Cộng vecto: Quy tắc cộng, trừ vecto, công thức trọng tâm chi tiết

Cộng vecto là một trong những phép toán cơ bản và quan trọng nhất trong chương trình Toán học phổ thông. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững định nghĩa, quy tắc cộng vecto, tính chất và công thức tính tổng hai vecto thông qua các ví dụ minh họa chi tiết, dễ hiểu.

Phép cộng vecto là gì?

Trước khi tìm hiểu các quy tắc, chúng ta cần nắm rõ khái niệm cơ bản về phép cộng vecto.

Định nghĩa: Cho hai vecto \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\). Phép cộng vecto là phép toán xác định một vecto duy nhất gọi là tổng của hai vecto, ký hiệu \(\vec{a} + \vec{b}\).

Ý nghĩa hình học: Phép cộng vecto thể hiện sự kết hợp của hai chuyển động hoặc hai lực tác dụng theo các hướng khác nhau.

Quy tắc cộng vecto

Có hai quy tắc chính để thực hiện phép cộng vecto: quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành.

Quy tắc ba điểm

Phát biểu: Với ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) bất kỳ, ta có:

\[\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\]

Cách thực hiện:

• Đặt vecto \(\vec{a} = \vec{AB}\)
• Đặt vecto \(\vec{b} = \vec{BC}\) sao cho điểm đầu của \(\vec{b}\) trùng với điểm cuối của \(\vec{a}\)
• Vecto tổng \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{AC}\) có điểm đầu là điểm đầu của \(\vec{a}\) và điểm cuối là điểm cuối của \(\vec{b}\)

Mở rộng (Quy tắc nhiều điểm):

\[\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{AD}\]

Quy tắc hình bình hành

Phát biểu: Nếu \(ABCD\) là hình bình hành thì:

\[\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}\]

Cách thực hiện:

• Đặt hai vecto \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) chung điểm đầu \(A\)
• Dựng hình bình hành \(ABDC\) với \(\vec{AB} = \vec{a}\), \(\vec{AD} = \vec{b}\)
• Vecto tổng \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{AC}\) là đường chéo của hình bình hành

Lưu ý: Quy tắc hình bình hành thường được sử dụng khi hai vecto có chung điểm đầu.

Tính chất của phép cộng vecto

Phép cộng vecto có các tính chất quan trọng sau đây.

Công thức cộng vecto theo tọa độ

Khi làm việc trong hệ tọa độ, việc cộng vecto trở nên đơn giản hơn nhiều.

Trong mặt phẳng Oxy:

Cho \(\vec{a} = (a_1; a_2)\) và \(\vec{b} = (b_1; b_2)\), ta có:

\[\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1; a_2 + b_2)\]

Trong không gian Oxyz:

Cho \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\) và \(\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)\), ta có:

\[\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1; a_2 + b_2; a_3 + b_3)\]

Nhận xét: Để cộng hai vecto theo tọa độ, ta cộng các thành phần tương ứng của chúng với nhau.

Các hệ thức vecto thường gặp

Dưới đây là các công thức quan trọng liên quan đến phép cộng vecto cần ghi nhớ.

Vecto chỉ trung điểm:

Nếu \(I\) là trung điểm của đoạn \(AB\) thì với mọi điểm \(M\):

\[\vec{MA} + \vec{MB} = 2\vec{MI}\]

Vecto chỉ trọng tâm:

Nếu \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì với mọi điểm \(M\):

\[\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = 3\vec{MG}\]

Hệ quả:

\[\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}\]

Ví dụ minh họa phép cộng vecto

Áp dụng lý thuyết trên, chúng ta cùng giải một số ví dụ cụ thể về cộng vecto.

Ví dụ 1 (Quy tắc ba điểm)

Đề bài: Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng: \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}\).

