Đạo hàm phân thức: Công thức, cách đạo hàm phân số và bài tập chi tiết

Đạo hàm phân thức là một trong những dạng toán cơ bản và quan trọng nhất trong chương trình Giải tích THPT. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững công thức, cách tính đạo hàm của hàm phân thức cùng các bài tập minh họa có lời giải chi tiết, dễ hiểu nhất.

Đạo hàm phân thức là gì?

Trước khi đi vào công thức và bài tập, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm về hàm phân thức và đạo hàm của nó.

Hàm phân thức là gì?

Hàm phân thức là hàm số có dạng thương của hai hàm số:

\[ y = \frac{u(x)}{v(x)} \]

Trong đó:

• \( u(x) \) là hàm số ở tử số
• \( v(x) \) là hàm số ở mẫu số, với điều kiện \( v(x) \neq 0 \)

Định nghĩa đạo hàm phân thức

Đạo hàm phân thức là đạo hàm của hàm số có dạng thương \( y = \frac{u}{v} \), được tính theo quy tắc đạo hàm của một thương.

Ý nghĩa: Đạo hàm phân thức cho biết tốc độ thay đổi của hàm phân thức tại mỗi điểm thuộc tập xác định.

Công thức đạo hàm phân thức

Đây là phần kiến thức cốt lõi mà bạn cần ghi nhớ khi học về đạo hàm phân thức.

Công thức tổng quát (Quy tắc thương)

Cho hàm số \( y = \frac{u}{v} \) với \( u = u(x) \), \( v = v(x) \) là các hàm khả vi và \( v \neq 0 \). Khi đó:

Công thức đạo hàm phân thức:

\[ \left( \frac{u}{v} \right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2} \]

Cách nhớ công thức:

• Tử số: (Đạo hàm tử) × (Mẫu) − (Tử) × (Đạo hàm mẫu)
• Mẫu số: (Mẫu) bình phương

Công thức đạo hàm phân thức cơ bản thường gặp

Công thức đạo hàm phân thức mở rộng

Cách tính đạo hàm phân thức chi tiết

Để tính đạo hàm phân thức một cách chính xác, bạn cần thực hiện theo các bước sau.

Phương pháp tổng quát

Các bước thực hiện:

1. Bước 1: Xác định tử số \( u \) và mẫu số \( v \)
2. Bước 2: Tính đạo hàm của tử số \( u’ \)
3. Bước 3: Tính đạo hàm của mẫu số \( v’ \)
4. Bước 4: Áp dụng công thức \( \left( \frac{u}{v} \right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2} \)
5. Bước 5: Rút gọn kết quả (nếu có thể)

Ví dụ minh họa phương pháp

Đề bài: Tính đạo hàm của \( y = \frac{x^2 + 1}{x – 2} \)

Lời giải theo các bước:

Bước 1: Xác định \( u = x^2 + 1 \) và \( v = x – 2 \)

Bước 2: Tính \( u’ = 2x \)

Bước 3: Tính \( v’ = 1 \)

Bước 4: Áp dụng công thức:

\[ y’ = \frac{u’v – uv’}{v^2} = \frac{2x(x-2) – (x^2+1) \cdot 1}{(x-2)^2} \]

Bước 5: Rút gọn:

\[ y’ = \frac{2x^2 – 4x – x^2 – 1}{(x-2)^2} = \frac{x^2 – 4x – 1}{(x-2)^2} \]

Một số mẹo khi tính đạo hàm phân thức

Các dạng bài tập thường gặp về đạo hàm phân thức

Trong các kỳ thi, bạn sẽ gặp những dạng bài tập phổ biến sau liên quan đến đạo hàm phân thức.

Dạng 1: Tính đạo hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Dạng tổng quát: \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \)

Công thức nhanh: \( y’ = \frac{ad – bc}{(cx + d)^2} \)

Dạng 2: Tính đạo hàm phân thức có tử hoặc mẫu bậc cao

Đặc điểm: Tử số hoặc mẫu số là đa thức bậc 2, bậc 3 hoặc cao hơn.

