Số đường chéo của đa giác: Công thức tính, cách tính và bài tập

Số đường chéo của đa giác là kiến thức hình học cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán phổ thông. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn nắm vững công thức tính số đường chéo, cách chứng minh công thức và các bài tập minh họa chi tiết, dễ hiểu.

Đường chéo của đa giác là gì?

Trước khi tìm hiểu số đường chéo của đa giác, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm đường chéo.

Đường chéo của đa giác là đoạn thẳng nối hai đỉnh không liên tiếp của đa giác đó.

Một số đặc điểm quan trọng của đường chéo đa giác:

• Đường chéo nằm hoàn toàn bên trong đa giác (với đa giác lồi)
• Đường chéo không phải là cạnh của đa giác
• Hai đỉnh kề nhau không tạo thành đường chéo
• Đa giác có ít nhất 4 đỉnh mới có đường chéo (tam giác không có đường chéo)

Công thức tính số đường chéo của đa giác

Để xác định số đường chéo của đa giác có n đỉnh, ta áp dụng công thức sau:

Công thức tính số đường chéo của đa giác n đỉnh:

\[D = \frac{n(n-3)}{2}\]

Trong đó:

• \(D\): Số đường chéo của đa giác
• \(n\): Số đỉnh (hoặc số cạnh) của đa giác, với \(n \geq 3\)

Lưu ý quan trọng:

• Công thức này áp dụng cho mọi đa giác có n đỉnh (cả đa giác đều và không đều)
• Với tam giác (n = 3): \(D = \frac{3(3-3)}{2} = 0\) (không có đường chéo)
• Với tứ giác (n = 4): \(D = \frac{4(4-3)}{2} = 2\) đường chéo

Bảng số đường chéo của các đa giác thường gặp

Dưới đây là bảng tổng hợp số đường chéo của đa giác từ tam giác đến đa giác 12 cạnh, giúp bạn tra cứu nhanh.

Cách chứng minh công thức tính số đường chéo

Để hiểu sâu hơn về công thức tính số đường chéo, ta cùng xem cách chứng minh sau.

Phương pháp chứng minh

Bước 1: Xét đa giác có n đỉnh.

Bước 2: Từ mỗi đỉnh, ta có thể nối với (n – 1) đỉnh còn lại.

Bước 3: Tuy nhiên, trong (n – 1) đỉnh đó:

• 2 đỉnh kề với đỉnh đang xét (tạo thành cạnh, không phải đường chéo)
• Còn lại (n – 3) đỉnh tạo thành đường chéo

Bước 4: Vậy từ mỗi đỉnh kẻ được (n – 3) đường chéo.

Bước 5: Với n đỉnh, tổng số đường chéo kẻ được là: \(n \times (n – 3)\)

Bước 6: Vì mỗi đường chéo được tính 2 lần (từ 2 đầu mút), nên:

\[D = \frac{n(n-3)}{2}\]

Công thức liên quan

Ngoài cách tính số đường chéo, ta còn có một số công thức liên quan:

Số đường chéo xuất phát từ một đỉnh:

\[d = n – 3\]

Tổng số đoạn thẳng nối hai đỉnh bất kỳ:

\[C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}\]

Mối quan hệ:

\[\text{Số đường chéo} = \text{Tổng đoạn thẳng} – \text{Số cạnh} = \frac{n(n-1)}{2} – n = \frac{n(n-3)}{2}\]

Ví dụ minh họa chi tiết

Dưới đây là các ví dụ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách tính số đường chéo của đa giác.

Ví dụ 1: Tính số đường chéo của lục giác đều

Đề bài: Tính số đường chéo của lục giác đều.

Lời giải:

Lục giác đều có n = 6 đỉnh.

Áp dụng công thức tính số đường chéo:

\[D = \frac{n(n-3)}{2} = \frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \times 3}{2} = \frac{18}{2} = 9\]

Vậy lục giác đều có 9 đường chéo.

Ví dụ 2: Tìm số cạnh của đa giác

Đề bài: Một đa giác có 35 đường chéo. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?

