Lượng giác hóa số phức: Dạng lượng giác, dạng mũ và argument

Lượng giác hóa số phức là phương pháp biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác, giúp thực hiện các phép tính nhân, chia, lũy thừa và căn thức một cách dễ dàng. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn chi tiết về dạng lượng giác của số phức, dạng mũ của số phức, argument của số phức, công thức chia số phức và cách tính lũy thừa số phức cùng các ví dụ minh họa dễ hiểu nhất.

Dạng lượng giác của số phức là gì?

Trước khi tìm hiểu cách lượng giác hóa số phức, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm cơ bản:

Định nghĩa: Dạng lượng giác của số phức là cách biểu diễn số phức thông qua mô-đun và argument của nó.

Cho số phức \( z = a + bi \) (dạng đại số), ta có thể viết:

\[ z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) \]

Trong đó:

• \( r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \) là mô-đun của số phức (r ≥ 0)
• \( \varphi \) là argument của số phức (góc tạo bởi tia Oz với trục Ox dương)
• \( a = r\cos\varphi \) (phần thực)
• \( b = r\sin\varphi \) (phần ảo)

Biểu diễn hình học:

Trên mặt phẳng phức Oxy, số phức \( z = a + bi \) được biểu diễn bởi điểm M(a, b). Khi đó:

• \( r = OM \) là khoảng cách từ O đến M
• \( \varphi \) là góc định hướng từ tia Ox đến tia OM

So sánh các dạng biểu diễn số phức:

Dạng	Biểu diễn	Ưu điểm
Đại số	\( z = a + bi \)	Dễ cộng, trừ
Lượng giác	\( z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) \)	Dễ nhân, chia, lũy thừa
Mũ	\( z = re^{i\varphi} \)	Gọn nhất, dễ tính toán

Vậy argument của số phức được xác định như thế nào? Hãy cùng tìm hiểu chi tiết ngay sau đây.

Argument của số phức

Argument của số phức là góc \( \varphi \) trong dạng lượng giác, đóng vai trò quan trọng trong việc lượng giác hóa số phức.

Định nghĩa argument

Định nghĩa: Argument của số phức \( z = a + bi \neq 0 \), ký hiệu \( \arg(z) \) hoặc \( \varphi \), là góc \( \varphi \) thỏa mãn:

\[ \cos\varphi = \frac{a}{r}, \quad \sin\varphi = \frac{b}{r} \]

với \( r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)

Argument chính: Là giá trị argument thuộc khoảng \( (-\pi, \pi] \) hoặc \( [0, 2\pi) \), ký hiệu \( \text{Arg}(z) \).

Lưu ý: Argument không xác định cho số phức \( z = 0 \).

Công thức tính argument

Với \( z = a + bi \neq 0 \):

Vị trí điểm M(a, b)	Điều kiện	Công thức \( \varphi \)
Góc phần tư I	\( a > 0, b > 0 \)	\( \varphi = \arctan\frac{b}{a} \)
Góc phần tư II	\( a < 0, b > 0 \)	\( \varphi = \pi + \arctan\frac{b}{a} \)
Góc phần tư III	\( a < 0, b < 0 \)	\( \varphi = -\pi + \arctan\frac{b}{a} \)
Góc phần tư IV	\( a > 0, b < 0 \)	\( \varphi = \arctan\frac{b}{a} \)
Trục thực dương	\( a > 0, b = 0 \)	\( \varphi = 0 \)
Trục thực âm	\( a < 0, b = 0 \)	\( \varphi = \pi \)
Trục ảo dương	\( a = 0, b > 0 \)	\( \varphi = \frac{\pi}{2} \)
Trục ảo âm	\( a = 0, b < 0 \)	\( \varphi = -\frac{\pi}{2} \)

