Đường chéo hình thoi: Công thức, tính chất 2 đường chéo và bài tập

Đường chéo hình thoi là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện của hình thoi. Hình thoi có hai đường chéo với các tính chất đặc biệt: vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn nắm vững định nghĩa, tính chất, công thức tính cùng các bài tập minh họa chi tiết về đường chéo hình thoi.

Đường chéo hình thoi là gì?

Để hiểu rõ về đường chéo, trước tiên chúng ta cần nhắc lại khái niệm hình thoi và xác định đường chéo của nó.

Hình thoi là hình bình hành có bốn cạnh bằng nhau.

Đường chéo hình thoi là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện của hình thoi. Mỗi hình thoi có đúng hai đường chéo.

Xét hình thoi ABCD:

• Đường chéo thứ nhất: AC (nối đỉnh A và đỉnh C)
• Đường chéo thứ hai: BD (nối đỉnh B và đỉnh D)

Hai đường chéo này cắt nhau tại một điểm, thường được ký hiệu là O.

Tính chất của đường chéo hình thoi

Đường chéo hình thoi có những tính chất đặc biệt giúp phân biệt hình thoi với các tứ giác khác. Dưới đây là các tính chất quan trọng cần ghi nhớ.

Tính chất 1: Hai đường chéo vuông góc với nhau

\(AC \perp BD\)

Đây là tính chất đặc trưng của hình thoi, giúp phân biệt với hình bình hành thông thường.

Tính chất 2: Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, ta có:

\(OA = OC = \frac{AC}{2}\)

\(OB = OD = \frac{BD}{2}\)

Tính chất 3: Mỗi đường chéo là đường phân giác của các góc đi qua nó

• Đường chéo AC là phân giác của góc A và góc C
• Đường chéo BD là phân giác của góc B và góc D

Tính chất 4: Hai đường chéo chia hình thoi thành 4 tam giác vuông bằng nhau

Bốn tam giác vuông đó là: \(\triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle DOA\)

Bảng tóm tắt tính chất

Công thức tính đường chéo hình thoi

Tùy thuộc vào dữ kiện đề bài cho, ta có thể sử dụng các công thức khác nhau để tính đường chéo hình thoi.

Công thức 1: Tính đường chéo khi biết cạnh và đường chéo còn lại

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông tạo bởi hai nửa đường chéo và cạnh:

\(a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2\)

Từ đó suy ra:

\(d_1 = 2\sqrt{a^2 – \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{4a^2 – d_2^2}\)

Trong đó:

• \(a\): Độ dài cạnh hình thoi
• \(d_1, d_2\): Độ dài hai đường chéo

Công thức 2: Tính đường chéo khi biết diện tích và đường chéo còn lại

Từ công thức diện tích: \(S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2\)

Suy ra:

\(d_1 = \frac{2S}{d_2}\)

Công thức 3: Tính đường chéo khi biết cạnh và góc

Gọi \(\alpha\) là một góc của hình thoi, ta có:

\(d_1 = 2a \times \sin\frac{\alpha}{2}\)

\(d_2 = 2a \times \cos\frac{\alpha}{2}\)

Hoặc:

\(d_1 = a\sqrt{2(1 – \cos\alpha)}\)

\(d_2 = a\sqrt{2(1 + \cos\alpha)}\)

Bảng tổng hợp công thức tính đường chéo hình thoi

Mối quan hệ giữa đường chéo và các yếu tố khác của hình thoi

Hiểu rõ mối quan hệ giữa đường chéo hình thoi với cạnh, diện tích và chu vi sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách linh hoạt.

Quan hệ giữa đường chéo và cạnh

\(a = \frac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + d_2^2}\)

Hay: \(4a^2 = d_1^2 + d_2^2\)

Quan hệ giữa đường chéo và diện tích

\(S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2\)

Quan hệ giữa đường chéo và chu vi

\(C = 2\sqrt{d_1^2 + d_2^2}\)

Bài tập về đường chéo hình thoi có lời giải chi tiết

Dưới đây là các bài tập giúp bạn vận dụng thành thạo các công thức tính đường chéo hình thoi.

