Công thức tính diện tích hình thang và bài thơ dễ nhớ nhất

Công thức tính diện tích hình thang là một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán tiểu học và THCS. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững công thức hình thang, cách tính hình thang cùng bài thơ dễ nhớ và các bài tập minh họa chi tiết.

1. Hình thang là gì?

Trước khi tìm hiểu công thức tính hình thang, ta cần nắm rõ khái niệm cơ bản.

1.1. Định nghĩa hình thang

Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. Hai cạnh song song gọi là hai đáy, hai cạnh còn lại gọi là hai cạnh bên.

1.2. Các yếu tố của hình thang

1.3. Phân loại hình thang

• Hình thang thường: Tứ giác có hai cạnh đối song song
• Hình thang vuông: Có một cạnh bên vuông góc với hai đáy
• Hình thang cân: Có hai cạnh bên bằng nhau

2. Công thức tính diện tích hình thang

Dưới đây là công thức diện tích hình thang chuẩn và đầy đủ nhất.

2.1. Công thức chính

Muốn tính diện tích hình thang, ta áp dụng công thức:

S = \(\frac{(a + b) \times h}{2}\)

Trong đó:

• S: Diện tích hình thang
• a: Độ dài đáy lớn
• b: Độ dài đáy nhỏ
• h: Chiều cao (khoảng cách giữa hai đáy)

2.2. Phát biểu bằng lời

Diện tích hình thang là gì? Diện tích hình thang bằng tổng hai đáy nhân với chiều cao rồi chia cho 2.

2.3. Chứng minh công thức tính diện tích hình thang

Cách 1: Ghép hai hình thang thành hình bình hành

1. Lấy hai hình thang bằng nhau
2. Ghép lại thành hình bình hành có đáy là (a + b) và chiều cao h
3. Diện tích hình bình hành = (a + b) × h
4. Diện tích hình thang = \(\frac{(a + b) \times h}{2}\)

Cách 2: Chia hình thang thành các hình đơn giản

1. Kẻ đường cao, chia hình thang thành 1 hình chữ nhật và 2 tam giác
2. Tính tổng diện tích các hình
3. Kết quả vẫn là: S = \(\frac{(a + b) \times h}{2}\)

3. Bài thơ tính diện tích hình thang

Để ghi nhớ công thức tính diện tích hình thang, các bạn có thể học thuộc bài thơ tính diện tích hình thang sau:

3.1. Bài thơ phổ biến nhất

3.2. Bài thơ ngắn gọn

3.3. Cách ghi nhớ nhanh

Quy tắc 3 bước:

1. Cộng: Đáy lớn + Đáy nhỏ
2. Nhân: Kết quả × Chiều cao
3. Chia: Chia cho 2

4. Các công thức liên quan đến hình thang

Ngoài công thức tính S hình thang, còn có các công thức suy ra:

4.1. Công thức tính chiều cao

Khi biết diện tích và hai đáy:

\(h = \frac{2S}{a + b}\)

4.2. Công thức tính tổng hai đáy

Khi biết diện tích và chiều cao:

\(a + b = \frac{2S}{h}\)

4.3. Bảng tổng hợp công thức hình thang

5. Công thức diện tích các loại hình thang đặc biệt

Cách tính hình thang với các trường hợp đặc biệt:

5.1. Diện tích hình thang vuông

Hình thang vuông có một cạnh bên vuông góc với hai đáy, khi đó cạnh bên đó chính là chiều cao.

\(S = \frac{(a + b) \times c}{2}\)

Trong đó c là cạnh bên vuông góc với đáy (chính là chiều cao h).

5.2. Diện tích hình thang cân

Hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau. Công thức diện tích vẫn là:

\(S = \frac{(a + b) \times h}{2}\)

Cách tính chiều cao hình thang cân:

Nếu biết cạnh bên c và hai đáy a, b:

\(h = \sqrt{c^2 – \left(\frac{a – b}{2}\right)^2}\)

6. Cách tính diện tích hình thang – Các dạng bài tập

Dưới đây là các dạng bài thường gặp khi áp dụng công thức tính diện tích hình thang:

Dạng 1: Tính diện tích khi biết đáy và chiều cao

Phương pháp: Áp dụng trực tiếp công thức diện tích hình thang.

Ví dụ: Hình thang có đáy lớn 10 cm, đáy nhỏ 6 cm, chiều cao 4 cm. Tính diện tích hình thang.

Giải:

\(S = \frac{(10 + 6) \times 4}{2} = \frac{16 \times 4}{2} = \frac{64}{2} = 32\) (cm²)

Dạng 2: Tìm chiều cao khi biết diện tích

Phương pháp: Sử dụng công thức \(h = \frac{2S}{a + b}\)

Ví dụ: Hình thang có diện tích 48 cm², đáy lớn 10 cm, đáy nhỏ 6 cm. Tìm chiều cao.

Giải:

\(h = \frac{2 \times 48}{10 + 6} = \frac{96}{16} = 6\) (cm)

Dạng 3: Tìm đáy khi biết diện tích

Phương pháp: Tìm tổng hai đáy trước, sau đó tìm đáy còn lại.