Lời giải:

Áp dụng quy tắc ba điểm:

\[\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\]

Do đó:

\[\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{AC} + \vec{CA}\]

Mà \(\vec{CA} = -\vec{AC}\), nên:

\[\vec{AC} + \vec{CA} = \vec{AC} + (-\vec{AC}) = \vec{0}\]

Kết luận: \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}\) (đpcm).

Ví dụ 2 (Cộng vecto theo tọa độ)

Đề bài: Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho \(\vec{a} = (3; -2)\), \(\vec{b} = (-1; 5)\). Tính \(\vec{a} + \vec{b}\) và \(|\vec{a} + \vec{b}|\).

Lời giải:

Bước 1: Tính tổng hai vecto:

\[\vec{a} + \vec{b} = (3 + (-1); -2 + 5) = (2; 3)\]

Bước 2: Tính độ dài vecto tổng:

\[|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\]

Kết luận: \(\vec{a} + \vec{b} = (2; 3)\) và \(|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{13}\).

Ví dụ 3 (Quy tắc hình bình hành)

Đề bài: Cho hình bình hành \(ABCD\) với \(A(1; 2)\), \(B(4; 3)\), \(C(5; 6)\). Tìm tọa độ điểm \(D\).

Lời giải:

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên:

\[\vec{AB} = \vec{DC}\]

Ta có:

\[\vec{AB} = (4 – 1; 3 – 2) = (3; 1)\]

Gọi \(D(x; y)\), ta có:

\[\vec{DC} = (5 – x; 6 – y)\]

Từ \(\vec{AB} = \vec{DC}\):

\[\begin{cases} 5 – x = 3 \\ 6 – y = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 2 \\ y = 5 \end{cases}\]

Kết luận: \(D(2; 5)\).

Ví dụ 4 (Trọng tâm tam giác)

Đề bài: Cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G\). Chứng minh với mọi điểm \(M\): \(\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = 3\vec{MG}\).

Lời giải:

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:

\[\vec{MA} = \vec{MG} + \vec{GA}\]
\[\vec{MB} = \vec{MG} + \vec{GB}\]
\[\vec{MC} = \vec{MG} + \vec{GC}\]

Cộng vecto ba đẳng thức trên:

\[\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = 3\vec{MG} + (\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC})\]

Vì \(G\) là trọng tâm nên \(\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}\).

Kết luận: \(\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = 3\vec{MG}\) (đpcm).

Bài tập tự luyện có đáp án

Để củng cố kiến thức về phép cộng vecto, các bạn hãy thử sức với các bài tập sau.

Bài 1: Cho \(\vec{a} = (2; -3)\), \(\vec{b} = (-4; 1)\). Tính \(\vec{a} + \vec{b}\).

Đáp án: \(\vec{a} + \vec{b} = (-2; -2)\)

Bài 2: Cho \(\vec{u} = (1; 2; 3)\), \(\vec{v} = (4; -1; 2)\). Tính \(\vec{u} + \vec{v}\) và \(|\vec{u} + \vec{v}|\).

Đáp án: \(\vec{u} + \vec{v} = (5; 1; 5)\), \(|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{51}\)

Bài 3: Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(AC\). Chứng minh: \(\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{BC}\).

Hướng dẫn: Sử dụng quy tắc ba điểm và tính chất trung điểm.

Bài 4: Cho hình bình hành \(ABCD\). Chứng minh: \(\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} + \vec{CD} = \vec{0}\).

Hướng dẫn: Sử dụng tính chất hình bình hành và vecto đối.

Bài 5: Cho \(A(1; 3)\), \(B(4; 7)\), \(C(-2; 5)\). Tìm tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\).

Đáp án: \(G(1; 5)\)

Kết luận

Qua bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu chi tiết về phép cộng vecto bao gồm định nghĩa, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và công thức cộng vecto theo tọa độ. Đây là kiến thức nền tảng quan trọng trong chương trình Toán học, được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán hình học và vật lý. Các bạn cần nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên để thành thạo kỹ năng giải toán về cộng vecto.