Bài tập 1: Tính đường chéo khi biết diện tích

Đề bài: Cho hình thoi có diện tích bằng 60 cm² và một đường chéo bằng 10 cm. Tính độ dài đường chéo còn lại.

Lời giải:

Ta có: \(S = 60\) cm², \(d_1 = 10\) cm

Áp dụng công thức: \(S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2\)

\(60 = \frac{1}{2} \times 10 \times d_2\)

\(d_2 = \frac{60 \times 2}{10} = 12\) (cm)

Đáp số: Đường chéo còn lại bằng 12 cm.

Bài tập 2: Tính đường chéo khi biết cạnh và đường chéo kia

Đề bài: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 13 cm và đường chéo AC = 10 cm. Tính độ dài đường chéo BD.

Lời giải:

Ta có: \(a = 13\) cm, \(d_1 = AC = 10\) cm

Gọi O là giao điểm hai đường chéo.

\(OA = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5\) (cm)

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông OAB:

\(OB^2 = AB^2 – OA^2 = 13^2 – 5^2 = 169 – 25 = 144\)

\(OB = \sqrt{144} = 12\) (cm)

\(BD = 2 \times OB = 2 \times 12 = 24\) (cm)

Đáp số: Đường chéo BD = 24 cm.

Bài tập 3: Tính cạnh và chu vi khi biết hai đường chéo

Đề bài: Cho hình thoi có hai đường chéo lần lượt là 16 cm và 12 cm. Tính độ dài cạnh và chu vi hình thoi.

Lời giải:

Ta có: \(d_1 = 16\) cm, \(d_2 = 12\) cm

Nửa độ dài các đường chéo:

\(\frac{d_1}{2} = \frac{16}{2} = 8\) (cm)

\(\frac{d_2}{2} = \frac{12}{2} = 6\) (cm)

Áp dụng định lý Pytago tính cạnh:

\(a = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\) (cm)

Tính chu vi:

\(C = 4 \times a = 4 \times 10 = 40\) (cm)

Đáp số: Cạnh hình thoi bằng 10 cm, chu vi bằng 40 cm.

Bài tập 4: Bài toán tổng hợp

Đề bài: Cho hình thoi ABCD có diện tích bằng 240 cm². Biết tỉ số hai đường chéo là \(\frac{AC}{BD} = \frac{3}{4}\). Tính độ dài mỗi đường chéo.

Lời giải:

Gọi \(AC = 3k\) và \(BD = 4k\) (với \(k > 0\))

Áp dụng công thức diện tích:

\(S = \frac{1}{2} \times AC \times BD\)

\(240 = \frac{1}{2} \times 3k \times 4k\)

\(240 = 6k^2\)

\(k^2 = 40\)

\(k = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\)

Vậy:

\(AC = 3k = 6\sqrt{10}\) (cm)

\(BD = 4k = 8\sqrt{10}\) (cm)

Đáp số: \(AC = 6\sqrt{10}\) cm, \(BD = 8\sqrt{10}\) cm.

Bài tập 5: Chứng minh tính chất đường chéo

Đề bài: Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh rằng AC ⊥ BD.

Lời giải:

Xét tam giác AOB và tam giác AOD:

• AB = AD (cạnh hình thoi)
• OB = OD (tính chất hình bình hành: đường chéo cắt nhau tại trung điểm)
• OA chung

Suy ra: \(\triangle AOB = \triangle AOD\) (c.c.c)

Do đó: \(\widehat{AOB} = \widehat{AOD}\)

Mà: \(\widehat{AOB} + \widehat{AOD} = 180°\) (hai góc kề bù)

Nên: \(\widehat{AOB} = \widehat{AOD} = 90°\)

Vậy \(AC \perp BD\) (đpcm).

Kết luận

Qua bài viết trên, chúng ta đã tìm hiểu chi tiết về đường chéo hình thoi với các tính chất quan trọng: hai đường chéo vuông góc với nhau, cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và là đường phân giác của các góc. Các công thức tính đường chéo hình thoi cũng được trình bày rõ ràng kèm theo nhiều bài tập minh họa. Hy vọng những kiến thức này sẽ giúp bạn học tốt môn Toán hình học!