Tính chất phân giác: Đường phân giác trong tam giác và bài tập

Tính chất phân giác là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình Toán hình học THCS và THPT. Đường phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và chia góc đó thành hai góc bằng nhau. Bài viết dưới đây sẽ trình bày chi tiết các tính chất phân giác của góc, đường phân giác trong tam giác cùng các bài tập minh họa có lời giải.

Phân giác là gì?

Trước khi tìm hiểu tính chất phân giác, chúng ta cần nắm rõ định nghĩa:

Định nghĩa phân giác của một góc

Phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc, chia góc đó thành hai góc bằng nhau.

Nếu tia \(Oz\) là phân giác của góc \(\widehat{xOy}\), thì:

\[\widehat{xOz} = \widehat{zOy} = \frac{\widehat{xOy}}{2}\]

Định nghĩa đường phân giác trong tam giác

Đường phân giác trong tam giác là đoạn thẳng nối từ một đỉnh đến cạnh đối diện, đồng thời là phân giác của góc tại đỉnh đó.

Trong tam giác \(ABC\), đường phân giác từ đỉnh \(A\) là đoạn \(AD\) (với \(D\) thuộc \(BC\)) sao cho \(\widehat{BAD} = \widehat{DAC}\).

Tính chất phân giác của một góc

Các tính chất phân giác của một góc là nền tảng để giải các bài toán hình học:

Tính chất 1: Điểm thuộc phân giác

Định lý: Điểm nằm trên phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

Nếu \(M\) thuộc phân giác của góc \(\widehat{xOy}\), gọi \(H\), \(K\) lần lượt là hình chiếu của \(M\) lên \(Ox\), \(Oy\), thì:

\[MH = MK\]

Tính chất 2: Định lý đảo

Định lý đảo: Điểm nằm bên trong góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên phân giác của góc đó.

Nếu \(MH = MK\) (với \(H \in Ox\), \(K \in Oy\), \(MH \perp Ox\), \(MK \perp Oy\)), thì \(M\) thuộc phân giác của góc \(\widehat{xOy}\).

Tính chất 3: Tập hợp điểm

Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là phân giác của góc đó.

Tính chất đường phân giác trong tam giác

Đây là tính chất phân giác quan trọng nhất trong tam giác, thường gọi là định lý đường phân giác:

Định lý đường phân giác trong

Định lý: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề của góc đó.

Cho tam giác \(ABC\), đường phân giác trong từ đỉnh \(A\) cắt cạnh \(BC\) tại \(D\). Khi đó:

\[\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}\]

Hoặc viết dưới dạng tương đương:

\[\frac{DB}{AB} = \frac{DC}{AC}\]

Công thức tính độ dài đường phân giác trong

Gọi \(l_a\) là độ dài đường phân giác từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\):

Công thức 1:

\[l_a = \frac{2bc \cdot \cos\frac{A}{2}}{b + c}\]

Công thức 2:

\[l_a^2 = bc\left[1 – \left(\frac{a}{b+c}\right)^2\right]\]

Công thức 3:

\[l_a = \frac{2\sqrt{bc \cdot p(p-a)}}{b+c}\]

Trong đó \(p = \frac{a+b+c}{2}\) là nửa chu vi tam giác.

Hệ quả quan trọng

Từ tính chất đường phân giác, ta có thể tính được:

• \(DB = \frac{a \cdot AB}{AB + AC} = \frac{a \cdot c}{b + c}\)
• \(DC = \frac{a \cdot AC}{AB + AC} = \frac{a \cdot b}{b + c}\)

(Với \(a = BC\), \(b = AC\), \(c = AB\))

Tính chất đường phân giác ngoài của tam giác

Ngoài phân giác trong, tính chất phân giác ngoài cũng rất quan trọng:

Định nghĩa

Đường phân giác ngoài của tam giác tại một đỉnh là đường phân giác của góc ngoài tại đỉnh đó.

Định lý đường phân giác ngoài

Định lý: Đường phân giác ngoài của tam giác chia cạnh đối diện (hoặc phần kéo dài) thành hai đoạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề.

Cho tam giác \(ABC\) (với \(AB \neq AC\)), đường phân giác ngoài từ đỉnh \(A\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(D’\). Khi đó:

\[\frac{D’B}{D’C} = \frac{AB}{AC}\]

Lưu ý

• Điểm \(D’\) nằm trên phần kéo dài của \(BC\)
• Nếu \(AB = AC\) (tam giác cân), phân giác ngoài song song với \(BC\)
• Phân giác trong và phân giác ngoài từ cùng một đỉnh vuông góc với nhau

Tính chất ba đường phân giác trong tam giác

Một tính chất phân giác quan trọng khác liên quan đến ba đường phân giác:

Định lý

Ba đường phân giác trong của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đó gọi là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác, ký hiệu là \(I\).

