Phương trình trùng phương là gì? Cách giải pt trùng phương chi tiết

Pt trùng phương là dạng phương trình bậc bốn đặc biệt chỉ chứa lũy thừa bậc chẵn của ẩn. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ phương trình trùng phương là gì, cách giải phương trình trùng phương bằng phương pháp đặt ẩn phụ cùng các ví dụ minh họa chi tiết, dễ hiểu nhất.

Phương trình trùng phương là gì?

Trước khi tìm hiểu cách giải pt trùng phương, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm cơ bản:

Định nghĩa: Phương trình trùng phương là phương trình bậc bốn có dạng:

\[ ax^4 + bx^2 + c = 0 \quad (a \neq 0) \]

Trong đó:

• \( a, b, c \) là các hệ số với \( a \neq 0 \)
• \( x \) là ẩn số
• Phương trình chỉ chứa \( x^4 \) và \( x^2 \), không chứa \( x^3 \) và \( x \)

Đặc điểm của phương trình trùng phương:

• Là phương trình bậc bốn đặc biệt
• Chỉ chứa các lũy thừa bậc chẵn của ẩn (bậc 4, bậc 2, bậc 0)
• Có thể đưa về phương trình bậc hai bằng phép đặt ẩn phụ
• Có tối đa 4 nghiệm thực

Tại sao gọi là “trùng phương”?

Tên gọi “trùng phương” xuất phát từ việc \( x^4 = (x^2)^2 \), tức là “bình phương của bình phương”. Điều này cho phép ta đặt \( t = x^2 \) để đưa về phương trình bậc hai.

Ví dụ về phương trình trùng phương:

Phương trình	Hệ số a	Hệ số b	Hệ số c
\( x^4 – 5x^2 + 4 = 0 \)	1	-5	4
\( 2x^4 + 3x^2 – 2 = 0 \)	2	3	-2
\( x^4 – 9 = 0 \)	1	0	-9
\( x^4 + 4x^2 = 0 \)	1	4	0

Vậy làm thế nào để giải phương trình trùng phương? Hãy cùng tìm hiểu phương pháp chi tiết ngay sau đây.

Cách giải phương trình trùng phương

Cách giải phương trình trùng phương sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai. Các bước thực hiện như sau:

Bước 1: Đặt ẩn phụ \( t = x^2 \) với điều kiện \( t \geq 0 \).

Bước 2: Thay vào phương trình, ta được phương trình bậc hai theo \( t \):

\[ at^2 + bt + c = 0 \]

Bước 3: Giải phương trình bậc hai tìm \( t \).

Bước 4: Với mỗi giá trị \( t \) tìm được:

• Nếu \( t < 0 \): Loại (vì \( t = x^2 \geq 0 \))
• Nếu \( t = 0 \): \( x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \)
• Nếu \( t > 0 \): \( x^2 = t \Rightarrow x = \pm\sqrt{t} \)

Bước 5: Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu.

Sơ đồ tóm tắt cách giải pt trùng phương:

Nghiệm t của PT bậc hai	Điều kiện	Nghiệm x	Số nghiệm x
\( t_1, t_2 \) đều dương	\( t_1 > 0, t_2 > 0 \)	\( x = \pm\sqrt{t_1}, \pm\sqrt{t_2} \)	4 nghiệm
Một dương, một bằng 0	\( t_1 > 0, t_2 = 0 \)	\( x = \pm\sqrt{t_1}, 0 \)	3 nghiệm
Một dương, một âm	\( t_1 > 0, t_2 < 0 \)	\( x = \pm\sqrt{t_1} \)	2 nghiệm
Cả hai bằng 0	\( t_1 = t_2 = 0 \)	\( x = 0 \)	1 nghiệm
Một bằng 0, một âm	\( t_1 = 0, t_2 < 0 \)	\( x = 0 \)	1 nghiệm
Cả hai âm	\( t_1 < 0, t_2 < 0 \)	Không có	Vô nghiệm
PT bậc hai vô nghiệm	\( \Delta < 0 \)	Không có	Vô nghiệm

Công thức nhanh xác định số nghiệm:

Xét phương trình \( at^2 + bt + c = 0 \) với \( t = x^2 \geq 0 \):

• 4 nghiệm: PT bậc hai có 2 nghiệm dương phân biệt
• 3 nghiệm: PT bậc hai có 1 nghiệm dương, 1 nghiệm bằng 0
• 2 nghiệm: PT bậc hai có 1 nghiệm dương (nghiệm còn lại âm hoặc là nghiệm kép dương)
• 1 nghiệm: PT bậc hai có nghiệm kép bằng 0, hoặc 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm
• Vô nghiệm: PT bậc hai vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm đều âm

Tiếp theo, hãy xem các dạng đặc biệt của pt trùng phương.

