Tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng: Cách tìm và bài tập

Tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng là một dạng toán quan trọng trong chương trình Hình học giải tích không gian lớp 12. Bài viết dưới đây sẽ cung cấp đầy đủ công thức, phương pháp giải cùng các bài tập minh họa chi tiết giúp bạn nắm vững cách tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng.

Hình chiếu của điểm lên mặt phẳng là gì?

Trước khi tìm hiểu công thức, chúng ta cần nắm rõ khái niệm và tính chất của hình chiếu vuông góc.

Định nghĩa

Hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P) là giao điểm H của đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P).

Nói cách khác, H là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho \(MH \perp (P)\).

Tính chất quan trọng

• Điểm H là điểm thuộc (P) gần điểm M nhất
• Khoảng cách từ M đến (P) chính là độ dài đoạn MH: \(d(M, (P)) = MH\)
• Đường thẳng MH có vectơ chỉ phương trùng với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
• Nếu M thuộc (P) thì hình chiếu của M chính là M

Công thức tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng

Có hai phương pháp chính để tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng trong hệ tọa độ Oxyz.

Phương pháp 1: Viết phương trình đường thẳng vuông góc

Cho điểm \(M(x_0; y_0; z_0)\) và mặt phẳng \((P): Ax + By + Cz + D = 0\).

Các bước thực hiện:

1. Xác định vectơ pháp tuyến của (P): \(\vec{n} = (A; B; C)\)
2. Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với (P):

   \[\frac{x – x_0}{A} = \frac{y – y_0}{B} = \frac{z – z_0}{C} = t\]

3. Từ đó suy ra tọa độ điểm trên d: \(\begin{cases} x = x_0 + At \\ y = y_0 + Bt \\ z = z_0 + Ct \end{cases}\)
4. Thay vào phương trình (P) để tìm t, từ đó suy ra tọa độ H

Phương pháp 2: Công thức tọa độ trực tiếp

Cho điểm \(M(x_0; y_0; z_0)\) và mặt phẳng \((P): Ax + By + Cz + D = 0\).

Tọa độ hình chiếu H của M lên (P):

\[ H\left(x_0 – \frac{Ak}{A^2+B^2+C^2}; y_0 – \frac{Bk}{A^2+B^2+C^2}; z_0 – \frac{Ck}{A^2+B^2+C^2}\right) \]

Trong đó: \(k = Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D\)

Công thức rút gọn:

Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm \(M(x_0; y_0; z_0)\) đến mặt phẳng \((P): Ax + By + Cz + D = 0\):

\[ d(M, (P)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

Các bước tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng

Để tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng một cách chính xác, bạn có thể làm theo quy trình sau:

Quy trình tổng quát (Phương pháp 1)

1. Bước 1: Xác định tọa độ điểm M và phương trình mặt phẳng (P)
2. Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (A; B; C)\) của (P)
3. Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d qua M, vuông góc với (P)
4. Bước 4: Tìm giao điểm H của d và (P)
5. Bước 5: Kết luận tọa độ hình chiếu H

Quy trình nhanh (Phương pháp 2)

1. Bước 1: Tính \(k = Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D\)
2. Bước 2: Tính \(S = A^2 + B^2 + C^2\)
3. Bước 3: Áp dụng công thức: \(H\left(x_0 – \frac{Ak}{S}; y_0 – \frac{Bk}{S}; z_0 – \frac{Ck}{S}\right)\)

Lưu ý quan trọng

• Nếu \(k = 0\) thì điểm M thuộc mặt phẳng (P), khi đó H trùng với M
• Luôn kiểm tra lại bằng cách thay tọa độ H vào phương trình (P)
• Có thể kiểm tra \(\vec{MH}\) có cùng phương với \(\vec{n}\) hay không

Ví dụ minh họa và bài tập có lời giải chi tiết

Sau đây là các bài tập áp dụng cách tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng từ cơ bản đến nâng cao.

Ví dụ 1: Bài toán cơ bản (Phương pháp đường thẳng)

Đề bài: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm \(M(1; 2; 3)\) lên mặt phẳng \((P): x + y + z – 3 = 0\).

Lời giải:

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của (P)

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (1; 1; 1)\)

Bước 2: Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với (P)

Đường thẳng d đi qua \(M(1; 2; 3)\), có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = \vec{n} = (1; 1; 1)\):

\[ d: \frac{x – 1}{1} = \frac{y – 2}{1} = \frac{z – 3}{1} = t \]

Suy ra: \(\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 + t \end{cases}\)

Bước 3: Tìm giao điểm H của d và (P)

Thay vào phương trình (P):

\[ (1 + t) + (2 + t) + (3 + t) – 3 = 0 \]

\[ 3 + 3t = 0 \Rightarrow t = -1 \]

Bước 4: Tính tọa độ H

\[ H(1 + (-1); 2 + (-1); 3 + (-1)) = H(0; 1; 2) \]

Vậy hình chiếu của M lên (P) là \(H(0; 1; 2)\).

Ví dụ 2: Sử dụng công thức trực tiếp

Đề bài: Tìm hình chiếu của điểm \(A(3; 1; -1)\) lên mặt phẳng \((P): 2x – y + 2z – 4 = 0\).