Tính chất của tâm nội tiếp I

Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp

\[r = \frac{S}{p} = (p-a)\tan\frac{A}{2} = 4R\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\]

Trong đó \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Bài tập ví dụ minh họa có lời giải

Dưới đây là các bài tập vận dụng tính chất phân giác:

Bài tập 1: Áp dụng định lý phân giác trong

Đề bài: Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 6\) cm, \(AC = 9\) cm, \(BC = 10\) cm. Đường phân giác trong từ đỉnh \(A\) cắt \(BC\) tại \(D\). Tính \(BD\) và \(DC\).

Lời giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác trong:

\[\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\]

Mà \(DB + DC = BC = 10\) cm

Đặt \(DB = 2k\), \(DC = 3k\), ta có:

\[2k + 3k = 10 \Rightarrow k = 2\]

Vậy:

• \(DB = 2k = 2 \times 2 = 4\) (cm)
• \(DC = 3k = 3 \times 2 = 6\) (cm)

Đáp số: \(BD = 4\) cm, \(DC = 6\) cm

Bài tập 2: Tính độ dài đường phân giác

Đề bài: Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 5\) cm, \(AC = 8\) cm và \(\widehat{A} = 60°\). Tính độ dài đường phân giác \(AD\) từ đỉnh \(A\).

Lời giải:

Áp dụng công thức tính độ dài đường phân giác:

\[l_a = \frac{2bc \cdot \cos\frac{A}{2}}{b + c}\]

Với \(b = AC = 8\) cm, \(c = AB = 5\) cm, \(\frac{A}{2} = 30°\)

\[l_a = \frac{2 \times 8 \times 5 \times \cos 30°}{8 + 5}\]

\[l_a = \frac{80 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{13} = \frac{40\sqrt{3}}{13}\]

Đáp số: \(AD = \frac{40\sqrt{3}}{13}\) cm \(\approx 5,33\) cm

Bài tập 3: Áp dụng tính chất điểm thuộc phân giác

Đề bài: Cho góc \(\widehat{xOy} = 60°\). Điểm \(M\) nằm trên phân giác của góc đó và cách \(O\) một khoảng 10 cm. Tính khoảng cách từ \(M\) đến hai cạnh \(Ox\), \(Oy\).

Lời giải:

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(M\) lên \(Ox\).

Vì \(M\) thuộc phân giác nên \(\widehat{MOx} = \frac{60°}{2} = 30°\)

Trong tam giác vuông \(OMH\):

\[MH = OM \times \sin 30° = 10 \times \frac{1}{2} = 5 \text{ (cm)}\]

Theo tính chất phân giác, \(M\) cách đều hai cạnh nên khoảng cách từ \(M\) đến \(Oy\) cũng bằng 5 cm.

Đáp số: 5 cm

Bài tập 4: Tìm tỷ số đoạn thẳng

Đề bài: Cho tam giác \(ABC\) có đường phân giác trong \(AD\) và đường phân giác ngoài \(AE\) (với \(D \in BC\), \(E\) thuộc đường thẳng \(BC\)). Biết \(AB = 4\) cm, \(AC = 6\) cm, \(BC = 8\) cm. Tính \(DE\).

Lời giải:

Áp dụng định lý đường phân giác trong:

\[\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]

\[BD = \frac{2}{5} \times 8 = \frac{16}{5} \text{ (cm)}\]

\[DC = \frac{3}{5} \times 8 = \frac{24}{5} \text{ (cm)}\]

Áp dụng định lý đường phân giác ngoài:

\[\frac{BE}{CE} = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]

Vì \(E\) nằm trên phần kéo dài của \(CB\) (do \(AB < AC\)):

\[BE – BC = CE \Rightarrow BE = BC + CE\]

Từ \(\frac{BE}{CE} = \frac{2}{3}\), ta có \(3BE = 2CE\)

Mà \(BE = 8 + CE\), thay vào: \(3(8 + CE) = 2CE\)

Suy ra: \(24 + 3CE = 2CE\), vô lý.

Vậy \(E\) nằm trên phần kéo dài của \(BC\): \(CE = BE + BC\)

\[CE – BE = 8\]

Từ \(3BE = 2CE\) và \(CE – BE = 8\):

\[CE = 3BE/2\]

\[\frac{3BE}{2} – BE = 8 \Rightarrow \frac{BE}{2} = 8 \Rightarrow BE = 16 \text{ (cm)}\]

\[CE = 16 + 8 = 24 \text{ (cm)}\]

\[DE = DC + CE = \frac{24}{5} + 24 = \frac{24 + 120}{5} = \frac{144}{5} = 28,8 \text{ (cm)}\]

Đáp số: \(DE = 28,8\) cm

Kết luận

Qua bài viết trên, chúng ta đã tìm hiểu chi tiết về tính chất phân giác bao gồm:

• Tính chất phân giác của góc: Điểm thuộc phân giác thì cách đều hai cạnh của góc
• Định lý đường phân giác trong: \(\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}\)
• Định lý đường phân giác ngoài: \(\frac{D’B}{D’C} = \frac{AB}{AC}\)
• Ba đường phân giác đồng quy tại tâm đường tròn nội tiếp

Nắm vững các tính chất phân giác sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán hình học từ cơ bản đến nâng cao. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo các công thức và phương pháp áp dụng.