Các dạng đặc biệt của phương trình trùng phương

Trong quá trình giải pt trùng phương, bạn sẽ gặp một số dạng đặc biệt có thể giải nhanh hơn:

Dạng 1: Phương trình thiếu hệ số c (c = 0)

\[ ax^4 + bx^2 = 0 \]

Cách giải: Đặt \( x^2 \) làm nhân tử chung

\[ x^2(ax^2 + b) = 0 \]

Suy ra:

• \( x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \)
• \( ax^2 + b = 0 \Rightarrow x^2 = -\frac{b}{a} \)

Ví dụ: \( x^4 – 4x^2 = 0 \)

\[ x^2(x^2 – 4) = 0 \]

• \( x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \)
• \( x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \)

Nghiệm: \( x \in \{-2, 0, 2\} \)

Dạng 2: Phương trình thiếu hệ số b (b = 0)

\[ ax^4 + c = 0 \]

Cách giải:

\[ x^4 = -\frac{c}{a} \]

• Nếu \( -\frac{c}{a} < 0 \): Vô nghiệm
• Nếu \( -\frac{c}{a} = 0 \): \( x = 0 \)
• Nếu \( -\frac{c}{a} > 0 \): \( x = \pm\sqrt[4]{-\frac{c}{a}} \)

Ví dụ: \( x^4 – 16 = 0 \)

\[ x^4 = 16 \]

\[ x^2 = 4 \quad (\text{vì } x^2 \geq 0) \]

\[ x = \pm 2 \]

Dạng 3: Phương trình dạng tích

Một số phương trình trùng phương có thể phân tích thành tích:

\[ ax^4 + bx^2 + c = a(x^2 – t_1)(x^2 – t_2) \]

Ví dụ: \( x^4 – 5x^2 + 4 = 0 \)

Nhận thấy: \( 4 = 1 \times 4 \) và \( 1 + 4 = 5 \)

\[ (x^2 – 1)(x^2 – 4) = 0 \]

• \( x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \)
• \( x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \)

Nghiệm: \( x \in \{-2, -1, 1, 2\} \)

Dạng 4: Phương trình dạng hằng đẳng thức

\[ (x^2 + m)^2 = n \]

Ví dụ: \( x^4 + 2x^2 + 1 = 0 \)

\[ (x^2 + 1)^2 = 0 \]

\[ x^2 + 1 = 0 \]

\[ x^2 = -1 < 0 \]

Phương trình vô nghiệm trong \( \mathbb{R} \).

Hãy cùng xem các ví dụ chi tiết về giải phương trình trùng phương.

Ví dụ giải phương trình trùng phương chi tiết

Dưới đây là các ví dụ minh họa cách giải phương trình trùng phương từ cơ bản đến nâng cao:

Ví dụ 1: Phương trình có 4 nghiệm

Đề bài: Giải phương trình \( x^4 – 13x^2 + 36 = 0 \)

Lời giải:

Bước 1: Đặt \( t = x^2 \) với điều kiện \( t \geq 0 \)

Phương trình trở thành: \( t^2 – 13t + 36 = 0 \)

Bước 2: Giải phương trình bậc hai

\[ \Delta = 169 – 144 = 25 > 0 \]

\[ t_1 = \frac{13 + 5}{2} = 9, \quad t_2 = \frac{13 – 5}{2} = 4 \]

Bước 3: Tìm x

• \( t_1 = 9 > 0 \): \( x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 \)
• \( t_2 = 4 > 0 \): \( x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \)

Kết luận: Phương trình có 4 nghiệm: \( x \in \{-3, -2, 2, 3\} \)

