Hàm đa thức là gì? Khái niệm, cách tính đa thức và bài tập chi tiết

Hàm đa thức là một trong những loại hàm số cơ bản và quan trọng nhất trong Toán học, được ứng dụng rộng rãi từ chương trình phổ thông đến đại học và các lĩnh vực khoa học kỹ thuật. Hàm đa thức là hàm số có dạng P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀, trong đó aₙ ≠ 0 và n là số nguyên không âm gọi là bậc của đa thức. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn nắm vững định nghĩa, tính chất và các phương pháp làm việc với hàm đa thức.

1. Hàm đa thức là gì?

Trước khi tìm hiểu chi tiết về hàm đa thức, cần nắm vững các khái niệm cơ bản:

1.1. Định nghĩa

Hàm đa thức (polynomial function) là hàm số có dạng:

\[ P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_1x + a_0 \]

Hay viết gọn:

\[ P(x) = \sum_{k=0}^{n} a_kx^k \]

Trong đó:

• n: Số nguyên không âm, gọi là bậc của đa thức (degree)
• aₙ, aₙ₋₁, …, a₁, a₀: Các hệ số (thường là số thực hoặc phức)
• aₙ ≠ 0: Hệ số cao nhất (hệ số dẫn đầu)
• a₀: Hệ số tự do

1.2. Các thành phần của đa thức

Thành phần	Ký hiệu	Ví dụ với P(x) = 3x⁴ − 2x² + 5x − 7
Bậc	deg(P) hoặc n	4
Hệ số cao nhất	aₙ	3
Hệ số tự do	a₀	−7
Số hạng	aₖxᵏ	3x⁴, −2x², 5x, −7

1.3. Đa thức chính tắc (Monic polynomial)

Đa thức chính tắc là đa thức có hệ số cao nhất bằng 1.

\[ P(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_1x + a_0 \]

Ví dụ: x³ − 2x + 1 là đa thức chính tắc bậc 3

1.4. Tập xác định

Hàm đa thức luôn xác định trên toàn bộ tập số thực:

\[ D = \mathbb{R} \]

1.5. Ký hiệu

Ký hiệu	Ý nghĩa
P(x), Q(x), R(x)	Các đa thức
deg(P)	Bậc của đa thức P
ℝ[x]	Tập hợp các đa thức hệ số thực
ℂ[x]	Tập hợp các đa thức hệ số phức

2. Các dạng hàm đa thức cơ bản

Phân loại hàm đa thức theo bậc:

2.1. Đa thức bậc 0 (Hằng số)

\[ P(x) = a_0 \quad (a_0 \neq 0) \]

Đặc điểm:

• Đồ thị là đường thẳng nằm ngang
• Không có nghiệm (nếu a₀ ≠ 0)

Ví dụ: P(x) = 5

2.2. Đa thức bậc 1 (Hàm bậc nhất)

\[ P(x) = ax + b \quad (a \neq 0) \]

Đặc điểm:

• Đồ thị là đường thẳng
• Có đúng 1 nghiệm: x = −b/a
• a > 0: đồng biến; a < 0: nghịch biến

Ví dụ: P(x) = 2x − 3

2.3. Đa thức bậc 2 (Hàm bậc hai)

\[ P(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0) \]

Đặc điểm:

• Đồ thị là parabol
• Có tối đa 2 nghiệm thực
• Biệt thức: Δ = b² − 4ac

Ví dụ: P(x) = x² − 5x + 6

2.4. Đa thức bậc 3 (Hàm bậc ba)

\[ P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \quad (a \neq 0) \]

Đặc điểm:

• Luôn có ít nhất 1 nghiệm thực
• Có thể có 1 hoặc 2 cực trị
• Đồ thị có dạng chữ S hoặc N

Ví dụ: P(x) = x³ − 3x² + 2

2.5. Đa thức bậc 4

\[ P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \quad (a \neq 0) \]

Dạng trùng phương: P(x) = ax⁴ + bx² + c

Ví dụ: P(x) = x⁴ − 2x² + 1

2.6. Đa thức bậc n tổng quát

\[ P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_1x + a_0 \]

2.7. Bảng tổng hợp

Bậc	Tên gọi	Dạng tổng quát	Số nghiệm tối đa
0	Hằng số	a₀	0
1	Tuyến tính	ax + b	1
2	Bậc hai	ax² + bx + c	2
3	Bậc ba	ax³ + bx² + cx + d	3
4	Bậc bốn	ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e	4
n	Bậc n	aₙxⁿ + … + a₀	n

3. Tính chất của hàm đa thức

Các tính chất quan trọng của hàm đa thức:

3.1. Tính liên tục

Hàm đa thức liên tục trên toàn bộ ℝ.

