Tiệm cận xiên, tiệm cận đứng, tiệm cận ngang: Định nghĩa và cách tìm
Tiệm cận xiên, tiệm cận đứng, tiệm cận ngang là ba loại đường tiệm cận quan trọng trong khảo sát hàm số Toán 12. Bài viết này giải thích chi tiết đường tiệm cận là gì, hướng dẫn cách tìm tiệm cận xiên, cách tìm tiệm cận ngang, cách tìm tiệm cận đứng kèm công thức và ví dụ minh họa dễ hiểu.
1. Đường tiệm cận là gì?
Trước tiên, cần hiểu rõ khái niệm đường tiệm cận là gì:
1.1. Định nghĩa đường tiệm cận
Đường tiệm cận của đồ thị hàm số là đường thẳng mà khoảng cách từ điểm trên đồ thị đến đường thẳng đó tiến về 0 khi điểm đó tiến ra vô cực.
Ý nghĩa hình học: Đồ thị hàm số “tiến gần” đường tiệm cận nhưng không bao giờ cắt (hoặc chỉ cắt tại hữu hạn điểm).
1.2. Phân loại đường tiệm cận
Có 3 loại đường tiệm cận:
| Loại | Phương trình | Đặc điểm |
|---|---|---|
| Tiệm cận đứng | \( x = x_0 \) | Song song hoặc trùng trục Oy |
| Tiệm cận ngang | \( y = y_0 \) | Song song hoặc trùng trục Ox |
| Tiệm cận xiên | \( y = ax + b \) (a ≠ 0) | Đường thẳng nghiêng |
2. Tiệm cận đứng
Tiệm cận đứng là loại tiệm cận cơ bản nhất:
2.1. Định nghĩa tiệm cận đứng
Đường thẳng \( x = x_0 \) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = f(x) \) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:
\[ \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm\infty \quad \text{hoặc} \quad \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm\infty \]
Ý nghĩa: Khi x tiến đến \( x_0 \), giá trị hàm số tiến ra vô cực.
2.2. Cách tìm tiệm cận đứng
Dưới đây là cách tìm tiệm cận đứng theo từng bước:
- Bước 1: Tìm các điểm \( x_0 \) làm cho mẫu số bằng 0 (với hàm phân thức)
- Bước 2: Kiểm tra tử số tại \( x_0 \):
- Nếu tử số ≠ 0 tại \( x_0 \) → \( x = x_0 \) là tiệm cận đứng
- Nếu tử số = 0 tại \( x_0 \) → cần rút gọn và kiểm tra lại
- Bước 3: Kết luận phương trình tiệm cận đứng: \( x = x_0 \)
2.3. Công thức tìm tiệm cận đứng
| Dạng hàm số | Tiệm cận đứng |
|---|---|
| \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \) | \( x = -\frac{d}{c} \) (khi \( c \neq 0 \) và \( a \cdot (-\frac{d}{c}) + b \neq 0 \)) |
| \( y = \frac{P(x)}{Q(x)} \) | \( x = x_0 \) với \( Q(x_0) = 0 \) và \( P(x_0) \neq 0 \) |
| \( y = \frac{ax^2 + bx + c}{dx + e} \) | \( x = -\frac{e}{d} \) (nếu tử ≠ 0 tại đó) |
3. Tiệm cận ngang
Tiệm cận ngang xuất hiện khi x tiến ra vô cực:
3.1. Định nghĩa tiệm cận ngang
Đường thẳng \( y = y_0 \) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = f(x) \) nếu:
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = y_0 \quad \text{hoặc} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = y_0 \]
Ý nghĩa: Khi x tiến ra vô cực, giá trị hàm số tiến đến giá trị cố định \( y_0 \).