Argument của các số phức đặc biệt

Số phức z	Mô-đun r	Argument φ
\( 1 \)	1	\( 0 \)
\( -1 \)	1	\( \pi \)
\( i \)	1	\( \frac{\pi}{2} \)
\( -i \)	1	\( -\frac{\pi}{2} \)
\( 1 + i \)	\( \sqrt{2} \)	\( \frac{\pi}{4} \)
\( 1 – i \)	\( \sqrt{2} \)	\( -\frac{\pi}{4} \)
\( -1 + i \)	\( \sqrt{2} \)	\( \frac{3\pi}{4} \)
\( -1 – i \)	\( \sqrt{2} \)	\( -\frac{3\pi}{4} \)
\( 1 + i\sqrt{3} \)	2	\( \frac{\pi}{3} \)
\( \sqrt{3} + i \)	2	\( \frac{\pi}{6} \)

Tiếp theo, hãy xem cách lượng giác hóa số phức từng bước.

Cách lượng giác hóa số phức

Lượng giác hóa số phức là quá trình chuyển đổi số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác của số phức.

Các bước lượng giác hóa số phức

Bước 1: Xác định phần thực \( a \) và phần ảo \( b \) của số phức \( z = a + bi \).

Bước 2: Tính mô-đun:

\[ r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Bước 3: Tính argument \( \varphi \):

• Tính \( \cos\varphi = \frac{a}{r} \) và \( \sin\varphi = \frac{b}{r} \)
• Hoặc sử dụng \( \tan\varphi = \frac{b}{a} \) rồi xác định góc phần tư

Bước 4: Viết dạng lượng giác:

\[ z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) \]

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lượng giác hóa số phức \( z = 1 + i \)

Giải:

• Phần thực \( a = 1 \), phần ảo \( b = 1 \)
• Mô-đun: \( r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)
• Argument: \( \cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} \), \( \sin\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} \) → \( \varphi = \frac{\pi}{4} \)
• Dạng lượng giác: \( z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) \)

Ví dụ 2: Lượng giác hóa số phức \( z = -1 + i\sqrt{3} \)

Giải:

• Phần thực \( a = -1 \), phần ảo \( b = \sqrt{3} \)
• Mô-đun: \( r = \sqrt{1 + 3} = 2 \)
• Argument: \( \cos\varphi = \frac{-1}{2} \), \( \sin\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2} \) → \( \varphi = \frac{2\pi}{3} \)
• Dạng lượng giác: \( z = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right) \)

Ví dụ 3: Lượng giác hóa số phức \( z = -3 – 3i \)

Giải:

• Phần thực \( a = -3 \), phần ảo \( b = -3 \)
• Mô-đun: \( r = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2} \)
• Argument: \( \cos\varphi = \frac{-3}{3\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \sin\varphi = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) → \( \varphi = -\frac{3\pi}{4} \)
• Dạng lượng giác: \( z = 3\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right) \)

Ngoài dạng lượng giác, số phức còn có dạng mũ của số phức rất hữu ích.

Dạng mũ của số phức

Dạng mũ của số phức là cách biểu diễn gọn nhất, dựa trên công thức Euler.

Công thức Euler

Công thức Euler:

\[ e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi \]

Đây là một trong những công thức đẹp nhất của toán học, liên kết hàm mũ với hàm lượng giác.

Dạng mũ của số phức

Từ công thức Euler, dạng mũ của số phức được viết:

\[ z = re^{i\varphi} \]

Trong đó:

• \( r = |z| \) là mô-đun
• \( \varphi = \arg(z) \) là argument

Mối liên hệ giữa các dạng

Dạng đại số	Dạng lượng giác	Dạng mũ
\( z = a + bi \)	\( z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) \)	\( z = re^{i\varphi} \)

Chuyển đổi:

• Từ đại số sang mũ: \( r = \sqrt{a^2 + b^2} \), \( \varphi = \arg(a + bi) \)
• Từ mũ sang đại số: \( a = r\cos\varphi \), \( b = r\sin\varphi \)