Với mọi x₀ ∈ ℝ:

\[ \lim_{x \to x_0} P(x) = P(x_0) \]

3.2. Tính khả vi

Hàm đa thức khả vi vô hạn lần trên ℝ.

Đạo hàm của đa thức bậc n là đa thức bậc (n−1).

3.3. Giới hạn tại vô cực

Cho P(x) = aₙxⁿ + … + a₀ với aₙ ≠ 0:

\[ \lim_{x \to +\infty} P(x) = \begin{cases} +\infty & \text{nếu } a_n > 0 \\ -\infty & \text{nếu } a_n < 0 \end{cases} \]

\[ \lim_{x \to -\infty} P(x) = \begin{cases} +\infty & \text{nếu } a_n > 0 \text{ và } n \text{ chẵn} \\ -\infty & \text{nếu } a_n > 0 \text{ và } n \text{ lẻ} \\ -\infty & \text{nếu } a_n < 0 \text{ và } n \text{ chẵn} \\ +\infty & \text{nếu } a_n < 0 \text{ và } n \text{ lẻ} \end{cases} \]

3.4. Tính chẵn lẻ

Loại	Điều kiện	Ví dụ
Hàm chẵn	Chỉ chứa lũy thừa bậc chẵn	x⁴ + 3x² + 1
Hàm lẻ	Chỉ chứa lũy thừa bậc lẻ	x³ − 2x
Không chẵn, không lẻ	Chứa cả hai loại	x³ + x² + 1

3.5. Định lý giá trị trung gian

Nếu P(a) và P(b) trái dấu thì tồn tại ít nhất một c ∈ (a; b) sao cho P(c) = 0.

3.6. Định lý về bậc

Cho P(x) và Q(x) là hai đa thức:

• \( \deg(P + Q) \leq \max(\deg P, \deg Q) \)
• \( \deg(P \cdot Q) = \deg P + \deg Q \)
• \( \deg(P \circ Q) = \deg P \times \deg Q \) (hợp hàm)

3.7. Định lý đồng nhất

Hai đa thức P(x) và Q(x) bằng nhau khi và chỉ khi các hệ số tương ứng bằng nhau.

\[ P(x) \equiv Q(x) \Leftrightarrow a_k = b_k \quad \forall k \]

4. Đạo hàm và nguyên hàm của hàm đa thức

Công thức tính đạo hàm và nguyên hàm của hàm đa thức:

4.1. Đạo hàm

Công thức:

\[ (x^n)’ = nx^{n-1} \]

Đạo hàm của đa thức:

\[ P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_1x + a_0 \]

\[ P'(x) = na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + … + a_1 \]

Ví dụ:

P(x) = 3x⁴ − 2x³ + 5x − 7

P'(x) = 12x³ − 6x² + 5

4.2. Đạo hàm cấp cao

\[ (x^n)^{(k)} = \frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k} \quad (k \leq n) \]

\[ (x^n)^{(k)} = 0 \quad (k > n) \]

Đặc biệt:

\[ (x^n)^{(n)} = n! \]

4.3. Bảng đạo hàm cấp cao

Hàm số	Đạo hàm cấp 1	Đạo hàm cấp 2	Đạo hàm cấp n
xⁿ	nxⁿ⁻¹	n(n−1)xⁿ⁻²	n!
x³	3x²	6x	6 (cấp 3)
x²	2x	2	0 (cấp ≥ 3)

4.4. Nguyên hàm

Công thức:

\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) \]