3.2. Cách tìm tiệm cận ngang
Dưới đây là cách tìm tiệm cận ngang:
- Bước 1: Tính \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \)
- Bước 2: Tính \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \)
- Bước 3: Nếu giới hạn bằng số hữu hạn \( y_0 \) → tiệm cận ngang là \( y = y_0 \)
3.3. Công thức tìm tiệm cận ngang
Với hàm phân thức \( y = \frac{P(x)}{Q(x)} \), so sánh bậc tử và mẫu:
| So sánh bậc | Tiệm cận ngang |
|---|---|
| Bậc tử < Bậc mẫu | \( y = 0 \) |
| Bậc tử = Bậc mẫu | \( y = \frac{\text{hệ số cao nhất của tử}}{\text{hệ số cao nhất của mẫu}} \) |
| Bậc tử > Bậc mẫu | Không có tiệm cận ngang |
3.4. Ví dụ nhanh
- \( y = \frac{2x + 1}{x – 3} \): Bậc tử = bậc mẫu = 1 → TCN: \( y = \frac{2}{1} = 2 \)
- \( y = \frac{3x – 1}{x^2 + 1} \): Bậc tử < bậc mẫu → TCN: \( y = 0 \)
- \( y = \frac{x^2 + 1}{x – 2} \): Bậc tử > bậc mẫu → Không có TCN
4. Tiệm cận xiên
Tiệm cận xiên là loại tiệm cận đặc biệt, xuất hiện khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng 1 đơn vị:
4.1. Định nghĩa tiệm cận xiên
Đường thẳng \( y = ax + b \) (với \( a \neq 0 \)) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = f(x) \) nếu:
\[ \lim_{x \to +\infty} [f(x) – (ax + b)] = 0 \quad \text{hoặc} \quad \lim_{x \to -\infty} [f(x) – (ax + b)] = 0 \]
Ý nghĩa: Khi x tiến ra vô cực, đồ thị hàm số tiến gần đường thẳng \( y = ax + b \).
4.2. Điều kiện tồn tại tiệm cận xiên
Tiệm cận xiên tồn tại khi:
- Hàm số không có tiệm cận ngang
- Với hàm phân thức: Bậc tử = Bậc mẫu + 1
Lưu ý quan trọng: Một hàm số không thể đồng thời có cả tiệm cận ngang và tiệm cận xiên khi \( x \to +\infty \) (hoặc khi \( x \to -\infty \)).
4.3. Cách tìm tiệm cận xiên
Dưới đây là cách tìm tiệm cận xiên chi tiết:
Phương pháp 1: Chia đa thức
- Bước 1: Thực hiện phép chia tử cho mẫu
- Bước 2: Viết kết quả dạng: \( f(x) = (ax + b) + \frac{R(x)}{Q(x)} \)
- Bước 3: Tiệm cận xiên là \( y = ax + b \)
Phương pháp 2: Dùng giới hạn
- Bước 1: Tính hệ số góc: \( a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} \)
- Bước 2: Tính tung độ gốc: \( b = \lim_{x \to \infty} [f(x) – ax] \)
- Bước 3: Nếu a ≠ 0 và b hữu hạn → Tiệm cận xiên: \( y = ax + b \)
4.4. Công thức tìm tiệm cận xiên
| Công thức | Ý nghĩa |
|---|---|
| \( a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} \) | Hệ số góc của tiệm cận xiên |
| \( b = \lim_{x \to \infty} [f(x) – ax] \) | Tung độ gốc của tiệm cận xiên |
| \( y = ax + b \) | Phương trình tiệm cận xiên |
5. Bảng tổng hợp cách tìm tiệm cận
Dưới đây là bảng tổng hợp cách tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên:
| Loại tiệm cận | Điều kiện | Cách tìm | Phương trình |
|---|---|---|---|
| Tiệm cận đứng | \( \lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty \) | Tìm x làm mẫu = 0, tử ≠ 0 | \( x = x_0 \) |
| Tiệm cận ngang | \( \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = y_0 \) | Tính giới hạn khi x → ±∞ | \( y = y_0 \) |
| Tiệm cận xiên | Bậc tử = Bậc mẫu + 1 | Chia đa thức hoặc dùng giới hạn | \( y = ax + b \) |
6. Tiệm cận của các hàm số thường gặp
Tổng hợp tiệm cận đứng tiệm cận ngang của các hàm số cơ bản:
6.1. Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất
\( y = \frac{ax + b}{cx + d} \) với \( c \neq 0, ad – bc \neq 0 \)
| Tiệm cận đứng | \( x = -\frac{d}{c} \) |
| Tiệm cận ngang | \( y = \frac{a}{c} \) |
| Tiệm cận xiên | Không có |
6.2. Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất
\( y = \frac{ax^2 + bx + c}{dx + e} \) với \( d \neq 0 \)
| Tiệm cận đứng | \( x = -\frac{e}{d} \) (nếu tử ≠ 0 tại đó) |
| Tiệm cận ngang | Không có |
| Tiệm cận xiên | Có, tìm bằng phép chia |
6.3. Hàm chứa căn
\( y = \frac{\sqrt{ax^2 + bx + c}}{dx + e} \) cần xét từng trường hợp cụ thể.