Phương pháp: Áp dụng trực tiếp công thức tổng quát, chú ý khai triển và rút gọn cẩn thận.

Dạng 3: Tính đạo hàm phân thức chứa căn thức

Đặc điểm: Tử hoặc mẫu chứa biểu thức căn.

Phương pháp: Kết hợp công thức đạo hàm phân thức với công thức đạo hàm căn thức.

Dạng 4: Tính đạo hàm phân thức lượng giác

Đặc điểm: Phân thức chứa các hàm lượng giác như \( \sin x \), \( \cos x \).

Phương pháp: Áp dụng công thức kết hợp với đạo hàm lượng giác.

Dạng 5: Tìm đạo hàm cấp cao của phân thức

Đặc điểm: Yêu cầu tính \( y” \), \( y”’ \),…

Phương pháp: Tính đạo hàm cấp 1 trước, sau đó tiếp tục lấy đạo hàm.

Bài tập đạo hàm phân thức có lời giải chi tiết

Dưới đây là các bài tập minh họa giúp bạn thành thạo cách tính đạo hàm phân thức.

Bài tập 1: Phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{2x + 3}{x – 1} \)

Lời giải:

Đặt \( u = 2x + 3 \Rightarrow u’ = 2 \)

Đặt \( v = x – 1 \Rightarrow v’ = 1 \)

Áp dụng công thức:

\[ y’ = \frac{u’v – uv’}{v^2} = \frac{2(x-1) – (2x+3) \cdot 1}{(x-1)^2} \]

\[ y’ = \frac{2x – 2 – 2x – 3}{(x-1)^2} = \frac{-5}{(x-1)^2} \]

Vậy \( y’ = \frac{-5}{(x-1)^2} \)

Cách nhanh: Với \( y = \frac{ax+b}{cx+d} \), ta có \( y’ = \frac{ad – bc}{(cx+d)^2} \)

Ở đây: \( a = 2, b = 3, c = 1, d = -1 \)

\[ y’ = \frac{2 \cdot (-1) – 3 \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{-2 – 3}{(x-1)^2} = \frac{-5}{(x-1)^2} \]

Bài tập 2: Phân thức bậc hai trên bậc nhất

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x^2 – 3x + 2}{x + 1} \)

Lời giải:

Đặt \( u = x^2 – 3x + 2 \Rightarrow u’ = 2x – 3 \)

Đặt \( v = x + 1 \Rightarrow v’ = 1 \)

Áp dụng công thức:

\[ y’ = \frac{(2x-3)(x+1) – (x^2-3x+2) \cdot 1}{(x+1)^2} \]

Khai triển tử số:

\[ (2x-3)(x+1) = 2x^2 + 2x – 3x – 3 = 2x^2 – x – 3 \]

\[ \text{Tử số} = 2x^2 – x – 3 – x^2 + 3x – 2 = x^2 + 2x – 5 \]

Vậy \( y’ = \frac{x^2 + 2x – 5}{(x+1)^2} \)

Bài tập 3: Phân thức có mẫu là đa thức bậc hai

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x}{x^2 + 1} \)

Lời giải:

Đặt \( u = x \Rightarrow u’ = 1 \)

Đặt \( v = x^2 + 1 \Rightarrow v’ = 2x \)

Áp dụng công thức:

\[ y’ = \frac{1 \cdot (x^2+1) – x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} \]

\[ y’ = \frac{x^2 + 1 – 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1 – x^2}{(x^2+1)^2} \]

Vậy \( y’ = \frac{1 – x^2}{(x^2+1)^2} \)

Bài tập 4: Phân thức chứa căn thức

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \)

Lời giải:

Đặt \( u = \sqrt{x} \Rightarrow u’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)

Đặt \( v = x + 1 \Rightarrow v’ = 1 \)

