Bất đẳng thức Cauchy Schwarz: Công thức, chứng minh và bài tập
Bất đẳng thức Cauchy Schwarz là một trong những bất đẳng thức quan trọng nhất trong toán học, được ứng dụng rộng rãi trong đại số, giải tích và hình học. BĐT Cauchy Schwarz (hay còn gọi là bất đẳng thức Schwarz, Bunyakovsky) giúp giải quyết nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Bài viết này trình bày đầy đủ lý thuyết, chứng minh và bài tập có lời giải chi tiết.
1. Bất đẳng thức Cauchy Schwarz là gì?
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (còn được viết là Cosi Swat trong cách gọi thông dụng) phát biểu rằng: tích của tổng bình phương hai dãy số luôn lớn hơn hoặc bằng bình phương của tổng các tích tương ứng.
1.1. Lịch sử hình thành
Định lý Cauchy này được đặt theo tên của các nhà toán học:
- Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) – Nhà toán học Pháp, người đầu tiên công bố dạng rời rạc năm 1821
- Viktor Bunyakovsky (1804-1889) – Nhà toán học Nga, mở rộng sang dạng tích phân năm 1859
- Hermann Schwarz (1843-1921) – Nhà toán học Đức, chứng minh độc lập năm 1888
Vì vậy, bất đẳng thức này còn được gọi là Bunyakovsky hay BĐT Schwarz tùy theo ngữ cảnh sử dụng.
1.2. Phát biểu tổng quát
Cho hai dãy số thực \((a_1, a_2, …, a_n)\) và \((b_1, b_2, …, b_n)\). Khi đó:
\[ \left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \cdot \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) \]
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = … = \frac{a_n}{b_n}\) (với quy ước \(\frac{a_i}{0} = 0\) nếu \(a_i = 0\)).
2. Các dạng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
BĐT Cauchy có nhiều dạng khác nhau tùy theo ngữ cảnh áp dụng. Dưới đây là các dạng phổ biến nhất.
2.1. Dạng cơ bản (hai số)
Với n = 2, ta có dạng đơn giản nhất của bất đẳng thức Cauchy Schwarz:
\[ (a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) \]
Hay viết dưới dạng tương đương:
\[ |a_1 b_1 + a_2 b_2| \leq \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2} \]
2.2. Dạng tổng quát (n số)
| Dạng | Công thức |
|---|---|
| Dạng tích | \((a_1 b_1 + a_2 b_2 + … + a_n b_n)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2 + … + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + … + b_n^2)\) |
| Dạng sigma | \(\left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \cdot \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right)\) |
2.3. Dạng vecto
Cho hai vecto \(\vec{u} = (a_1, a_2, …, a_n)\) và \(\vec{v} = (b_1, b_2, …, b_n)\). Bất đẳng thức Schwarz dạng vecto:
\[ |\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \]
Hay: \[ |\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle| \leq \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \]
Đây chính là cơ sở để định nghĩa góc giữa hai vecto: \(\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}\)
2.4. Dạng tích phân (Bunyakovsky)
Với hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\) khả tích trên đoạn \([a, b]\), bất đẳng thức Bunyakovsky phát biểu:
\[ \left( \int_a^b f(x) g(x) dx \right)^2 \leq \int_a^b [f(x)]^2 dx \cdot \int_a^b [g(x)]^2 dx \]
Dấu “=” xảy ra khi \(f(x) = k \cdot g(x)\) với k là hằng số.
2.5. Dạng Engel (dạng phân thức)
Đây là dạng biến đổi rất hữu ích của BĐT Cauchy Schwarz:
\[ \frac{a_1^2}{b_1} + \frac{a_2^2}{b_2} + … + \frac{a_n^2}{b_n} \geq \frac{(a_1 + a_2 + … + a_n)^2}{b_1 + b_2 + … + b_n} \]
Với \(b_1, b_2, …, b_n > 0\). Viết gọn:
\[ \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i^2}{b_i} \geq \frac{\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2}{\sum_{i=1}^{n} b_i} \]
Dấu “=” xảy ra khi \(\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = … = \frac{a_n}{b_n}\).
3. Chứng minh bất đẳng thức Schwarz
Có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Dưới đây là các phương pháp phổ biến.