Các số phức đặc biệt dạng mũ

Số phức	Dạng lượng giác	Dạng mũ
\( 1 \)	\( \cos 0 + i\sin 0 \)	\( e^{i \cdot 0} = 1 \)
\( -1 \)	\( \cos\pi + i\sin\pi \)	\( e^{i\pi} \)
\( i \)	\( \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} \)	\( e^{i\frac{\pi}{2}} \)
\( -i \)	\( \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) \)	\( e^{-i\frac{\pi}{2}} \)
\( 1 + i \)	\( \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) \)	\( \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} \)

Hệ thức Euler nổi tiếng:

\[ e^{i\pi} + 1 = 0 \]

Công thức này kết nối 5 hằng số quan trọng: \( e, i, \pi, 1, 0 \).

Tiếp theo, hãy xem phép nhân và công thức chia số phức dạng lượng giác.

Phép nhân và công thức chia số phức dạng lượng giác

Ưu điểm lớn nhất của dạng lượng giác của số phức là giúp thực hiện phép nhân, chia dễ dàng.

Phép nhân hai số phức

Cho \( z_1 = r_1(\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1) \) và \( z_2 = r_2(\cos\varphi_2 + i\sin\varphi_2) \)

Công thức nhân:

\[ z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 [\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)] \]

Quy tắc:

• Mô-đun của tích = Tích các mô-đun: \( |z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2| \)
• Argument của tích = Tổng các argument: \( \arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) \)

Dạng mũ:

\[ z_1 \cdot z_2 = r_1 e^{i\varphi_1} \cdot r_2 e^{i\varphi_2} = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)} \]

Công thức chia số phức

Công thức chia số phức dạng lượng giác:

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} [\cos(\varphi_1 – \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 – \varphi_2)] \quad (z_2 \neq 0) \]

Quy tắc:

• Mô-đun của thương = Thương các mô-đun: \( \left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \)
• Argument của thương = Hiệu các argument: \( \arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) – \arg(z_2) \)

Dạng mũ:

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1 e^{i\varphi_1}}{r_2 e^{i\varphi_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\varphi_1 – \varphi_2)} \]

Ví dụ nhân và chia số phức

Ví dụ 1: Tính \( z_1 \cdot z_2 \) với:

• \( z_1 = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right) \)
• \( z_2 = 3\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) \)

Giải:

\[ z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot 3 \left[\cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}\right)\right] \]

\[ = 6\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) = 6(0 + i \cdot 1) = 6i \]

Ví dụ 2: Tính \( \frac{z_1}{z_2} \) với \( z_1, z_2 \) như trên.

Giải:

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{2}{3} \left[\cos\left(\frac{\pi}{6} – \frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6} – \frac{\pi}{3}\right)\right] \]

\[ = \frac{2}{3}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) \]

\[ = \frac{2}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{1}{2}i\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} – \frac{1}{3}i \]

Bảng tóm tắt công thức

Phép tính	Mô-đun	Argument
\( z_1 \cdot z_2 \)	\( r_1 \cdot r_2 \)	\( \varphi_1 + \varphi_2 \)
\( \frac{z_1}{z_2} \)	\( \frac{r_1}{r_2} \)	\( \varphi_1 – \varphi_2 \)
\( z^n \)	\( r^n \)	\( n\varphi \)
\( \sqrt[n]{z} \)	\( \sqrt[n]{r} \)	\( \frac{\varphi + 2k\pi}{n} \)

Tiếp theo, hãy xem cách tính lũy thừa số phức với công thức De Moivre.

Cách tính lũy thừa số phức – Công thức De Moivre

Cách tính lũy thừa số phức hiệu quả nhất là sử dụng công thức De Moivre.