Áp dụng công thức:

\[ y’ = \frac{u’v – uv’}{v^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1) – \sqrt{x} \cdot 1}{(x+1)^2} \]

\[ y’ = \frac{\frac{x+1}{2\sqrt{x}} – \sqrt{x}}{(x+1)^2} \]

Quy đồng tử số:

\[ y’ = \frac{\frac{x+1 – 2x}{2\sqrt{x}}}{(x+1)^2} = \frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2} \]

Vậy \( y’ = \frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2} \)

Bài tập 5: Phân thức lượng giác

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{\sin x}{1 + \cos x} \)

Lời giải:

Đặt \( u = \sin x \Rightarrow u’ = \cos x \)

Đặt \( v = 1 + \cos x \Rightarrow v’ = -\sin x \)

Áp dụng công thức:

\[ y’ = \frac{\cos x (1 + \cos x) – \sin x \cdot (-\sin x)}{(1 + \cos x)^2} \]

\[ y’ = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2} \]

Sử dụng đẳng thức \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \):

\[ y’ = \frac{\cos x + 1}{(1 + \cos x)^2} = \frac{1}{1 + \cos x} \]

Vậy \( y’ = \frac{1}{1 + \cos x} \)

Bài tập 6: Đạo hàm cấp hai của phân thức

Đề bài: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số \( y = \frac{1}{x+1} \)

Lời giải:

Tính đạo hàm cấp 1:

Đặt \( u = 1 \Rightarrow u’ = 0 \)

Đặt \( v = x + 1 \Rightarrow v’ = 1 \)

\[ y’ = \frac{0 \cdot (x+1) – 1 \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{-1}{(x+1)^2} = -(x+1)^{-2} \]

Tính đạo hàm cấp 2:

\[ y” = -(-2)(x+1)^{-3} \cdot 1 = \frac{2}{(x+1)^3} \]

Vậy \( y” = \frac{2}{(x+1)^3} \)

Bài tập 7: Phân thức phức tạp

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x^2 + 2x}{x^2 – 1} \)

Lời giải:

Đặt \( u = x^2 + 2x \Rightarrow u’ = 2x + 2 \)

Đặt \( v = x^2 – 1 \Rightarrow v’ = 2x \)

Áp dụng công thức:

\[ y’ = \frac{(2x+2)(x^2-1) – (x^2+2x) \cdot 2x}{(x^2-1)^2} \]

Khai triển tử số:

\[ (2x+2)(x^2-1) = 2x^3 – 2x + 2x^2 – 2 = 2x^3 + 2x^2 – 2x – 2 \]

\[ (x^2+2x) \cdot 2x = 2x^3 + 4x^2 \]

\[ \text{Tử số} = 2x^3 + 2x^2 – 2x – 2 – 2x^3 – 4x^2 = -2x^2 – 2x – 2 \]

\[ = -2(x^2 + x + 1) \]

Vậy \( y’ = \frac{-2(x^2 + x + 1)}{(x^2-1)^2} \)

Kết luận

Đạo hàm phân thức là dạng toán cơ bản nhưng đòi hỏi sự cẩn thận trong tính toán. Để làm tốt các bài tập về đạo hàm phân thức, bạn cần lưu ý:

• Thuộc công thức: \( \left( \frac{u}{v} \right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2} \) là công thức nền tảng
• Nhớ công thức nhanh: Với phân thức bậc nhất \( \frac{ax+b}{cx+d} \), đạo hàm là \( \frac{ad-bc}{(cx+d)^2} \)
• Tính toán cẩn thận: Chú ý dấu khi khai triển và rút gọn biểu thức
• Kiểm tra kết quả: Có thể thử lại bằng cách thay giá trị cụ thể
• Luyện tập đa dạng: Làm nhiều dạng bài để thành thạo kỹ năng

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ cách tính đạo hàm phân thức và tự tin hơn khi giải các bài toán liên quan!