3.1. Chứng minh bằng tam thức bậc hai
Xét hàm số \(f(t) = \sum_{i=1}^{n} (a_i t – b_i)^2 \geq 0, \forall t \in \mathbb{R}\)
Khai triển:
\[ f(t) = \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) t^2 – 2\left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right) t + \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \geq 0 \]
Đặt: \(A = \sum a_i^2\), \(B = \sum a_i b_i\), \(C = \sum b_i^2\)
Ta có: \(At^2 – 2Bt + C \geq 0, \forall t\)
Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(\Delta’ = B^2 – AC \leq 0\)
Tức là: \(\left( \sum a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum a_i^2 \right) \left( \sum b_i^2 \right)\) (đpcm)
3.2. Chứng minh bằng quy nạp
Bước 1: Với n = 2, ta cần chứng minh:
\[ (a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) \]
Khai triển vế phải:
\[ VP = a_1^2 b_1^2 + a_1^2 b_2^2 + a_2^2 b_1^2 + a_2^2 b_2^2 \]
Khai triển vế trái:
\[ VT = a_1^2 b_1^2 + 2a_1 b_1 a_2 b_2 + a_2^2 b_2^2 \]
Hiệu:
\[ VP – VT = a_1^2 b_2^2 – 2a_1 b_1 a_2 b_2 + a_2^2 b_1^2 = (a_1 b_2 – a_2 b_1)^2 \geq 0 \]
Bước 2: Giả sử BĐT đúng với n, chứng minh đúng với n+1 (quy nạp).
3.3. Chứng minh dạng Engel từ Cauchy Schwarz
Áp dụng BĐT Cauchy với:
- \(a_i’ = \frac{a_i}{\sqrt{b_i}}\)
- \(b_i’ = \sqrt{b_i}\)
Ta có:
\[ \left( \sum \frac{a_i}{\sqrt{b_i}} \cdot \sqrt{b_i} \right)^2 \leq \left( \sum \frac{a_i^2}{b_i} \right) \left( \sum b_i \right) \]
\[ \Rightarrow (a_1 + a_2 + … + a_n)^2 \leq \left( \sum \frac{a_i^2}{b_i} \right) \left( \sum b_i \right) \]
\[ \Rightarrow \sum \frac{a_i^2}{b_i} \geq \frac{(a_1 + a_2 + … + a_n)^2}{b_1 + b_2 + … + b_n} \]
4. Bảng tổng hợp các dạng BĐT Cauchy Schwarz
| Tên gọi | Công thức | Điều kiện đẳng thức |
|---|---|---|
| Cauchy-Schwarz cơ bản | \(\left( \sum a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum a_i^2 \right) \left( \sum b_i^2 \right)\) | \(\frac{a_i}{b_i} = const\) |
| Dạng vecto | \(|\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq |\vec{u}| \cdot |\vec{v}|\) | \(\vec{u} \parallel \vec{v}\) |
| Engel (phân thức) | \(\sum \frac{a_i^2}{b_i} \geq \frac{(\sum a_i)^2}{\sum b_i}\) | \(\frac{a_i}{b_i} = const\) |
| Bunyakovsky (tích phân) | \(\left( \int f \cdot g \right)^2 \leq \int f^2 \cdot \int g^2\) | \(f = k \cdot g\) |
5. Phương pháp áp dụng BĐT Cauchy
Để sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz hiệu quả, cần nắm vững các kỹ thuật sau.
5.1. Kỹ thuật chọn bộ số
Khi áp dụng BĐT Cauchy Schwarz, việc chọn bộ số \((a_i)\) và \((b_i)\) phù hợp là quan trọng nhất:
- Nhận dạng: Tìm các số hạng có dạng \(a_i b_i\) hoặc \(\frac{a_i^2}{b_i}\)
- Mục tiêu: Chọn sao cho vế còn lại chứa các biểu thức đã biết hoặc dễ tính
- Đẳng thức: Xác định điều kiện \(\frac{a_i}{b_i} = const\) để tìm giá trị cực trị
5.2. Các dạng bài thường gặp
| Dạng bài | Phương pháp |
|---|---|
| Chứng minh BĐT có tổng bình phương | Dùng dạng cơ bản |
| Tìm GTNN của tổng phân thức | Dùng dạng Engel |
| Bài toán có điều kiện ràng buộc | Kết hợp với AM-GM hoặc biến đổi |
| Bài toán hình học vecto | Dùng dạng vecto |
5.3. Mẹo nhận dạng
Nên dùng BĐT Schwarz khi:
- Biểu thức có dạng \((a_1 b_1 + a_2 b_2 + …)^2\)
- Biểu thức có dạng \(\frac{x^2}{a} + \frac{y^2}{b} + …\)
- Bài toán yêu cầu tìm GTNN với điều kiện tổng không đổi
- Biểu thức liên quan đến tích vô hướng vecto
6. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết
Bài tập 1: Áp dụng trực tiếp BĐT Cauchy Schwarz
Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c, d:
\[ (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2 \]
Lời giải:
Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai bộ số \((a, b)\) và \((c, d)\):
\[ (ac + bd)^2 \leq (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \]
Đây chính là điều phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\) hay \(ad = bc\).
Vậy BĐT được chứng minh.