Nguyên hàm của đa thức:

\[ \int P(x) \, dx = \frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}x^n + … + \frac{a_1}{2}x^2 + a_0x + C \]

Ví dụ:

\[ \int (3x^2 – 2x + 1) \, dx = x^3 – x^2 + x + C \]

4.5. Tích phân xác định

\[ \int_a^b x^n \, dx = \frac{b^{n+1} – a^{n+1}}{n+1} \]

4.6. Công thức Taylor

Đa thức P(x) có thể viết dưới dạng Taylor tại x = a:

\[ P(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{P^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \]

5. Nghiệm của đa thức và định lý liên quan

Các định lý quan trọng về nghiệm của hàm đa thức:

5.1. Định nghĩa nghiệm

Nghiệm (hay không điểm) của đa thức P(x) là giá trị x₀ sao cho P(x₀) = 0.

5.2. Định lý cơ bản của Đại số

Mọi đa thức bậc n ≥ 1 có hệ số phức có đúng n nghiệm phức (kể cả nghiệm bội).

\[ P(x) = a_n(x – r_1)(x – r_2)…(x – r_n) \]

Trong đó r₁, r₂, …, rₙ là các nghiệm (có thể trùng nhau).

5.3. Định lý Viète

Cho P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₀ có n nghiệm x₁, x₂, …, xₙ:

\[ \sum_{i=1}^{n} x_i = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \]

\[ \sum_{i < j} x_ix_j = \frac{a_{n-2}}{a_n} \]

\[ x_1x_2…x_n = (-1)^n\frac{a_0}{a_n} \]

5.4. Định lý nghiệm hữu tỉ

Nếu đa thức P(x) = aₙxⁿ + … + a₀ có các hệ số nguyên và có nghiệm hữu tỉ p/q (p/q tối giản) thì:

• p là ước của a₀
• q là ước của aₙ

Ví dụ: P(x) = 2x³ − 3x² − 3x + 2

Ước của 2: ±1, ±2

Nghiệm hữu tỉ có thể: ±1, ±2, ±1/2

5.5. Nghiệm bội

x₀ là nghiệm bội k của P(x) nếu:

\[ P(x) = (x – x_0)^k \cdot Q(x) \text{ với } Q(x_0) \neq 0 \]

Điều kiện tương đương:

\[ P(x_0) = P'(x_0) = … = P^{(k-1)}(x_0) = 0 \text{ và } P^{(k)}(x_0) \neq 0 \]

5.6. Định lý nghiệm phức liên hợp

Nếu đa thức có hệ số thực và z = a + bi là nghiệm thì \( \bar{z} = a – bi \) cũng là nghiệm.

5.7. Bảng tổng hợp số nghiệm

Bậc n	Số nghiệm phức	Số nghiệm thực tối đa	Số nghiệm thực tối thiểu
1	1	1	1
2	2	2	0
3	3	3	1
4	4	4	0
n (lẻ)	n	n	1
n (chẵn)	n	n	0

6. Đồ thị hàm đa thức

Đặc điểm đồ thị của hàm đa thức:

6.1. Tính chất chung

• Đồ thị là đường cong liên tục, trơn
• Không có tiệm cận
• Số điểm cực trị tối đa: n − 1
• Số điểm uốn tối đa: n − 2
• Số giao điểm với Ox tối đa: n

6.2. Hành vi tại vô cực

aₙ	n chẵn	n lẻ
aₙ > 0	Đi lên hai phía	Trái xuống, phải lên
aₙ < 0	Đi xuống hai phía	Trái lên, phải xuống

6.3. Đồ thị theo bậc

Bậc 1: Đường thẳng

Bậc 2: Parabol (chữ U hoặc ∩)

Bậc 3: Hình chữ S hoặc N, có thể có 0, 1, hoặc 2 cực trị

Bậc 4 trùng phương: Hình chữ U, W, ∩, hoặc M

6.4. Điểm đặc biệt trên đồ thị

Điểm	Cách tìm
Giao Oy	(0; a₀)
Giao Ox	Giải P(x) = 0
Cực trị	P'(x) = 0
Điểm uốn	P”(x) = 0

6.5. Ví dụ đồ thị

Ví dụ: Phác họa đồ thị y = x³ − 3x

y’ = 3x² − 3 = 0 ⟹ x = ±1

y(−1) = 2 (cực đại), y(1) = −2 (cực tiểu)

y = 0 ⟹ x(x² − 3) = 0 ⟹ x ∈ {0, ±√3}

Đồ thị có dạng chữ S, đi qua gốc tọa độ.

