Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm: Cách tính và bài tập

Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm là một trong những công thức nền tảng và được sử dụng nhiều nhất trong chương trình Toán hình học tọa độ từ lớp 10 đến lớp 12. Dù trên trục số, trong mặt phẳng Oxy hay trong không gian Oxyz, việc tính khoảng cách 2 điểm đều tuân theo nguyên lý chung xuất phát từ định lý Pythagore. Nắm vững công thức tính khoảng cách giữa hai điểm sẽ giúp học sinh giải quyết nhanh các bài toán về độ dài đoạn thẳng, phương trình đường tròn, mặt cầu và nhiều dạng bài hình học tọa độ khác. Bài viết dưới đây của VJOL sẽ trình bày đầy đủ công thức, cách tính khoảng cách giữa 2 điểm trong mọi trường hợp kèm ví dụ minh họa và bài tập có lời giải chi tiết.

Khoảng cách giữa hai điểm là gì?

Khoảng cách giữa hai điểm là độ dài đoạn thẳng nối hai điểm đó. Đây chính là đường đi ngắn nhất giữa hai điểm trong không gian Euclid.

Nếu hai điểm \( A \) và \( B \) có tọa độ xác định, khoảng cách giữa chúng được ký hiệu là \( AB \) (hoặc \( d(A, B) \)) và luôn mang giá trị không âm:

$$AB \geq 0$$

Trong đó \( AB = 0 \) khi và chỉ khi \( A \) trùng \( B \).

Ý nghĩa hình học: Khoảng cách giữa hai điểm chính là “độ dài thực” của đoạn thẳng AB, được tính dựa trên hiệu tọa độ của hai điểm và định lý Pythagore. Tùy thuộc vào số chiều (1 chiều, 2 chiều, 3 chiều), công thức sẽ có dạng khác nhau nhưng đều tuân theo cùng một nguyên lý.

Cùng tìm hiểu công thức tính khoảng cách 2 điểm trong từng trường hợp cụ thể dưới đây.

Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm trên trục số

Đây là trường hợp đơn giản nhất, khi hai điểm cùng nằm trên một đường thẳng (trục số).

Cho hai điểm \( A(x_A) \) và \( B(x_B) \) trên trục số. Khoảng cách giữa hai điểm:

$$AB = |x_B – x_A|$$

Giải thích: Ta lấy giá trị tuyệt đối của hiệu tọa độ vì khoảng cách luôn dương, không phụ thuộc vào thứ tự hai điểm.

Ví dụ nhanh: \( A(-3) \) và \( B(5) \) trên trục số:

$$AB = |5 – (-3)| = |8| = 8$$

Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm trong mặt phẳng Oxy

Đây là trường hợp phổ biến nhất trong chương trình Toán lớp 10. Cho hai điểm \( A(x_A;\, y_A) \) và \( B(x_B;\, y_B) \) trong mặt phẳng tọa độ Oxy:

$$AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}$$

Cách nhớ: Khoảng cách bằng căn bậc hai của tổng bình phương các hiệu tọa độ tương ứng.

Chứng minh công thức (dựa trên định lý Pythagore)

Xét hai điểm \( A(x_A;\, y_A) \) và \( B(x_B;\, y_B) \). Gọi \( C(x_B;\, y_A) \) là điểm tạo thành tam giác vuông ABC vuông tại C. Khi đó:

• \( AC = |x_B – x_A| \) (khoảng cách theo phương ngang)
• \( BC = |y_B – y_A| \) (khoảng cách theo phương dọc)

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông ACB:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2 = (x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2$$

$$\Rightarrow AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}$$

Trường hợp đặc biệt: Khoảng cách từ gốc tọa độ đến một điểm

Khoảng cách từ gốc tọa độ \( O(0;\, 0) \) đến điểm \( M(x;\, y) \):

$$OM = \sqrt{x^2 + y^2}$$

Công thức này đặc biệt hữu ích khi làm việc với phương trình đường tròn tâm gốc tọa độ.

Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm trong không gian Oxyz

Trong hình học không gian lớp 12, công thức tính khoảng cách giữa hai điểm được mở rộng thêm một chiều. Cho hai điểm \( A(x_A;\, y_A;\, z_A) \) và \( B(x_B;\, y_B;\, z_B) \) trong không gian Oxyz:

$$AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2 + (z_B – z_A)^2}$$

Cách nhớ: Tương tự công thức trong mặt phẳng, chỉ thêm bình phương hiệu tọa độ thứ ba (tọa độ z).

