Cách tính độ lệch chuẩn: Công thức và bấm máy Casio 580

Cách tính độ lệch chuẩn là kiến thức quan trọng trong thống kê, giúp đo lường mức độ phân tán của dữ liệu. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết công thức tính độ lệch chuẩn, cách bấm máy tính độ lệch chuẩn và tính độ lệch chuẩn bằng Casio 580 cùng các ví dụ minh họa dễ hiểu.

Độ lệch chuẩn là gì?

Trước khi tìm hiểu cách tính độ lệch chuẩn, chúng ta cần nắm vững khái niệm và ý nghĩa của đại lượng thống kê quan trọng này.

Định nghĩa độ lệch chuẩn

Độ lệch chuẩn (Standard Deviation) là đại lượng đo lường mức độ phân tán hay biến thiên của một tập dữ liệu so với giá trị trung bình. Độ lệch chuẩn càng lớn, dữ liệu càng phân tán; độ lệch chuẩn càng nhỏ, dữ liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình.

Ký hiệu độ lệch chuẩn

Ký hiệu độ lệch chuẩn phụ thuộc vào loại dữ liệu:

Mối quan hệ giữa độ lệch chuẩn và phương sai

Phương sai là bình phương của độ lệch chuẩn:

\[ \text{Phương sai} = (\text{Độ lệch chuẩn})^2 \]

Hay ngược lại:

\[ \text{Độ lệch chuẩn} = \sqrt{\text{Phương sai}} \]

Công thức tính độ lệch chuẩn

Phần này trình bày chi tiết các công thức để tính độ lệch chuẩn và phương sai.

Công thức độ lệch chuẩn tổng thể

Với tập dữ liệu gồm \( N \) giá trị \( x_1, x_2, \ldots, x_N \):

\[ \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i – \bar{x})^2}{N}} \]

Trong đó:

• \( \sigma \): Độ lệch chuẩn tổng thể
• \( x_i \): Giá trị thứ \( i \)
• \( \bar{x} \): Giá trị trung bình
• \( N \): Tổng số phần tử

Công thức độ lệch chuẩn mẫu

Với mẫu dữ liệu gồm \( n \) giá trị:

\[ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n – 1}} \]

Lưu ý: Mẫu số là \( (n – 1) \) thay vì \( n \) để đảm bảo ước lượng không chệch.

Công thức phương sai

Công thức với dữ liệu có tần số

Khi dữ liệu có tần số \( f_i \) tương ứng với giá trị \( x_i \):

\[ \sigma = \sqrt{\frac{\sum f_i(x_i – \bar{x})^2}{\sum f_i}} \]

Với trung bình:

\[ \bar{x} = \frac{\sum f_i \cdot x_i}{\sum f_i} \]

Cách tính độ lệch chuẩn bằng tay

Để tính độ lệch chuẩn theo phương pháp thủ công, thực hiện các bước sau:

Các bước thực hiện

1. Bước 1: Tính giá trị trung bình \( \bar{x} \)
2. Bước 2: Tính độ lệch của từng giá trị so với trung bình \( (x_i – \bar{x}) \)
3. Bước 3: Bình phương các độ lệch \( (x_i – \bar{x})^2 \)
4. Bước 4: Tính trung bình các bình phương độ lệch (phương sai)
5. Bước 5: Lấy căn bậc hai của phương sai

Ví dụ tính bằng tay

Đề bài: Tính độ lệch chuẩn của dãy số: 2, 4, 6, 8, 10

Lời giải:

Bước 1: Tính trung bình:

\[ \bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = \frac{30}{5} = 6 \]

Bước 2 và 3: Lập bảng tính:

Bước 4: Tính phương sai (tổng thể):

\[ \sigma^2 = \frac{40}{5} = 8 \]

Bước 5: Tính độ lệch chuẩn:

\[ \sigma = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83 \]

Cách bấm máy tính thống kê trên Casio fx 580

Máy tính Casio fx 580 (bao gồm fx-580VN X) hỗ trợ tính toán thống kê rất tiện lợi. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết cách bấm thống kê trên máy tính Casio 580.