7. Các phép toán trên đa thức

Các phép toán cơ bản với hàm đa thức:

7.1. Phép cộng

\[ (P + Q)(x) = \sum_{k=0}^{n} (a_k + b_k)x^k \]

Ví dụ:

(3x² + 2x − 1) + (x² − 5x + 4) = 4x² − 3x + 3

7.2. Phép trừ

\[ (P – Q)(x) = \sum_{k=0}^{n} (a_k – b_k)x^k \]

7.3. Phép nhân

\[ (P \cdot Q)(x) = \sum_{k=0}^{m+n} c_kx^k \]

Trong đó: \( c_k = \sum_{i+j=k} a_ib_j \)

Ví dụ:

(x + 2)(x² − x + 1) = x³ − x² + x + 2x² − 2x + 2 = x³ + x² − x + 2

7.4. Phép chia

Cho P(x) và Q(x) với deg(P) ≥ deg(Q), tồn tại duy nhất thương T(x) và dư R(x) sao cho:

\[ P(x) = Q(x) \cdot T(x) + R(x) \]

với deg(R) < deg(Q) hoặc R = 0.

7.5. Định lý Bézout

Dư trong phép chia P(x) cho (x − a) bằng P(a).

\[ P(x) = (x – a) \cdot T(x) + P(a) \]

Hệ quả: (x − a) | P(x) ⟺ P(a) = 0

7.6. Lược đồ Horner

Phương pháp tính nhanh giá trị P(a) và chia P(x) cho (x − a):

	aₙ	aₙ₋₁	…	a₁	a₀
a	↓	bₙ₋₁·a	…	b₁·a	b₀·a
	bₙ₋₁=aₙ	bₙ₋₂	…	b₀	R=P(a)

7.7. Ví dụ chia đa thức

Ví dụ: Chia P(x) = x³ − 2x² + 3x − 5 cho (x − 2)

Sơ đồ Horner:

	1	−2	3	−5
2	↓	2	0	6
	1	0	3	1

Thương: x² + 3, Dư: 1

P(x) = (x − 2)(x² + 3) + 1

8. Phân tích đa thức thành nhân tử

Các phương pháp phân tích hàm đa thức thành nhân tử:

8.1. Phương pháp đặt nhân tử chung

\[ ax^2 + bx = x(ax + b) \]

Ví dụ: 3x³ − 6x² + 9x = 3x(x² − 2x + 3)

8.2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức

Các hằng đẳng thức cơ bản:

• \( a^2 – b^2 = (a-b)(a+b) \)
• \( a^3 – b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \)
• \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \)
• \( a^n – b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + … + b^{n-1}) \)

8.3. Phương pháp nhẩm nghiệm

Bước 1: Tìm nghiệm x₀ của P(x)

Bước 2: P(x) = (x − x₀) · Q(x)

Bước 3: Tiếp tục phân tích Q(x)

Ví dụ: Phân tích x³ − 6x² + 11x − 6

Thử x = 1: 1 − 6 + 11 − 6 = 0 ✓

x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 1)(x² − 5x + 6) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)

8.4. Phương pháp hệ số bất định

Giả sử dạng phân tích rồi tìm hệ số.