Trường hợp đặc biệt: Khoảng cách từ gốc tọa độ đến một điểm trong không gian

$$OM = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$

Mối liên hệ với độ dài vectơ

Khoảng cách AB cũng chính là độ dài (mô-đun) của vectơ \( \vec{AB} \):

$$AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2 + (z_B – z_A)^2}$$

Đây là mối liên hệ quan trọng giúp kết nối kiến thức vectơ với khoảng cách.

Cách tính khoảng cách giữa 2 điểm – Các bước thực hiện

Để tính khoảng cách 2 điểm một cách chính xác, hãy thực hiện theo các bước sau:

1. Bước 1: Xác định tọa độ của hai điểm \( A \) và \( B \).
2. Bước 2: Tính hiệu tọa độ tương ứng: \( x_B – x_A \), \( y_B – y_A \) (và \( z_B – z_A \) nếu trong không gian).
3. Bước 3: Bình phương từng hiệu tọa độ.
4. Bước 4: Cộng các bình phương lại.
5. Bước 5: Lấy căn bậc hai của tổng vừa tính.

Mẹo tránh sai lầm:

• Luôn bình phương trước rồi mới cộng — không cộng hiệu tọa độ trước rồi bình phương.
• Bình phương số âm vẫn cho kết quả dương, nên không cần lo thứ tự trừ \( (x_B – x_A) \) hay \( (x_A – x_B) \).
• Kết quả khoảng cách luôn \( \geq 0 \). Nếu ra số âm thì chắc chắn đã tính sai.

Bảng tổng hợp công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm

Bây giờ hãy cùng áp dụng các công thức trên vào những ví dụ minh họa cụ thể.

Ví dụ minh họa có lời giải chi tiết

Ví dụ 1: Khoảng cách trên trục số

Đề bài: Tính khoảng cách giữa hai điểm \( M(-7) \) và \( N(5) \) trên trục số.

Lời giải:

$$MN = |5 – (-7)| = |5 + 7| = 12$$

Vậy khoảng cách MN = 12.

Ví dụ 2: Khoảng cách trong mặt phẳng Oxy (cơ bản)

Đề bài: Tính khoảng cách 2 điểm \( A(1;\, 3) \) và \( B(4;\, 7) \) trong mặt phẳng Oxy.

Lời giải:

$$AB = \sqrt{(4 – 1)^2 + (7 – 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Vậy khoảng cách AB = 5.

Ví dụ 3: Khoảng cách trong mặt phẳng Oxy (có tọa độ âm)

Đề bài: Cho \( A(-2;\, 5) \) và \( B(4;\, -3) \). Tính khoảng cách AB.

Lời giải:

$$AB = \sqrt{(4 – (-2))^2 + (-3 – 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

Vậy khoảng cách AB = 10.

Ví dụ 4: Khoảng cách trong không gian Oxyz

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho \( A(1;\, -2;\, 3) \) và \( B(4;\, 2;\, -1) \). Tính khoảng cách giữa 2 điểm A và B.

Lời giải:

$$AB = \sqrt{(4 – 1)^2 + (2 – (-2))^2 + (-1 – 3)^2}$$

$$= \sqrt{3^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41} \approx 6{,}40$$

Vậy khoảng cách AB = \( \sqrt{41} \).

Ví dụ 5: Chứng minh tam giác vuông bằng khoảng cách

Đề bài: Cho ba điểm \( A(1;\, 1) \), \( B(4;\, 1) \), \( C(4;\, 5) \). Chứng minh tam giác ABC vuông.