Bước 1: Vào chế độ thống kê

Để cách bấm máy tính thống kê, thực hiện:

1. Nhấn MENU
2. Chọn 6: Statistics (Thống kê)
3. Chọn 1: 1-Variable (Thống kê 1 biến)

Màn hình sẽ hiển thị bảng nhập dữ liệu với cột X (giá trị) và FREQ (tần số).

Bước 2: Nhập dữ liệu

Cách nhập dữ liệu đơn giản:

1. Nhập giá trị đầu tiên → nhấn =
2. Nhập giá trị tiếp theo → nhấn =
3. Tiếp tục cho đến hết dữ liệu
4. Nhấn AC để kết thúc nhập liệu

Cách nhập dữ liệu có tần số:

1. Bật cột tần số: SHIFT → MENU → Statistics → Frequency: On
2. Nhập giá trị vào cột X
3. Di chuyển sang cột FREQ, nhập tần số tương ứng
4. Nhấn = sau mỗi hàng

Bước 3: Lấy kết quả thống kê

Sau khi nhập xong dữ liệu, để cách bấm máy tính độ lệch chuẩn:

1. Nhấn OPTN (hoặc SHIFT + 1)
2. Chọn 2: 1-Variable Calc
3. Chọn đại lượng cần tính

Bảng các đại lượng thống kê trên Casio fx 580

Cách bấm máy tính phương sai

Máy Casio fx 580 không hiển thị trực tiếp phương sai, nhưng ta có thể tính bằng cách:

Cách bấm máy tính phương sai 580vnx:

1. Lấy giá trị σx (hoặc sx)
2. Bình phương kết quả: nhấn x²

Hoặc dùng công thức: Sau khi có các giá trị thống kê, tính:

\[ \sigma^2 = \frac{\Sigma x^2}{n} – \bar{x}^2 \]

Ví dụ minh họa tính độ lệch chuẩn bằng Casio 580

Dưới đây là các ví dụ chi tiết về tính độ lệch chuẩn bằng Casio 580.

Ví dụ 1: Dữ liệu đơn giản

Đề bài: Tính độ lệch chuẩn của dãy số: 5, 7, 8, 9, 11

Cách bấm máy tính độ lệch chuẩn:

1. MENU → 6 (Statistics) → 1 (1-Variable)
2. Nhập dữ liệu:
   • 5 =
   • 7 =
   • 8 =
   • 9 =
   • 11 =
3. Nhấn AC
4. Nhấn OPTN → 2 (1-Variable Calc)
5. Chọn σx → nhấn =

Kết quả:

• Trung bình: \( \bar{x} = 8 \)
• Độ lệch chuẩn tổng thể: \( \sigma x = 2 \)
• Độ lệch chuẩn mẫu: \( sx \approx 2{,}236 \)

Ví dụ 2: Dữ liệu có tần số

Đề bài: Điểm thi của lớp được cho trong bảng sau. Tính độ lệch chuẩn.

Cách bấm thống kê trên máy tính Casio 580:

1. SHIFT → MENU → Statistics → Frequency: On
2. MENU → 6 → 1
3. Nhập dữ liệu:
   • X: 5, FREQ: 3 → =
   • X: 6, FREQ: 5 → =
   • X: 7, FREQ: 8 → =
   • X: 8, FREQ: 6 → =
   • X: 9, FREQ: 3 → =
4. Nhấn AC
5. OPTN → 2 → chọn σx

Kết quả:

• Số phần tử: \( n = 25 \)
• Trung bình: \( \bar{x} = 7 \)
• Độ lệch chuẩn: \( \sigma x \approx 1{,}095 \)

Ví dụ 3: Tính phương sai

Đề bài: Tính phương sai của dãy số: 3, 5, 7, 9, 11

Cách bấm máy tính phương sai:

1. Nhập dữ liệu vào chế độ thống kê (như ví dụ 1)
2. Lấy giá trị σx: OPTN → 2 → σx → = (được kết quả \( \sigma x \approx 2{,}828 \))
3. Tính phương sai: nhấn x² → =

Kết quả: Phương sai \( \sigma^2 = 8 \)

Ví dụ 4: Bài toán thực tế

Đề bài: Chiều cao (cm) của 10 học sinh: 155, 160, 158, 162, 165, 157, 163, 159, 161, 160. Tính độ lệch chuẩn.