Ví dụ 2: Phương trình có 2 nghiệm

Đề bài: Giải phương trình \( x^4 + 3x^2 – 4 = 0 \)

Lời giải:

Bước 1: Đặt \( t = x^2 \) với \( t \geq 0 \)

Phương trình trở thành: \( t^2 + 3t – 4 = 0 \)

Bước 2: Giải phương trình bậc hai

\[ \Delta = 9 + 16 = 25 > 0 \]

\[ t_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1, \quad t_2 = \frac{-3 – 5}{2} = -4 \]

Bước 3: Tìm x

• \( t_1 = 1 > 0 \): \( x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \)
• \( t_2 = -4 < 0 \): Loại (không thỏa mãn điều kiện)

Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm: \( x \in \{-1, 1\} \)

Ví dụ 3: Phương trình có 3 nghiệm

Đề bài: Giải phương trình \( x^4 – 4x^2 = 0 \)

Lời giải:

Cách 1: Đặt nhân tử chung

\[ x^2(x^2 – 4) = 0 \]

• \( x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \)
• \( x^2 – 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2 \)

Cách 2: Đặt ẩn phụ

Đặt \( t = x^2 \geq 0 \): \( t^2 – 4t = 0 \)

\[ t(t – 4) = 0 \]

\[ t = 0 \text{ hoặc } t = 4 \]

• \( t = 0 \): \( x = 0 \)
• \( t = 4 \): \( x = \pm 2 \)

Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm: \( x \in \{-2, 0, 2\} \)

Ví dụ 4: Phương trình vô nghiệm

Đề bài: Giải phương trình \( x^4 + 5x^2 + 6 = 0 \)

Lời giải:

Đặt \( t = x^2 \geq 0 \): \( t^2 + 5t + 6 = 0 \)

\[ \Delta = 25 – 24 = 1 > 0 \]

\[ t_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2, \quad t_2 = \frac{-5 – 1}{2} = -3 \]

Cả hai nghiệm \( t_1 = -2 < 0 \) và \( t_2 = -3 < 0 \) đều không thỏa mãn điều kiện \( t \geq 0 \).

Kết luận: Phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 5: Phương trình có hệ số phức tạp

Đề bài: Giải phương trình \( 2x^4 – 5x^2 – 3 = 0 \)

Lời giải:

Đặt \( t = x^2 \geq 0 \): \( 2t^2 – 5t – 3 = 0 \)

\[ \Delta = 25 + 24 = 49 > 0 \]

\[ t_1 = \frac{5 + 7}{4} = 3, \quad t_2 = \frac{5 – 7}{4} = -\frac{1}{2} \]

• \( t_1 = 3 > 0 \): \( x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3} \)
• \( t_2 = -\frac{1}{2} < 0 \): Loại

Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm: \( x = \pm\sqrt{3} \)

Ví dụ 6: Phương trình với nghiệm kép

Đề bài: Giải phương trình \( x^4 – 8x^2 + 16 = 0 \)

Lời giải:

Đặt \( t = x^2 \geq 0 \): \( t^2 – 8t + 16 = 0 \)

Nhận dạng: \( (t – 4)^2 = 0 \)

\[ t = 4 \] (nghiệm kép)

Với \( t = 4 > 0 \): \( x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \)

Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm: \( x \in \{-2, 2\} \)

Hãy cùng luyện tập với các bài tập về pt trùng phương dưới đây.

Bài tập phương trình trùng phương (có lời giải)

Dưới đây là các bài tập về phương trình trùng phương từ cơ bản đến nâng cao:

Dạng 1: Giải phương trình trùng phương cơ bản

Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

a) \( x^4 – 10x^2 + 9 = 0 \)

b) \( x^4 – 7x^2 – 18 = 0 \)

c) \( 3x^4 – 10x^2 + 3 = 0 \)

Lời giải:

a) \( x^4 – 10x^2 + 9 = 0 \)

Đặt \( t = x^2 \geq 0 \): \( t^2 – 10t + 9 = 0 \)

Nhận thấy: \( 9 = 1 \times 9 \) và \( 1 + 9 = 10 \)

\[ (t – 1)(t – 9) = 0 \]

\[ t = 1 \text{ hoặc } t = 9 \]

