Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm: Cách viết và bài tập

Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm là một trong những dạng bài cơ bản và quan trọng nhất trong chương trình Hình học giải tích không gian lớp 12. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn bạn phương pháp, công thức và các bước thực hiện chi tiết để giải quyết dạng toán này một cách nhanh chóng và chính xác.

Kiến thức cần nhớ về phương trình mặt phẳng

Trước khi học cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm, chúng ta cần nắm vững các kiến thức nền tảng sau.

Dạng tổng quát của phương trình mặt phẳng

Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz có dạng:

\[
Ax + By + Cz + D = 0
\]

Trong đó:

• \(A, B, C, D\) là các hệ số thực
• Điều kiện: \(A^2 + B^2 + C^2 \neq 0\)

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Vectơ pháp tuyến là vectơ vuông góc với mặt phẳng.

Nếu mặt phẳng \((P)\) có phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) thì vectơ pháp tuyến của \((P)\) là:

\[
\vec{n} = (A; B; C)
\]

Phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vectơ pháp tuyến

Mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M(x_0; y_0; z_0)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (A; B; C)\) có phương trình:

\[
A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0
\]

Tích có hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ \(\vec{u} = (a_1; a_2; a_3)\) và \(\vec{v} = (b_1; b_2; b_3)\), tích có hướng của chúng là:

\[
[\vec{u}, \vec{v}] = (a_2b_3 – a_3b_2; \, a_3b_1 – a_1b_3; \, a_1b_2 – a_2b_1)
\]

Tính chất quan trọng: \([\vec{u}, \vec{v}]\) vuông góc với cả \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\).

Phương pháp viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm

Có hai phương pháp chính để viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng.

Cách 1: Tìm vectơ pháp tuyến bằng tích có hướng (Phổ biến nhất)

Cho ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) không thẳng hàng. Để lập phương trình mặt phẳng \((ABC)\), ta thực hiện:

Công thức tổng quát:

Cho \(A(x_1; y_1; z_1)\), \(B(x_2; y_2; z_2)\), \(C(x_3; y_3; z_3)\), phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là:

\[
\begin{vmatrix} x – x_1 & y – y_1 & z – z_1 \\ x_2 – x_1 & y_2 – y_1 & z_2 – z_1 \\ x_3 – x_1 & y_3 – y_1 & z_3 – z_1 \end{vmatrix} = 0
\]

Cách 2: Thay tọa độ 3 điểm vào phương trình tổng quát

Giả sử mặt phẳng có phương trình: \(Ax + By + Cz + D = 0\)

Thay tọa độ 3 điểm vào phương trình, ta được hệ 3 phương trình 4 ẩn \(A, B, C, D\). Giải hệ để tìm các hệ số.

Lưu ý: Cách này thường phức tạp hơn, nên ưu tiên sử dụng Cách 1.

Các bước viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm chi tiết

Để viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm một cách chính xác, bạn thực hiện theo quy trình sau:

Ví dụ minh họa có lời giải chi tiết

Dưới đây là các ví dụ giúp bạn hiểu rõ cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm.

Ví dụ 1: Bài toán cơ bản

Đề bài: Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua ba điểm \(A(1; 2; 3)\), \(B(2; -1; 1)\), \(C(3; 0; -1)\).

Lời giải:

Bước 1: Tính các vectơ chỉ phương

\[
\vec{AB} = (2-1; -1-2; 1-3) = (1; -3; -2)
\]

\[
\vec{AC} = (3-1; 0-2; -1-3) = (2; -2; -4)
\]

Bước 2: Tính vectơ pháp tuyến bằng tích có hướng

\[
\vec{n} = [\vec{AB}, \vec{AC}]
\]

Ta có:

• \(n_1 = (-3) \times (-4) – (-2) \times (-2) = 12 – 4 = 8\)
• \(n_2 = (-2) \times 2 – 1 \times (-4) = -4 + 4 = 0\)
• \(n_3 = 1 \times (-2) – (-3) \times 2 = -2 + 6 = 4\)

Vậy \(\vec{n} = (8; 0; 4)\), có thể lấy \(\vec{n} = (2; 0; 1)\)

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua \(A(1; 2; 3)\) với \(\vec{n} = (2; 0; 1)\)

\[
2(x – 1) + 0(y – 2) + 1(z – 3) = 0
\]

\[
2x – 2 + z – 3 = 0
\]

\[
2x + z – 5 = 0
\]

Kết luận: Phương trình mặt phẳng \((P)\): \(2x + z – 5 = 0\)

Ví dụ 2: Ba điểm có tọa độ âm

Đề bài: Viết phương trình mặt phẳng \((Q)\) đi qua ba điểm \(M(1; -1; 2)\), \(N(-2; 1; 0)\), \(P(0; 1; -1)\).