Ví dụ: Phân tích x⁴ + 4

Giả sử x⁴ + 4 = (x² + ax + 2)(x² + bx + 2)

Khai triển và so sánh hệ số: a = 2, b = −2

x⁴ + 4 = (x² + 2x + 2)(x² − 2x + 2)

8.5. Phương pháp thêm bớt

Ví dụ: x⁴ + 4 = x⁴ + 4x² + 4 − 4x² = (x² + 2)² − (2x)² = (x² + 2x + 2)(x² − 2x + 2)

8.6. Bảng tổng hợp phương pháp

Phương pháp	Áp dụng khi
Nhân tử chung	Các hạng tử có thừa số chung
Hằng đẳng thức	Nhận dạng được dạng HĐT
Nhẩm nghiệm	Đa thức hệ số nguyên
Hệ số bất định	Biết dạng phân tích
Thêm bớt	Tạo HĐT hoặc nhân tử chung

9. Nội suy đa thức

Phương pháp xây dựng hàm đa thức từ dữ liệu:

9.1. Bài toán nội suy

Cho n + 1 điểm: (x₀, y₀), (x₁, y₁), …, (xₙ, yₙ) với các xᵢ đôi một khác nhau.

Tìm đa thức P(x) bậc ≤ n sao cho: P(xᵢ) = yᵢ với mọi i = 0, 1, …, n.

9.2. Định lý tồn tại và duy nhất

Tồn tại duy nhất đa thức bậc ≤ n thỏa mãn điều kiện trên.

9.3. Đa thức nội suy Lagrange

\[ P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \cdot L_i(x) \]

Trong đó:

\[ L_i(x) = \prod_{j \neq i} \frac{x – x_j}{x_i – x_j} \]

9.4. Ví dụ nội suy Lagrange

Ví dụ: Tìm đa thức đi qua 3 điểm: (0, 1), (1, 3), (2, 7)

\[ L_0(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(0-1)(0-2)} = \frac{(x-1)(x-2)}{2} \]

\[ L_1(x) = \frac{(x-0)(x-2)}{(1-0)(1-2)} = \frac{x(x-2)}{-1} = -x(x-2) \]

\[ L_2(x) = \frac{(x-0)(x-1)}{(2-0)(2-1)} = \frac{x(x-1)}{2} \]

\[ P(x) = 1 \cdot \frac{(x-1)(x-2)}{2} + 3 \cdot (-x(x-2)) + 7 \cdot \frac{x(x-1)}{2} \]

Rút gọn: P(x) = x² + x + 1

9.5. Đa thức nội suy Newton

\[ P(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + … \]

Trong đó aₖ là sai phân hữu hạn cấp k.

10. Ứng dụng của hàm đa thức

Hàm đa thức có nhiều ứng dụng quan trọng:

10.1. Trong Giải tích

• Xấp xỉ hàm số (khai triển Taylor)
• Tính tích phân và đạo hàm
• Giải phương trình vi phân

10.2. Trong Đại số

• Lý thuyết phương trình
• Lý thuyết nhóm, vành, trường
• Mã hóa và giải mã

10.3. Trong Khoa học máy tính

• Thuật toán mã hóa (RSA, ECC)
• Kiểm tra lỗi (CRC)
• Nội suy và xấp xỉ dữ liệu
• Đồ họa máy tính (đường cong Bézier)

10.4. Trong Vật lý và Kỹ thuật

• Mô hình hóa chuyển động
• Phân tích tín hiệu
• Thiết kế hệ thống điều khiển

10.5. Trong Kinh tế

• Mô hình chi phí, doanh thu
• Dự báo xu hướng
• Tối ưu hóa lợi nhuận

10.6. Khai triển Taylor

Nhiều hàm số có thể xấp xỉ bằng đa thức:

\[ e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + … \]

\[ \sin x \approx x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – … \]

\[ \cos x \approx 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – … \]

11. Ví dụ và bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Để nắm vững kiến thức về hàm đa thức, hãy làm các bài tập sau:

Bài tập 1: Xác định bậc và hệ số

Đề bài: Cho đa thức P(x) = 5x⁴ − 3x³ + 2x − 7. Xác định bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do.