Cách thực hiện trên Casio fx 580:

1. Vào chế độ thống kê: MENU → 6 → 1
2. Nhập lần lượt: 155, 160, 158, 162, 165, 157, 163, 159, 161, 160
3. Lấy kết quả

Kết quả:

• Trung bình: \( \bar{x} = 160 \) cm
• Độ lệch chuẩn tổng thể: \( \sigma x \approx 2{,}68 \) cm
• Độ lệch chuẩn mẫu: \( sx \approx 2{,}83 \) cm

Một số lưu ý khi sử dụng Casio fx 580

Khi tính độ lệch chuẩn bằng Casio 580, cần chú ý:

Phân biệt σx và sx

• σx (sigma x): Dùng khi tính cho tổng thể – toàn bộ dữ liệu
• sx: Dùng khi tính cho mẫu – một phần dữ liệu đại diện

Quy tắc chọn:

• Đề bài cho “mẫu”, “khảo sát”, “chọn ngẫu nhiên” → dùng sx
• Đề bài cho toàn bộ dữ liệu, không đề cập “mẫu” → dùng σx
• Trong đề thi THPT thường dùng σx

Cách thoát chế độ thống kê

Nhấn MENU → 1 (Calculate) để về chế độ tính toán thông thường.

Cách xóa dữ liệu

• Xóa một hàng: Di chuyển đến hàng cần xóa → nhấn DEL
• Xóa toàn bộ: SHIFT → 9 (Reset) → 2 (Statistics)

Bài tập tự luyện có đáp án

Hãy vận dụng cách tính độ lệch chuẩn để giải các bài tập sau:

Bài tập

Bài 1: Tính độ lệch chuẩn của dãy số: 12, 15, 18, 21, 24

Bài 2: Cho bảng tần số sau, tính độ lệch chuẩn:

Bài 3: Tính phương sai của dãy số: 4, 6, 8, 10, 12

Bài 4: Cân nặng (kg) của 8 học sinh: 42, 45, 48, 50, 52, 47, 49, 51. Tính độ lệch chuẩn mẫu.

Bài 5: Dãy số có trung bình bằng 20 và phương sai bằng 16. Tính độ lệch chuẩn.

Đáp án chi tiết

Bài 1:

• Trung bình: \( \bar{x} = 18 \)
• Độ lệch chuẩn: \( \sigma x \approx 4{,}24 \)

Bài 2:

• Số phần tử: \( n = 14 \)
• Trung bình: \( \bar{x} \approx 25{,}71 \)
• Độ lệch chuẩn: \( \sigma x \approx 9{,}76 \)

Bài 3:

• Trung bình: \( \bar{x} = 8 \)
• Độ lệch chuẩn: \( \sigma x \approx 2{,}83 \)
• Phương sai: \( \sigma^2 = 8 \)

Bài 4:

• Trung bình: \( \bar{x} = 48 \) kg
• Độ lệch chuẩn mẫu: \( sx \approx 3{,}34 \) kg

Bài 5:

• Phương sai = 16
• Độ lệch chuẩn: \( \sigma = \sqrt{16} = 4 \)

Kết luận

Cách tính độ lệch chuẩn có thể thực hiện bằng công thức thủ công hoặc sử dụng máy tính cầm tay. Với Casio fx 580, việc tính độ lệch chuẩn bằng Casio 580 trở nên đơn giản chỉ với vài thao tác: vào chế độ Statistics, nhập dữ liệu và lấy kết quả σx hoặc sx. Hãy ghi nhớ ký hiệu độ lệch chuẩn (σ cho tổng thể, s cho mẫu) và luyện tập cách bấm máy tính thống kê thường xuyên để thành thạo kỹ năng tính toán thống kê.