Ví dụ: Hình thang có diện tích 60 cm², chiều cao 8 cm, đáy nhỏ 5 cm. Tìm đáy lớn.

Giải:

Tổng hai đáy: \(a + b = \frac{2S}{h} = \frac{2 \times 60}{8} = 15\) (cm)

Đáy lớn: \(a = 15 – 5 = 10\) (cm)

7. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Vận dụng công thức tính diện tích hình thang để giải các bài tập sau:

Bài tập 1: Bài toán cơ bản

Đề bài: Một mảnh đất hình thang có đáy lớn 25 m, đáy nhỏ 15 m, chiều cao 12 m. Tính diện tích hình thang mảnh đất đó.

Lời giải:

Áp dụng công thức hình thang:

Diện tích mảnh đất hình thang là:

\(S = \frac{(25 + 15) \times 12}{2} = \frac{40 \times 12}{2} = \frac{480}{2} = 240\) (m²)

Đáp số: 240 m²

Bài tập 2: Tìm chiều cao

Đề bài: Một hình thang có diện tích 156 cm², đáy lớn 18 cm, đáy nhỏ 8 cm. Tìm chiều cao của hình thang.

Lời giải:

Từ công thức tính S hình thang, ta có:

\(S = \frac{(a + b) \times h}{2}\)

Suy ra: \(h = \frac{2S}{a + b}\)

Chiều cao của hình thang là:

\(h = \frac{2 \times 156}{18 + 8} = \frac{312}{26} = 12\) (cm)

Đáp số: 12 cm

Bài tập 3: Hình thang vuông

Đề bài: Hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB = 14 cm, đáy nhỏ CD = 8 cm, cạnh AD vuông góc với hai đáy và AD = 9 cm. Tính diện tích hình thang ABCD.

Lời giải:

Vì AD vuông góc với hai đáy nên AD chính là chiều cao: h = 9 cm

Áp dụng công thức diện tích hình thang:

\(S = \frac{(14 + 8) \times 9}{2} = \frac{22 \times 9}{2} = \frac{198}{2} = 99\) (cm²)

Đáp số: 99 cm²

Bài tập 4: Hình thang cân

Đề bài: Hình thang cân có đáy lớn 20 cm, đáy nhỏ 12 cm, cạnh bên 5 cm. Tính diện tích hình thang.

Lời giải:

Bước 1: Tính chiều cao

\(h = \sqrt{c^2 – \left(\frac{a – b}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 – \left(\frac{20 – 12}{2}\right)^2}\)

\(h = \sqrt{25 – 16} = \sqrt{9} = 3\) (cm)

Bước 2: Tính diện tích hình thang

\(S = \frac{(20 + 12) \times 3}{2} = \frac{32 \times 3}{2} = \frac{96}{2} = 48\) (cm²)

Đáp số: 48 cm²

Bài tập 5: Bài toán thực tế

Đề bài: Một thửa ruộng hình thang có đáy lớn 120 m, đáy nhỏ bằng \(\frac{2}{3}\) đáy lớn, chiều cao 45 m. Tính diện tích thửa ruộng theo đơn vị héc-ta.

Lời giải:

Bước 1: Tính đáy nhỏ

Đáy nhỏ: \(b = \frac{2}{3} \times 120 = 80\) (m)

Bước 2: Tính diện tích hình thang

\(S = \frac{(120 + 80) \times 45}{2} = \frac{200 \times 45}{2} = \frac{9000}{2} = 4500\) (m²)

Bước 3: Đổi đơn vị

\(S = 4500 \text{ m}^2 = 0,45 \text{ ha}\)

Đáp số: 4500 m² = 0,45 ha

8. Bài tập tự luyện

Vận dụng cách tính hình thang đã học, hãy giải các bài tập sau:

Bài 1: Hình thang có đáy lớn 16 cm, đáy nhỏ 10 cm, chiều cao 7 cm. Tính diện tích hình thang.

Bài 2: Hình thang có diện tích 180 cm², chiều cao 12 cm, đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ. Tìm độ dài mỗi đáy.

Bài 3: Hình thang vuông có đáy lớn 22 cm, đáy nhỏ 14 cm, cạnh bên vuông góc với đáy bằng 6 cm. Tính diện tích hình thang.

Bài 4: Một khu đất hình thang có tổng hai đáy là 56 m, chiều cao 18 m. Tính diện tích khu đất.

9. Kết luận

Công thức tính diện tích hình thang là kiến thức nền tảng quan trọng trong Toán học. Qua bài viết này, các bạn đã nắm được:

• Công thức hình thang: \(S = \frac{(a + b) \times h}{2}\)
• Bài thơ tính diện tích hình thang: “Muốn tính diện tích hình thang / Đáy lớn đáy nhỏ ta mang cộng vào / Rồi đem nhân với chiều cao / Chia đôi lấy nửa thế nào cũng ra”
• Cách tính hình thang trong các trường hợp đặc biệt: hình thang vuông, hình thang cân
• Các công thức suy ra để tìm chiều cao, tìm đáy khi biết diện tích

Hãy ghi nhớ công thức tính S hình thang và luyện tập thường xuyên để thành thạo cách tính diện tích hình thang trong các bài toán thực tế.