• \( t = 1 \): \( x = \pm 1 \)
• \( t = 9 \): \( x = \pm 3 \)

Đáp án: \( x \in \{-3, -1, 1, 3\} \)

b) \( x^4 – 7x^2 – 18 = 0 \)

Đặt \( t = x^2 \geq 0 \): \( t^2 – 7t – 18 = 0 \)

\[ \Delta = 49 + 72 = 121 \]

\[ t_1 = \frac{7 + 11}{2} = 9, \quad t_2 = \frac{7 – 11}{2} = -2 \]

• \( t = 9 > 0 \): \( x = \pm 3 \)
• \( t = -2 < 0 \): Loại

Đáp án: \( x \in \{-3, 3\} \)

c) \( 3x^4 – 10x^2 + 3 = 0 \)

Đặt \( t = x^2 \geq 0 \): \( 3t^2 – 10t + 3 = 0 \)

\[ \Delta = 100 – 36 = 64 \]

\[ t_1 = \frac{10 + 8}{6} = 3, \quad t_2 = \frac{10 – 8}{6} = \frac{1}{3} \]

• \( t = 3 \): \( x = \pm\sqrt{3} \)
• \( t = \frac{1}{3} \): \( x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3} \)

Đáp án: \( x \in \left\{-\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \sqrt{3}\right\} \)

Dạng 2: Phương trình trùng phương dạng đặc biệt

Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

a) \( x^4 – 81 = 0 \)

b) \( x^4 + 9x^2 = 0 \)

c) \( (x^2 – 3)^2 = 16 \)

Lời giải:

a) \( x^4 – 81 = 0 \)

\[ x^4 = 81 \]

\[ x^2 = 9 \quad (\text{vì } x^2 \geq 0) \]

\[ x = \pm 3 \]

Đáp án: \( x \in \{-3, 3\} \)

b) \( x^4 + 9x^2 = 0 \)

\[ x^2(x^2 + 9) = 0 \]

• \( x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \)
• \( x^2 + 9 = 0 \Rightarrow x^2 = -9 < 0 \): Vô nghiệm

Đáp án: \( x = 0 \)

c) \( (x^2 – 3)^2 = 16 \)

\[ x^2 – 3 = \pm 4 \]

• \( x^2 – 3 = 4 \Rightarrow x^2 = 7 \Rightarrow x = \pm\sqrt{7} \)
• \( x^2 – 3 = -4 \Rightarrow x^2 = -1 < 0 \): Vô nghiệm

Đáp án: \( x = \pm\sqrt{7} \)

Dạng 3: Tìm tham số

Bài tập 3: Tìm \( m \) để phương trình \( x^4 – 2mx^2 + m + 2 = 0 \) có đúng 4 nghiệm phân biệt.

Lời giải:

Đặt \( t = x^2 \geq 0 \): \( t^2 – 2mt + m + 2 = 0 \) (*)

Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt, phương trình (*) phải có 2 nghiệm dương phân biệt.

Điều kiện:

• \( \Delta’ > 0 \): \( m^2 – (m + 2) > 0 \Leftrightarrow m^2 – m – 2 > 0 \Leftrightarrow (m-2)(m+1) > 0 \)
• Suy ra: \( m < -1 \) hoặc \( m > 2 \)

• \( S = t_1 + t_2 = 2m > 0 \Leftrightarrow m > 0 \)

• \( P = t_1 \cdot t_2 = m + 2 > 0 \Leftrightarrow m > -2 \)

Kết hợp các điều kiện: \( m > 2 \)

Đáp án: \( m > 2 \)

Bài tập 4: Tìm \( m \) để phương trình \( x^4 – (m+1)x^2 + m = 0 \) có đúng 2 nghiệm.