Lời giải:

Bước 1: Tính các vectơ chỉ phương

\[
\vec{MN} = (-2-1; 1-(-1); 0-2) = (-3; 2; -2)
\]

\[
\vec{MP} = (0-1; 1-(-1); -1-2) = (-1; 2; -3)
\]

Bước 2: Tính vectơ pháp tuyến

\[
\vec{n} = [\vec{MN}, \vec{MP}]
\]

Ta có:

• \(n_1 = 2 \times (-3) – (-2) \times 2 = -6 + 4 = -2\)
• \(n_2 = (-2) \times (-1) – (-3) \times (-3) = 2 – 9 = -7\)
• \(n_3 = (-3) \times 2 – 2 \times (-1) = -6 + 2 = -4\)

Vậy \(\vec{n} = (-2; -7; -4)\), có thể lấy \(\vec{n} = (2; 7; 4)\)

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua \(M(1; -1; 2)\)

\[
2(x – 1) + 7(y + 1) + 4(z – 2) = 0
\]

\[
2x – 2 + 7y + 7 + 4z – 8 = 0
\]

\[
2x + 7y + 4z – 3 = 0
\]

Kết luận: Phương trình mặt phẳng \((Q)\): \(2x + 7y + 4z – 3 = 0\)

Ví dụ 3: Mặt phẳng đi qua 3 điểm trên các trục tọa độ

Đề bài: Viết phương trình mặt phẳng \((R)\) đi qua ba điểm \(A(2; 0; 0)\), \(B(0; 3; 0)\), \(C(0; 0; 4)\).

Lời giải:

Cách 1: Dùng công thức tích có hướng

\[
\vec{AB} = (-2; 3; 0), \quad \vec{AC} = (-2; 0; 4)
\]

Vectơ pháp tuyến:

• \(n_1 = 3 \times 4 – 0 \times 0 = 12\)
• \(n_2 = 0 \times (-2) – (-2) \times 4 = 8\)
• \(n_3 = (-2) \times 0 – 3 \times (-2) = 6\)

Vậy \(\vec{n} = (12; 8; 6)\), lấy \(\vec{n} = (6; 4; 3)\)

Phương trình mặt phẳng:

\[
6(x – 2) + 4(y – 0) + 3(z – 0) = 0
\]

\[
6x + 4y + 3z – 12 = 0
\]

Cách 2: Dùng phương trình đoạn chắn

Khi mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại \(A(a; 0; 0)\), \(B(0; b; 0)\), \(C(0; 0; c)\) với \(a, b, c \neq 0\), phương trình có dạng:

\[
\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1
\]

Với \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 4\):

\[
\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1
\]

\[
6x + 4y + 3z = 12
\]

Kết luận: Phương trình mặt phẳng \((R)\): \(6x + 4y + 3z – 12 = 0\)

Ví dụ 4: Kiểm tra 3 điểm thẳng hàng

Đề bài: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \(A(1; 2; 3)\), \(B(2; 4; 6)\), \(C(3; 6; 9)\).

Lời giải:

Ta có:

\[
\vec{AB} = (1; 2; 3), \quad \vec{AC} = (2; 4; 6) = 2\vec{AB}
\]

Do \(\vec{AC} = 2\vec{AB}\) nên \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\) cùng phương.

Kết luận: Ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) thẳng hàng nên không tồn tại mặt phẳng duy nhất đi qua 3 điểm này.

Một số dạng bài tập mở rộng

Ngoài dạng cơ bản, bạn cần lưu ý các dạng mở rộng sau khi viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm.

Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 đỉnh của hình hộp, hình chóp

Ví dụ: Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A’B’C’D’\) với \(A(0;0;0)\), \(B(3;0;0)\), \(D(0;2;0)\), \(A'(0;0;4)\). Viết phương trình mặt phẳng \((A’BD)\).

Dạng 2: Mặt phẳng qua 3 điểm là trung điểm các cạnh

Phương pháp: Tính tọa độ các trung điểm trước, sau đó áp dụng công thức viết phương trình mặt phẳng.

Dạng 3: Mặt phẳng qua 3 điểm chia các cạnh theo tỉ số cho trước

Công thức chia đoạn thẳng: Điểm \(M\) chia đoạn \(AB\) theo tỉ số \(k\) có tọa độ:

\[
M = \left(\frac{x_A + k \cdot x_B}{1 + k}; \frac{y_A + k \cdot y_B}{1 + k}; \frac{z_A + k \cdot z_B}{1 + k}\right)
\]

Bài tập tự luyện

Hãy vận dụng kiến thức về viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm để giải các bài tập sau.

Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \(A(1; 0; 1)\), \(B(2; 1; 2)\), \(C(1; 1; 0)\).

Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \(M(-1; 2; 3)\), \(N(2; -1; 1)\), \(P(3; 1; -2)\).

Bài 3: Cho hình chóp \(S.ABCD\) với \(S(2; 3; 5)\), \(A(1; 0; 0)\), \(B(3; 0; 0)\), \(C(3; 2; 0)\), \(D(1; 2; 0)\). Viết phương trình mặt phẳng \((SAC)\).

Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \(A(3; 0; 0)\), \(B(0; -2; 0)\), \(C(0; 0; 5)\).

Bài 5: Cho ba điểm \(A(1; 1; 1)\), \(B(2; 3; 4)\), \(C(4; 7; 10)\). Kiểm tra xem ba điểm có thẳng hàng không? Nếu không, hãy viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\).

Đáp số tham khảo

Kết luận

Qua bài viết trên, chúng ta đã tìm hiểu chi tiết cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm với hai phương pháp chính: sử dụng tích có hướng để tìm vectơ pháp tuyến và thay tọa độ vào phương trình tổng quát. Phương pháp dùng tích có hướng là cách làm phổ biến và hiệu quả nhất. Hãy ghi nhớ công thức và thực hành nhiều bài tập để thành thạo dạng toán viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm này.