Lời giải:

Tính độ dài các cạnh:

$$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{9 + 0} = 3$$

$$BC = \sqrt{(4-4)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{0 + 16} = 4$$

$$AC = \sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$

Kiểm tra định lý Pythagore:

$$AB^2 + BC^2 = 9 + 16 = 25 = AC^2$$

Vì \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \) nên tam giác ABC vuông tại B. (đpcm)

Ví dụ 6: Tìm tọa độ điểm khi biết khoảng cách

Đề bài: Tìm tọa độ điểm \( M(x;\, 0) \) trên trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến điểm \( A(3;\, 4) \) bằng 5.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm:

$$MA = \sqrt{(x – 3)^2 + (0 – 4)^2} = 5$$

$$\sqrt{(x – 3)^2 + 16} = 5$$

Bình phương hai vế:

$$(x – 3)^2 + 16 = 25$$

$$(x – 3)^2 = 9$$

$$x – 3 = \pm 3$$

$$x = 6 \quad \text{hoặc} \quad x = 0$$

Vậy \( M(6;\, 0) \) hoặc \( M(0;\, 0) \).

Ví dụ 7: Tính chu vi tam giác trong không gian

Đề bài: Cho ba điểm \( A(1;\, 0;\, 2) \), \( B(3;\, 1;\, 0) \), \( C(0;\, 2;\, 1) \) trong không gian Oxyz. Tính chu vi tam giác ABC.

Lời giải:

$$AB = \sqrt{(3-1)^2 + (1-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$$

$$BC = \sqrt{(0-3)^2 + (2-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11}$$

$$AC = \sqrt{(0-1)^2 + (2-0)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$$

Chu vi tam giác:

$$C = AB + BC + AC = 3 + \sqrt{11} + \sqrt{6} \approx 3 + 3{,}32 + 2{,}45 = 8{,}77$$

Vậy chu vi tam giác ABC bằng \( 3 + \sqrt{11} + \sqrt{6} \approx 8{,}77 \).

Ví dụ 8: Ứng dụng tìm tâm và bán kính đường tròn

Đề bài: Cho đường tròn có đường kính AB với \( A(-1;\, 2) \) và \( B(5;\, -4) \). Tìm tâm và bán kính đường tròn.

Lời giải:

Tâm I là trung điểm AB:

$$I = \left(\frac{-1+5}{2};\, \frac{2+(-4)}{2}\right) = (2;\, -1)$$

Bán kính bằng nửa đường kính. Tính AB:

$$AB = \sqrt{(5-(-1))^2 + (-4-2)^2} = \sqrt{6^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$

Bán kính:

$$R = \frac{AB}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$

Vậy tâm \( I(2;\, -1) \), bán kính \( R = 3\sqrt{2} \).

Để củng cố kiến thức, hãy thử sức với các bài tập tự luyện dưới đây.

Bài tập tự luyện có đáp án

Bài 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm \( A(2;\, -1) \) và \( B(-3;\, 11) \) trong mặt phẳng Oxy.

Bài 2: Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách giữa \( M(2;\, -3;\, 1) \) và \( N(-1;\, 1;\, 5) \).

Bài 3: Cho ba điểm \( A(0;\, 0) \), \( B(6;\, 0) \), \( C(3;\, 3\sqrt{3}) \). Chứng minh tam giác ABC đều.

Bài 4: Tìm điểm \( M(x;\, y) \) trên trục Oy sao cho \( MA = MB \) với \( A(1;\, 3) \), \( B(5;\, -1) \).

Bài 5: Cho \( A(1;\, 2;\, -1) \) và \( B(3;\, 0;\, 1) \) trong không gian. Tìm điểm \( M \) trên trục Oz sao cho \( MA = MB \).

Bài 6: Chứng minh tứ giác ABCD với \( A(1;\, 1) \), \( B(4;\, 1) \), \( C(4;\, 5) \), \( D(1;\, 5) \) là hình chữ nhật bằng cách tính độ dài các cạnh và đường chéo.

Đáp án bài tập tự luyện

Kết luận

Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm là công cụ toán học cơ bản nhưng vô cùng mạnh mẽ, được xây dựng trên nền tảng định lý Pythagore và áp dụng xuyên suốt từ hình học phẳng đến hình học không gian. Ghi nhớ ba dạng công thức — trên trục số \( AB = |x_B – x_A| \), trong mặt phẳng \( AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2} \) và trong không gian \( AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2 + (z_B – z_A)^2} \) — cùng với cách tính khoảng cách giữa 2 điểm qua 5 bước đơn giản, bạn sẽ giải quyết được hầu hết các dạng bài tập liên quan. Hy vọng bài viết của VJOL đã giúp bạn nắm vững công thức tính khoảng cách giữa hai điểm và tự tin áp dụng vào học tập cũng như các kỳ thi.