7. Mối quan hệ giữa các loại tiệm cận
Hiểu rõ mối quan hệ giúp tìm tiệm cận ngang và tìm tiệm cận xiên hiệu quả:
| Mối quan hệ | Giải thích |
|---|---|
| TCĐ và TCN có thể cùng tồn tại | Ví dụ: \( y = \frac{1}{x} \) có TCĐ: x = 0 và TCN: y = 0 |
| TCĐ và TCX có thể cùng tồn tại | Ví dụ: \( y = \frac{x^2}{x-1} \) có TCĐ: x = 1 và TCX: y = x + 1 |
| TCN và TCX không cùng tồn tại | Khi x → +∞ (hoặc -∞), chỉ có 1 trong 2 |
| Có thể có 2 TCN khác nhau | Khi \( \lim_{x \to +\infty} \neq \lim_{x \to -\infty} \) |
8. Ví dụ và bài tập minh họa
Dưới đây là các bài tập tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên:
Bài tập 1: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
Đề bài: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \( y = \frac{2x – 1}{x + 2} \)
Lời giải:
Tìm tiệm cận đứng:
- Mẫu số = 0 khi \( x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = -2 \)
- Tử số tại x = -2: \( 2(-2) – 1 = -5 \neq 0 \)
- \( \lim_{x \to -2} \frac{2x-1}{x+2} = \pm\infty \)
→ Tiệm cận đứng: \( x = -2 \)
Tìm tiệm cận ngang:
- Bậc tử = bậc mẫu = 1
- \( \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x-1}{x+2} = \frac{2}{1} = 2 \)
→ Tiệm cận ngang: \( y = 2 \)
Kết luận: TCĐ: \( x = -2 \), TCN: \( y = 2 \)
Bài tập 2: Tìm tiệm cận xiên bằng phép chia
Đề bài: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 – 3x + 2}{x – 1} \)
Lời giải:
Bước 1: Kiểm tra điều kiện: Bậc tử (2) = Bậc mẫu (1) + 1 → Có tiệm cận xiên
Bước 2: Thực hiện phép chia:
\[ \frac{x^2 – 3x + 2}{x – 1} = x – 2 + \frac{0}{x-1} = x – 2 \]
Hoặc phân tích: \( x^2 – 3x + 2 = (x-1)(x-2) \)
\[ y = \frac{(x-1)(x-2)}{x-1} = x – 2 \quad (x \neq 1) \]
Lưu ý: Hàm số này không có tiệm cận đứng vì tử số cũng bằng 0 tại x = 1.
Kết luận: Đồ thị là đường thẳng y = x – 2 (bỏ điểm x = 1), không có tiệm cận.