Bài tập 2: Dạng Engel – Tìm GTNN
Đề bài: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
\[ P = \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \]
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz dạng Engel:
\[ \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq \frac{(a + b + c)^2}{b + c + a} = \frac{(a + b + c)^2}{a + b + c} = a + b + c = 3 \]
Dấu “=” xảy ra khi \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}\), tức là \(a = b = c = 1\).
Vậy \(P_{min} = 3\) khi a = b = c = 1.
Bài tập 3: Chứng minh BĐT
Đề bài: Cho a, b, c > 0. Chứng minh:
\[ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2} \]
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy dạng Engel:
\[ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} = \frac{a^2}{a(b+c)} + \frac{b^2}{b(c+a)} + \frac{c^2}{c(a+b)} \]
\[ \geq \frac{(a + b + c)^2}{a(b+c) + b(c+a) + c(a+b)} \]
Mẫu số:
\[ a(b+c) + b(c+a) + c(a+b) = 2(ab + bc + ca) \]
Ta cần chứng minh:
\[ \frac{(a + b + c)^2}{2(ab + bc + ca)} \geq \frac{3}{2} \]
\[ \Leftrightarrow (a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca) \]
\[ \Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \geq 3(ab + bc + ca) \]
\[ \Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca \]
BĐT cuối đúng vì: \(2(a^2 + b^2 + c^2) – 2(ab + bc + ca) = (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \geq 0\)
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
Vậy BĐT được chứng minh.
Bài tập 4: Tìm GTLN
Đề bài: Cho \(x^2 + y^2 = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của \(P = 3x + 4y\).
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz:
\[ (3x + 4y)^2 \leq (3^2 + 4^2)(x^2 + y^2) = 25 \cdot 1 = 25 \]
\[ \Rightarrow |3x + 4y| \leq 5 \]
\[ \Rightarrow -5 \leq 3x + 4y \leq 5 \]
Dấu “=” xảy ra khi \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = k\), tức là \(x = 3k, y = 4k\).
Từ \(x^2 + y^2 = 1\): \(9k^2 + 16k^2 = 1 \Rightarrow k = \pm \frac{1}{5}\)
Với \(k = \frac{1}{5}\): \(x = \frac{3}{5}, y = \frac{4}{5}\) thì \(P_{max} = 5\).
Vậy \(P_{max} = 5\) khi \(x = \frac{3}{5}, y = \frac{4}{5}\).
Bài tập 5: Bài toán tổng hợp
Đề bài: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn \(a + b + c = 1\). Tìm GTNN của:
\[ S = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \]
Lời giải:
Cách 1: Dùng BĐT Cauchy Schwarz dạng Engel
\[ S = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1^2}{a} + \frac{1^2}{b} + \frac{1^2}{c} \geq \frac{(1+1+1)^2}{a+b+c} = \frac{9}{1} = 9 \]
Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\).
Cách 2: Dùng BĐT Cauchy-Schwarz trực tiếp
\[ (a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \geq \left(\sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} + \sqrt{b \cdot \frac{1}{b}} + \sqrt{c \cdot \frac{1}{c}}\right)^2 = 9 \]
\[ \Rightarrow S \geq \frac{9}{a+b+c} = 9 \]
Vậy \(S_{min} = 9\) khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\).
Bài tập 6: Bài tập tự luyện
Giải các bài tập sau:
- Cho a, b > 0 và \(a + b = 2\). Tìm GTNN của \(\frac{1}{a} + \frac{4}{b}\).
- Chứng minh: \((a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) \geq (ax + by + cz)^2\)
- Cho x, y, z > 0 và \(x + y + z = 1\). Tìm GTNN của \(\frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{z+x} + \frac{z^2}{x+y}\).
- Cho \(2x^2 + 3y^2 = 6\). Tìm GTLN của \(P = x + y\).
Đáp số:
- GTNN = \(\frac{9}{2}\) khi \(a = \frac{2}{3}, b = \frac{4}{3}\)
- Đúng với mọi số thực (BĐT Cauchy-Schwarz)
- GTNN = \(\frac{1}{2}\) khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\)
- GTLN = \(\sqrt{5}\) khi \(x = \frac{3}{\sqrt{5}}, y = \frac{2}{\sqrt{5}}\)
7. Kết luận
Bất đẳng thức Cauchy Schwarz là công cụ mạnh mẽ và linh hoạt trong toán học. Qua bài viết này, bạn đã nắm được:
- Định nghĩa và các dạng của BĐT Cauchy Schwarz: dạng cơ bản, vecto, Engel, Bunyakovsky
- Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức Schwarz
- Cách áp dụng BĐT Cauchy vào giải bài tập tìm GTLN, GTNN
- Kỹ thuật nhận dạng và chọn bộ số phù hợp
Hãy luyện tập thường xuyên với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để thành thạo công cụ quan trọng này. Chúc bạn học tốt!
Có thể bạn quan tâm