Lời giải:

• Bậc: deg(P) = 4
• Hệ số cao nhất: a₄ = 5
• Hệ số tự do: a₀ = −7

Kết quả: Bậc 4, hệ số cao nhất 5, hệ số tự do −7

Bài tập 2: Tính giá trị đa thức bằng Horner

Đề bài: Tính P(3) với P(x) = 2x⁴ − x³ + 3x² − 5x + 1

Lời giải:

Sơ đồ Horner với x = 3:

	2	−1	3	−5	1
3	↓	6	15	54	147
	2	5	18	49	148

Kết quả: P(3) = 148

Bài tập 3: Tìm nghiệm hữu tỉ

Đề bài: Tìm tất cả nghiệm hữu tỉ của P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6

Lời giải:

Ước của 6: ±1, ±2, ±3, ±6

Ước của 1: ±1

Nghiệm hữu tỉ có thể: ±1, ±2, ±3, ±6

Thử:

• P(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0 ✓
• P(−2) = −8 − 8 + 10 + 6 = 0 ✓
• P(3) = 27 − 18 − 15 + 6 = 0 ✓

Phân tích: P(x) = (x − 1)(x + 2)(x − 3)

Kết quả: Nghiệm hữu tỉ: x ∈ {−2, 1, 3}

Bài tập 4: Phân tích thành nhân tử

Đề bài: Phân tích P(x) = x⁴ − 5x² + 4 thành nhân tử

Lời giải:

Đặt t = x², ta có: t² − 5t + 4 = (t − 1)(t − 4)

Thay lại: (x² − 1)(x² − 4) = (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2)

Kết quả: P(x) = (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2)

Bài tập 5: Chia đa thức

Đề bài: Chia P(x) = x⁴ + 2x³ − x − 2 cho Q(x) = x² + x − 2

Lời giải:

Q(x) = x² + x − 2 = (x + 2)(x − 1)

Thử P(−2) = 16 − 16 + 2 − 2 = 0 ✓

Thử P(1) = 1 + 2 − 1 − 2 = 0 ✓

Vậy Q(x) | P(x)

Chia P(x) cho (x − 1): P(x) = (x − 1)(x³ + 3x² + 3x + 2)

Chia tiếp cho (x + 2): = (x − 1)(x + 2)(x² + x + 1)

Kết quả: P(x) = Q(x)(x² + x + 1), dư = 0

Bài tập 6: Áp dụng định lý Viète

Đề bài: Cho phương trình x³ − 4x² + 5x − 2 = 0 có 3 nghiệm x₁, x₂, x₃. Tính x₁² + x₂² + x₃².

Lời giải:

Theo Viète:

• S₁ = x₁ + x₂ + x₃ = 4
• S₂ = x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ = 5
• S₃ = x₁x₂x₃ = 2

Ta có:

\[ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 – 2(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1) \]

\[ = S_1^2 – 2S_2 = 16 – 10 = 6 \]

Kết quả: x₁² + x₂² + x₃² = 6

Bài tập 7: Tìm đa thức biết nghiệm

Đề bài: Tìm đa thức bậc 3 chính tắc có các nghiệm là 1, 2, −3.

Lời giải:

P(x) = (x − 1)(x − 2)(x + 3)

= (x − 1)(x² + x − 6)

= x³ + x² − 6x − x² − x + 6

= x³ − 7x + 6

Kết quả: P(x) = x³ − 7x + 6

Bài tập 8: Nội suy Lagrange

Đề bài: Tìm đa thức bậc ≤ 2 đi qua 3 điểm: (1, 2), (2, 5), (3, 10)

Lời giải:

\[ L_0(x) = \frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)} = \frac{(x-2)(x-3)}{2} \]

\[ L_1(x) = \frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)} = -(x-1)(x-3) \]

\[ L_2(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)} = \frac{(x-1)(x-2)}{2} \]

\[ P(x) = 2 \cdot \frac{(x-2)(x-3)}{2} – 5(x-1)(x-3) + 10 \cdot \frac{(x-1)(x-2)}{2} \]

Tính toán:

= (x−2)(x−3) − 5(x−1)(x−3) + 5(x−1)(x−2)

= x² − 5x + 6 − 5(x² − 4x + 3) + 5(x² − 3x + 2)

= x² − 5x + 6 − 5x² + 20x − 15 + 5x² − 15x + 10

= x² + 1

Kiểm tra: P(1) = 2 ✓, P(2) = 5 ✓, P(3) = 10 ✓

Kết quả: P(x) = x² + 1

Bài tập 9: Tìm nghiệm bội

Đề bài: Xác định bội của nghiệm x = 1 trong P(x) = x⁴ − 4x³ + 6x² − 4x + 1

Lời giải:

P(x) = x⁴ − 4x³ + 6x² − 4x + 1

P'(x) = 4x³ − 12x² + 12x − 4

P”(x) = 12x² − 24x + 12

P”'(x) = 24x − 24

P⁽⁴⁾(x) = 24

Tại x = 1:

• P(1) = 1 − 4 + 6 − 4 + 1 = 0 ✓
• P'(1) = 4 − 12 + 12 − 4 = 0 ✓
• P”(1) = 12 − 24 + 12 = 0 ✓
• P”'(1) = 24 − 24 = 0 ✓
• P⁽⁴⁾(1) = 24 ≠ 0

Vậy x = 1 là nghiệm bội 4.

Kiểm tra: P(x) = (x − 1)⁴ ✓

Kết quả: x = 1 là nghiệm bội 4

Bài tập 10: Tính đạo hàm

Đề bài: Tính P⁽³⁾(x) của P(x) = x⁵ − 3x⁴ + 2x³ − x + 5

Lời giải:

P'(x) = 5x⁴ − 12x³ + 6x² − 1

P”(x) = 20x³ − 36x² + 12x

P”'(x) = 60x² − 72x + 12

Kết quả: P⁽³⁾(x) = 60x² − 72x + 12

Bài tập 11: Chia đa thức có dư

Đề bài: Tìm dư khi chia P(x) = x¹⁰⁰ + x⁵⁰ + 1 cho Q(x) = x² − 1

Lời giải:

Đặt R(x) = ax + b (dư bậc < 2)

P(x) = (x² − 1) · T(x) + ax + b

Tại x = 1:

P(1) = 1 + 1 + 1 = 3 = a + b

Tại x = −1:

P(−1) = 1 + 1 + 1 = 3 = −a + b

Giải hệ: a + b = 3 và −a + b = 3

⟹ a = 0, b = 3

Kết quả: Dư R(x) = 3

Bài tập 12: Chứng minh chia hết

Đề bài: Chứng minh (x + 1)ⁿ − xⁿ − 1 chia hết cho x(x + 1) với mọi n ∈ ℕ*

Lời giải:

Đặt P(x) = (x + 1)ⁿ − xⁿ − 1

Cần chứng minh P(x) ⋮ x và P(x) ⋮ (x + 1)

Kiểm tra P(0):

P(0) = 1ⁿ − 0 − 1 = 0 ✓

⟹ P(x) ⋮ x

Kiểm tra P(−1):

P(−1) = 0ⁿ − (−1)ⁿ − 1 = 0 − (−1)ⁿ − 1

Nếu n chẵn: P(−1) = −1 − 1 = −2 ≠ 0

Sửa lại: Đề cần điều kiện n lẻ hoặc xét riêng.

Với n lẻ: P(−1) = 0 − (−1) − 1 = 0 ✓

Kết quả: Với n lẻ, P(x) chia hết cho x(x + 1)

12. Kết luận

Qua bài viết trên, VJOL đã giúp bạn hiểu rõ về hàm đa thức cùng các kiến thức quan trọng liên quan. Tóm tắt những điểm cần nhớ:

• Định nghĩa: P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ (aₙ ≠ 0)
• Bậc: Lũy thừa cao nhất của x có hệ số khác 0
• Tập xác định: D = ℝ (xác định với mọi x thực)
• Đạo hàm: (xⁿ)’ = nxⁿ⁻¹
• Nguyên hàm: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C
• Định lý cơ bản: Đa thức bậc n có đúng n nghiệm phức
• Định lý Viète: Quan hệ giữa nghiệm và hệ số
• Định lý Bézout: Dư chia P(x) cho (x−a) bằng P(a)
• Phân tích nhân tử: Nhẩm nghiệm, hằng đẳng thức, hệ số bất định
• Nội suy Lagrange: Tìm đa thức đi qua n+1 điểm
• Đồ thị: Liên tục, số cực trị ≤ n−1, số giao Ox ≤ n

Hy vọng bài viết đã giúp bạn nắm vững kiến thức về hàm đa thức và có thể áp dụng vào giải toán hiệu quả!