Lời giải:

Đặt \( t = x^2 \geq 0 \): \( t^2 – (m+1)t + m = 0 \)

Phân tích: \( (t – 1)(t – m) = 0 \)

Nghiệm: \( t = 1 \) hoặc \( t = m \)

Trường hợp 1: \( t = 1 \neq m \) và \( m < 0 \)

• \( t = 1 > 0 \): \( x = \pm 1 \) (2 nghiệm)
• \( t = m < 0 \): Loại

Điều kiện: \( m < 0 \) và \( m \neq 1 \), tức \( m < 0 \)

Trường hợp 2: \( m = 1 \) (nghiệm kép \( t = 1 \))

• \( t = 1 \): \( x = \pm 1 \) (2 nghiệm)

Trường hợp 3: \( m = 0 \)

• \( t = 0 \): \( x = 0 \) (1 nghiệm)
• \( t = 1 \): \( x = \pm 1 \) (2 nghiệm)

Tổng cộng 3 nghiệm → Không thỏa mãn

Đáp án: \( m < 0 \) hoặc \( m = 1 \)

Dạng 4: Phương trình quy về trùng phương

Bài tập 5: Giải phương trình \( (x^2 + x)^2 – 5(x^2 + x) + 6 = 0 \)

Lời giải:

Đặt \( t = x^2 + x \): \( t^2 – 5t + 6 = 0 \)

\[ (t – 2)(t – 3) = 0 \]

\[ t = 2 \text{ hoặc } t = 3 \]

Với \( t = 2 \): \( x^2 + x – 2 = 0 \)

\[ (x + 2)(x – 1) = 0 \]

\[ x = -2 \text{ hoặc } x = 1 \]

Với \( t = 3 \): \( x^2 + x – 3 = 0 \)

\[ \Delta = 1 + 12 = 13 \]

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2} \]

Đáp án: \( x \in \left\{-2, 1, \frac{-1 – \sqrt{13}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}\right\} \)

Bài tập 6: Giải phương trình \( x^4 + 2x^3 – 2x^2 + 2x + 1 = 0 \)

Lời giải:

Nhận thấy \( x = 0 \) không phải nghiệm. Chia cả hai vế cho \( x^2 \):

\[ x^2 + 2x – 2 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 0 \]

\[ \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 2\left(x + \frac{1}{x}\right) – 2 = 0 \]

Đặt \( t = x + \frac{1}{x} \), ta có \( t^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} \), suy ra \( x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 – 2 \)

Phương trình trở thành:

\[ (t^2 – 2) + 2t – 2 = 0 \]

\[ t^2 + 2t – 4 = 0 \]

\[ t = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = -1 \pm \sqrt{5} \]

Với \( t = -1 + \sqrt{5} \): \( x + \frac{1}{x} = -1 + \sqrt{5} \)

\[ x^2 – (-1 + \sqrt{5})x + 1 = 0 \]

\[ \Delta = (-1+\sqrt{5})^2 – 4 = 6 – 2\sqrt{5} – 4 = 2 – 2\sqrt{5} < 0 \]

Vô nghiệm thực.

Với \( t = -1 – \sqrt{5} \): \( x + \frac{1}{x} = -1 – \sqrt{5} \)

\[ x^2 + (1 + \sqrt{5})x + 1 = 0 \]

\[ \Delta = (1+\sqrt{5})^2 – 4 = 6 + 2\sqrt{5} – 4 = 2 + 2\sqrt{5} > 0 \]

\[ x = \frac{-(1+\sqrt{5}) \pm \sqrt{2 + 2\sqrt{5}}}{2} \]

Đáp án: \( x = \frac{-(1+\sqrt{5}) \pm \sqrt{2 + 2\sqrt{5}}}{2} \)

Kết luận

Qua bài viết này, bạn đã nắm vững kiến thức về pt trùng phương, bao gồm định nghĩa phương trình trùng phương là gì và cách giải phương trình trùng phương bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Hãy ghi nhớ các bước quan trọng: Đặt \( t = x^2 \) với điều kiện \( t \geq 0 \), giải phương trình bậc hai theo \( t \), sau đó quay lại tìm \( x \) với lưu ý loại bỏ các nghiệm \( t < 0 \). Với các dạng đặc biệt như \( ax^4 + bx^2 = 0 \) hoặc \( ax^4 + c = 0 \), bạn có thể giải nhanh hơn bằng cách phân tích nhân tử. Giải pt trùng phương là kỹ năng cơ bản và quan trọng, được ứng dụng trong nhiều bài toán phương trình bậc cao và các bài toán thực tế.