện có đáp án

Để củng cố kiến thức về giao tuyến 2 mặt phẳng, các bạn hãy thử sức với các bài tập sau.

Bài 1: Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(I\), \(J\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BD\). Tìm giao tuyến của \((IBC)\) và \((JAD)\).

Đáp án: Giao tuyến là đường thẳng \(IJ\)

Bài 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: \((\alpha): 2x + y – z + 1 = 0\) và \((\beta): x – y + 2z – 3 = 0\).

Đáp án: \(\frac{x – \frac{2}{3}}{1} = \frac{y + \frac{5}{3}}{-5} = \frac{z}{-3}\)

Bài 3: Tìm giao tuyến của mặt phẳng \((P): x + y + z – 3 = 0\) và mặt phẳng \((Oxy)\).

Đáp án: Đường thẳng \(x + y – 3 = 0\) trong mặt phẳng \((Oxy)\)

Bài 4: Cho hình chóp \(S.ABC\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(BC\). Tìm giao tuyến của \((MBC)\) và \((SAN)\).

Đáp án: Đường thẳng \(MN\)

Bài 5: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: \((\alpha): 3x – y + 2z = 0\) và \((\beta): x + 2y – z + 1 = 0\).

Đáp án: \(\frac{x + \frac{1}{7}}{-3} = \frac{y – \frac{3}{7}}{5} = \frac{z}{7}\)

Kết luận

Qua bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu chi tiết cách tìm giao tuyến 2 mặt phẳng trong cả hình học không gian và hệ tọa độ Oxyz. Nguyên tắc cơ bản là tìm hai điểm chung phân biệt hoặc sử dụng tích có hướng của hai vecto pháp tuyến. Đây là dạng toán quan trọng thường xuất hiện trong các kỳ thi, vì vậy các bạn cần nắm vững phương pháp và luyện tập thường xuyên để thành thạo kỹ năng tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.