Bài tập 3: Tìm tiệm cận xiên – Có tiệm cận đứng
Đề bài: Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 + 2x – 1}{x + 1} \)
Lời giải:
Tìm tiệm cận đứng:
- Mẫu = 0 khi x = -1
- Tử tại x = -1: \( 1 – 2 – 1 = -2 \neq 0 \)
→ Tiệm cận đứng: \( x = -1 \)
Tìm tiệm cận xiên:
Thực hiện phép chia \( (x^2 + 2x – 1) : (x + 1) \):
\[ x^2 + 2x – 1 = (x + 1)(x + 1) – 2 = (x+1)^2 – 2 \]
\[ y = \frac{(x+1)^2 – 2}{x+1} = (x + 1) – \frac{2}{x+1} = x + 1 – \frac{2}{x+1} \]
→ Tiệm cận xiên: \( y = x + 1 \)
Kết luận: TCĐ: \( x = -1 \), TCX: \( y = x + 1 \)
Bài tập 4: Tìm tiệm cận xiên bằng giới hạn
Đề bài: Dùng công thức giới hạn, tìm tiệm cận xiên của \( y = \frac{2x^2 – x + 3}{x – 2} \)
Lời giải:
Bước 1: Tính hệ số góc a:
\[ a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 – x + 3}{x(x-2)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 – x + 3}{x^2 – 2x} \]
\[ = \lim_{x \to \infty} \frac{2 – \frac{1}{x} + \frac{3}{x^2}}{1 – \frac{2}{x}} = \frac{2}{1} = 2 \]
Bước 2: Tính tung độ gốc b:
\[ b = \lim_{x \to \infty} [f(x) – ax] = \lim_{x \to \infty} \left[\frac{2x^2 – x + 3}{x-2} – 2x\right] \]
\[ = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 – x + 3 – 2x(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 – x + 3 – 2x^2 + 4x}{x-2} \]
\[ = \lim_{x \to \infty} \frac{3x + 3}{x – 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{3}{x}}{1 – \frac{2}{x}} = 3 \]
Kết luận: Tiệm cận xiên: \( y = 2x + 3 \)
Bài tập 5: Xác định số đường tiệm cận
Đề bài: Đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 – 4}{x – 1} \) có bao nhiêu đường tiệm cận?
Lời giải:
Tiệm cận đứng:
- Mẫu = 0 khi x = 1
- Tử tại x = 1: \( 1 – 4 = -3 \neq 0 \)
→ Có 1 TCĐ: \( x = 1 \)
Tiệm cận ngang:
- Bậc tử (2) > Bậc mẫu (1) → Không có TCN
Tiệm cận xiên:
- Bậc tử = Bậc mẫu + 1 → Có TCX
- Chia: \( \frac{x^2 – 4}{x-1} = x + 1 + \frac{-3}{x-1} \)
→ Có 1 TCX: \( y = x + 1 \)
Kết luận: Đồ thị có 2 đường tiệm cận (1 TCĐ và 1 TCX)
Bài tập 6: Trắc nghiệm
Đề bài: Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 + 1}{x – 1} \) có phương trình là:
- \( y = x \)
- \( y = x + 1 \)
- \( y = x – 1 \)
- \( y = x + 2 \)
Lời giải:
\[ \frac{x^2 + 1}{x – 1} = \frac{x^2 – 1 + 2}{x – 1} = \frac{(x-1)(x+1) + 2}{x-1} = x + 1 + \frac{2}{x-1} \]
Đáp án: B. \( y = x + 1 \)
9. Một số lưu ý quan trọng
Khi tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang và tiệm cận xiên, cần lưu ý:
| Lưu ý | Giải thích |
|---|---|
| Kiểm tra rút gọn | Nếu tử và mẫu cùng bằng 0 tại \( x_0 \), cần rút gọn trước |
| TCN và TCX | Không thể cùng tồn tại ở cùng một phía (x → +∞ hoặc x → -∞) |
| Phép chia nhanh hơn | Với hàm phân thức, chia đa thức thường nhanh hơn dùng giới hạn |
| Đếm số tiệm cận | Đếm riêng TCĐ, TCN, TCX rồi cộng lại |
10. Kết luận
Tiệm cận xiên, tiệm cận đứng, tiệm cận ngang là kiến thức quan trọng trong khảo sát hàm số. Để nắm vững chủ đề này, học sinh cần:
- Hiểu rõ đường tiệm cận là gì và phân biệt 3 loại tiệm cận
- Nắm vững cách tìm tiệm cận đứng: tìm x làm mẫu = 0, tử ≠ 0
- Thành thạo cách tìm tiệm cận ngang: so sánh bậc tử và mẫu
- Biết cách tìm tiệm cận xiên: dùng phép chia đa thức hoặc công thức giới hạn
- Luyện tập nhiều dạng bài tập để thành thạo kỹ năng
Hy vọng bài viết này giúp bạn hiểu rõ tiệm cận xiên, tiệm cận ngang, tiệm cận đứng và tự tin giải quyết mọi bài toán liên quan!
Có thể bạn quan tâm