Lời giải:

Gọi n là số cạnh của đa giác.

Theo đề bài, số đường chéo D = 35.

Áp dụng công thức:

\[\frac{n(n-3)}{2} = 35\]

\[n(n-3) = 70\]

\[n^2 – 3n – 70 = 0\]

Giải phương trình bậc hai:

\[n = \frac{3 + \sqrt{9 + 280}}{2} = \frac{3 + \sqrt{289}}{2} = \frac{3 + 17}{2} = 10\]

(Loại nghiệm âm vì n > 0)

Vậy đa giác có 10 cạnh (thập giác).

Ví dụ 3: So sánh số đường chéo

Đề bài: Số đường chéo của đa giác 20 cạnh nhiều hơn số đường chéo của đa giác 15 cạnh bao nhiêu?

Lời giải:

Số đường chéo của đa giác 20 cạnh:

\[D_{20} = \frac{20(20-3)}{2} = \frac{20 \times 17}{2} = 170\]

Số đường chéo của đa giác 15 cạnh:

\[D_{15} = \frac{15(15-3)}{2} = \frac{15 \times 12}{2} = 90\]

Hiệu số đường chéo:

\[D_{20} – D_{15} = 170 – 90 = 80\]

Vậy đa giác 20 cạnh có nhiều hơn 80 đường chéo so với đa giác 15 cạnh.

Bài tập vận dụng có lời giải

Hãy luyện tập với các bài tập sau để thành thạo cách tính số đường chéo của đa giác.

Bài tập 1

Đề bài: Tính số đường chéo của đa giác 14 cạnh.

Lời giải:

\[D = \frac{14(14-3)}{2} = \frac{14 \times 11}{2} = \frac{154}{2} = 77\]

Đáp số: 77 đường chéo

Bài tập 2

Đề bài: Đa giác có số đường chéo bằng số cạnh. Tìm số cạnh của đa giác.

Lời giải:

Gọi n là số cạnh của đa giác.

Theo đề bài: D = n

\[\frac{n(n-3)}{2} = n\]

\[n(n-3) = 2n\]

\[n^2 – 3n = 2n\]

\[n^2 – 5n = 0\]

\[n(n – 5) = 0\]

Suy ra n = 0 (loại) hoặc n = 5.

Đáp số: Đa giác có 5 cạnh (ngũ giác)

Bài tập 3

Đề bài: Từ một đỉnh của đa giác kẻ được 10 đường chéo. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu đường chéo?

Lời giải:

Số đường chéo từ một đỉnh: d = n – 3 = 10

Suy ra: n = 13

Tổng số đường chéo của đa giác:

\[D = \frac{13(13-3)}{2} = \frac{13 \times 10}{2} = 65\]

Đáp số: 65 đường chéo

Bài tập 4

Đề bài: Một đa giác có tổng số đường chéo và số cạnh là 464. Tìm số cạnh của đa giác.

Lời giải:

Gọi n là số cạnh của đa giác.

Ta có:

\[\frac{n(n-3)}{2} + n = 464\]

\[\frac{n(n-3) + 2n}{2} = 464\]

\[n^2 – 3n + 2n = 928\]

\[n^2 – n – 928 = 0\]

Giải phương trình:

\[n = \frac{1 + \sqrt{1 + 3712}}{2} = \frac{1 + \sqrt{3713}}{2} = \frac{1 + 61}{2} = 31\]

Đáp số: Đa giác có 31 cạnh

Kết luận

Qua bài viết trên, bạn đã nắm được cách tính số đường chéo của đa giác cùng các kiến thức liên quan. Tóm tắt các công thức quan trọng:

• Công thức tính số đường chéo: \(D = \frac{n(n-3)}{2}\)
• Số đường chéo từ một đỉnh: \(d = n – 3\)
• Tam giác không có đường chéo, tứ giác có 2 đường chéo

Hy vọng những kiến thức về số đường chéo của đa giác này sẽ giúp bạn học tốt môn Toán hình học. Hãy luyện tập thêm các bài tập để thành thạo cách áp dụng công thức!