Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác: Công thức, cách tính R

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình Toán hình học. Việc nắm vững các công thức tính bán kính R sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán về tam giác và đường tròn. Bài viết dưới đây trình bày đầy đủ định nghĩa, công thức và các bài tập minh họa chi tiết về chủ đề này.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác. Mỗi tam giác có duy nhất một đường tròn ngoại tiếp.

Đặc điểm quan trọng:

• Tâm đường tròn ngoại tiếp (thường ký hiệu là O) là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác.
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp (ký hiệu là R) là khoảng cách từ tâm O đến mỗi đỉnh của tam giác.
• Tâm O cách đều ba đỉnh A, B, C: OA = OB = OC = R.

Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Dưới đây là các công thức quan trọng để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với các cạnh a, b, c đối diện với các góc A, B, C.

Công thức 1: Theo cạnh và diện tích

Trong đó:

• a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác
• S là diện tích tam giác
• R là bán kính đường tròn ngoại tiếp

Lưu ý: Diện tích S có thể tính bằng công thức Heron:

\( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \)

với \( p = \frac{a+b+c}{2} \) là nửa chu vi tam giác.

Công thức 2: Theo định lý sin (cạnh và góc đối diện)

Từ đó suy ra:

• \( R = \frac{a}{2\sin A} \)
• \( R = \frac{b}{2\sin B} \)
• \( R = \frac{c}{2\sin C} \)

Công thức 3: Theo tọa độ các đỉnh

Cho tam giác ABC với \( A(x_1; y_1) \), \( B(x_2; y_2) \), \( C(x_3; y_3) \).

Bước 1: Tính độ dài các cạnh:

• \( a = BC = \sqrt{(x_3-x_2)^2 + (y_3-y_2)^2} \)
• \( b = AC = \sqrt{(x_3-x_1)^2 + (y_3-y_1)^2} \)
• \( c = AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \)

Bước 2: Tính diện tích tam giác:

\( S = \frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)| \)

Bước 3: Áp dụng công thức \( R = \frac{abc}{4S} \)

Cách tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Để xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, đôi khi ta cần tìm tâm O trước. Có hai phương pháp chính:

Phương pháp 1: Giao điểm hai đường trung trực

1. Viết phương trình đường trung trực của cạnh AB
2. Viết phương trình đường trung trực của cạnh BC (hoặc AC)
3. Tìm giao điểm của hai đường trung trực → Tâm O
4. Tính R = OA (hoặc OB, OC)

Phương pháp 2: Hệ phương trình từ điều kiện OA = OB = OC

Gọi tâm O(x; y), từ điều kiện OA = OB = OC, ta lập hệ phương trình để tìm x, y.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác đặc biệt

Với các tam giác đặc biệt, công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác được rút gọn đáng kể.

Tam giác vuông

Trong đó: c là cạnh huyền của tam giác vuông.

Giải thích: Trong tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền.

Tam giác đều

Trong đó: a là cạnh của tam giác đều.

Bảng tổng hợp công thức

Bài tập về bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác có lời giải chi tiết

Dưới đây là các bài tập giúp bạn củng cố kiến thức về bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Bài tập 1

Cho tam giác ABC có a = 5, b = 6, c = 7. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải:

Bước 1: Tính nửa chu vi:

\( p = \frac{5+6+7}{2} = 9 \)

Bước 2: Tính diện tích theo công thức Heron:

\( S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6} \)

Bước 3: Tính bán kính R:

\( R = \frac{abc}{4S} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{4 \cdot 6\sqrt{6}} = \frac{210}{24\sqrt{6}} = \frac{35}{4\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{24} \)

Vậy \( R = \frac{35\sqrt{6}}{24} \).

Bài tập 2

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, AC = 8. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Lời giải:

Bước 1: Tính cạnh huyền BC:

\( BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \)

Bước 2: Áp dụng công thức cho tam giác vuông:

\( R = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)

Vậy R = 5.

Bài tập 3

Cho tam giác ABC có \( a = 8 \) và \( \widehat{A} = 60° \). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Lời giải:

Áp dụng định lý sin:

\( R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{8}{2\sin 60°} = \frac{8}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \)

Vậy \( R = \frac{8\sqrt{3}}{3} \).

Bài tập 4

Cho tam giác đều ABC có cạnh a = 6. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Lời giải:

Áp dụng công thức cho tam giác đều:

\( R = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \)

Vậy \( R = 2\sqrt{3} \).

Bài tập 5

Cho tam giác ABC có các đỉnh A(1; 2), B(5; 2), C(3; 6). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải:

Bước 1: Tính độ dài các cạnh:

• \( AB = \sqrt{(5-1)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{16} = 4 \)
• \( BC = \sqrt{(3-5)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
• \( AC = \sqrt{(3-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)

Bước 2: Tính diện tích tam giác:

\( S = \frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)| \)

\( S = \frac{1}{2}|1(2-6) + 5(6-2) + 3(2-2)| \)

\( S = \frac{1}{2}|(-4) + 20 + 0| = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8 \)

Bước 3: Tính bán kính R:

\( R = \frac{abc}{4S} = \frac{4 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}}{4 \cdot 8} = \frac{4 \cdot 4 \cdot 5}{32} = \frac{80}{32} = \frac{5}{2} \)

Vậy \( R = \frac{5}{2} \).

Bài tập 6

Cho tam giác ABC có AB = 13, BC = 14, CA = 15. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải:

Bước 1: Tính nửa chu vi:

\( p = \frac{13+14+15}{2} = 21 \)

Bước 2: Tính diện tích theo công thức Heron:

\( S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} \)

\( S = \sqrt{7056} = 84 \)

Bước 3: Tính bán kính R:

\( R = \frac{abc}{4S} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = \frac{65}{8} \)

Vậy \( R = \frac{65}{8} \).

Kết luận

Qua bài viết trên, chúng ta đã tìm hiểu đầy đủ về bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, bao gồm các công thức tính theo cạnh và diện tích, theo định lý sin, cũng như công thức cho các tam giác đặc biệt như tam giác vuông và tam giác đều. Việc nắm vững những công thức này sẽ giúp bạn giải quyết hiệu quả các bài toán hình học liên quan đến đường tròn và tam giác. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo các dạng bài tập!