Lời giải:

Bước 1: Xác định các hệ số

\(A = 2\), \(B = -1\), \(C = 2\), \(D = -4\)

Điểm \(A(x_0; y_0; z_0) = (3; 1; -1)\)

Bước 2: Tính k

\[ k = Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D = 2(3) + (-1)(1) + 2(-1) + (-4) = 6 – 1 – 2 – 4 = -1 \]

Bước 3: Tính \(S = A^2 + B^2 + C^2\)

\[ S = 2^2 + (-1)^2 + 2^2 = 4 + 1 + 4 = 9 \]

Bước 4: Tính tọa độ hình chiếu H

\[ x_H = x_0 – \frac{Ak}{S} = 3 – \frac{2 \cdot (-1)}{9} = 3 + \frac{2}{9} = \frac{29}{9} \]

\[ y_H = y_0 – \frac{Bk}{S} = 1 – \frac{(-1) \cdot (-1)}{9} = 1 – \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \]

\[ z_H = z_0 – \frac{Ck}{S} = -1 – \frac{2 \cdot (-1)}{9} = -1 + \frac{2}{9} = -\frac{7}{9} \]

Vậy hình chiếu của A lên (P) là \(H\left(\frac{29}{9}; \frac{8}{9}; -\frac{7}{9}\right)\).

Ví dụ 3: Tìm hình chiếu lên mặt phẳng tọa độ

Đề bài: Tìm hình chiếu của điểm \(M(2; -3; 5)\) lên mặt phẳng (Oxy).

Lời giải:

Mặt phẳng (Oxy) có phương trình: \(z = 0\)

Hình chiếu của điểm \(M(x_0; y_0; z_0)\) lên mặt phẳng (Oxy) là điểm \(H(x_0; y_0; 0)\).

Vậy hình chiếu của M(2; -3; 5) lên (Oxy) là H(2; -3; 0).

Công thức hình chiếu lên các mặt phẳng tọa độ:

Ví dụ 4: Bài toán tổng hợp

Đề bài: Cho điểm \(A(1; 0; 2)\) và mặt phẳng \((P): x – 2y + 2z + 1 = 0\). Tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng và tính khoảng cách từ A đến (P).

Lời giải:

Phần 1: Tìm hình chiếu H

Tính \(k = 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + 2 \cdot 2 + 1 = 1 + 0 + 4 + 1 = 6\)

Tính \(S = 1^2 + (-2)^2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9\)

Tọa độ hình chiếu:

\[ x_H = 1 – \frac{1 \cdot 6}{9} = 1 – \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \]

\[ y_H = 0 – \frac{(-2) \cdot 6}{9} = 0 + \frac{4}{3} = \frac{4}{3} \]

\[ z_H = 2 – \frac{2 \cdot 6}{9} = 2 – \frac{4}{3} = \frac{2}{3} \]

Vậy \(H\left(\frac{1}{3}; \frac{4}{3}; \frac{2}{3}\right)\)

Phần 2: Tính khoảng cách

\[ d(A, (P)) = \frac{|k|}{\sqrt{S}} = \frac{|6|}{\sqrt{9}} = \frac{6}{3} = 2 \]

Vậy hình chiếu của A lên (P) là \(H\left(\frac{1}{3}; \frac{4}{3}; \frac{2}{3}\right)\) và khoảng cách từ A đến (P) bằng 2.

Ví dụ 5: Tìm điểm đối xứng qua mặt phẳng

Đề bài: Tìm điểm \(M’\) đối xứng với điểm \(M(1; 2; -1)\) qua mặt phẳng \((P): x + y – z – 1 = 0\).

Lời giải:

Bước 1: Tìm hình chiếu H của M lên (P)

Tính \(k = 1 + 2 – (-1) – 1 = 3\)

Tính \(S = 1^2 + 1^2 + (-1)^2 = 3\)

\[ x_H = 1 – \frac{1 \cdot 3}{3} = 0; \quad y_H = 2 – \frac{1 \cdot 3}{3} = 1; \quad z_H = -1 – \frac{(-1) \cdot 3}{3} = 0 \]

Vậy \(H(0; 1; 0)\)

Bước 2: Tìm điểm đối xứng M’

Vì H là trung điểm của MM’ nên:

\[ M’ = 2H – M = (2 \cdot 0 – 1; 2 \cdot 1 – 2; 2 \cdot 0 – (-1)) = (-1; 0; 1) \]

Vậy điểm đối xứng của M qua (P) là \(M'(-1; 0; 1)\).

Bài tập tự luyện

Kết luận

Qua bài viết trên, chúng ta đã tìm hiểu chi tiết cách tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng trong hệ tọa độ Oxyz. Để làm tốt dạng toán này, bạn cần:

• Nắm vững công thức tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng: \(H\left(x_0 – \frac{Ak}{S}; y_0 – \frac{Bk}{S}; z_0 – \frac{Ck}{S}\right)\)
• Hiểu rõ mối quan hệ giữa vectơ pháp tuyến và đường vuông góc với mặt phẳng
• Biết cách kiểm tra kết quả sau khi tính toán
• Luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài tập khác nhau

Hy vọng bài viết đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng. Chúc bạn học tập tốt!