Công thức De Moivre

Cho \( z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) \) và \( n \in \mathbb{Z} \):

\[ z^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi) \]

Dạng mũ:

\[ z^n = (re^{i\varphi})^n = r^n e^{in\varphi} \]

Trường hợp đặc biệt (r = 1):

\[ (\cos\varphi + i\sin\varphi)^n = \cos n\varphi + i\sin n\varphi \]

Ứng dụng của công thức De Moivre

1. Tính lũy thừa số phức:

Ví dụ: Tính \( (1 + i)^{10} \)

Giải:

Bước 1: Lượng giác hóa \( 1 + i \)

\[ 1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) \]

Bước 2: Áp dụng De Moivre

\[ (1 + i)^{10} = (\sqrt{2})^{10}\left(\cos\frac{10\pi}{4} + i\sin\frac{10\pi}{4}\right) \]

\[ = 32\left(\cos\frac{5\pi}{2} + i\sin\frac{5\pi}{2}\right) \]

\[ = 32\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) = 32(0 + i) = 32i \]

2. Khai triển công thức lượng giác:

Từ \( (\cos\varphi + i\sin\varphi)^n = \cos n\varphi + i\sin n\varphi \)

Khai triển vế trái bằng nhị thức Newton, so sánh phần thực và phần ảo:

• \( \cos 2\varphi = \cos^2\varphi – \sin^2\varphi \)
• \( \sin 2\varphi = 2\sin\varphi\cos\varphi \)
• \( \cos 3\varphi = \cos^3\varphi – 3\cos\varphi\sin^2\varphi = 4\cos^3\varphi – 3\cos\varphi \)
• \( \sin 3\varphi = 3\cos^2\varphi\sin\varphi – \sin^3\varphi = 3\sin\varphi – 4\sin^3\varphi \)

Bảng lũy thừa của một số số phức đặc biệt

Số phức z	\( z^2 \)	\( z^3 \)	\( z^4 \)
\( i \)	\( -1 \)	\( -i \)	\( 1 \)
\( 1 + i \)	\( 2i \)	\( -2 + 2i \)	\( -4 \)
\( 1 + i\sqrt{3} \)	\( -2 + 2i\sqrt{3} \)	\( -8 \)	\( -8 – 8i\sqrt{3} \)
\( \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \)	\( \frac{-1+i\sqrt{3}}{2} \)	\( -1 \)	\( \frac{-1-i\sqrt{3}}{2} \)

Ngoài lũy thừa, ta còn có thể tính căn bậc n của số phức.

Căn bậc n của số phức

Căn bậc n của số phức là phép tính ngược của lũy thừa, cũng sử dụng dạng lượng giác của số phức.

Công thức căn bậc n

Cho \( z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) \neq 0 \) và \( n \in \mathbb{N}^* \):

\[ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\varphi + 2k\pi}{n} + i\sin\frac{\varphi + 2k\pi}{n}\right) \]

với \( k = 0, 1, 2, …, n-1 \)

Nhận xét:

• Số phức \( z \neq 0 \) có đúng \( n \) căn bậc n phân biệt
• Các căn phân bố đều trên đường tròn tâm O, bán kính \( \sqrt[n]{r} \)
• Góc giữa hai căn liên tiếp là \( \frac{2\pi}{n} \)

Ví dụ tính căn bậc n

Ví dụ 1: Tìm tất cả căn bậc 3 của \( z = 8 \)

Giải:

Viết \( 8 = 8(\cos 0 + i\sin 0) \)

\[ \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{8}\left(\cos\frac{0 + 2k\pi}{3} + i\sin\frac{0 + 2k\pi}{3}\right) \]

\[ = 2\left(\cos\frac{2k\pi}{3} + i\sin\frac{2k\pi}{3}\right), \quad k = 0, 1, 2 \]

• \( k = 0 \): \( w_0 = 2(\cos 0 + i\sin 0) = 2 \)
• \( k = 1 \): \( w_1 = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right) = 2\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -1 + i\sqrt{3} \)
• \( k = 2 \): \( w_2 = 2\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\right) = 2\left(-\frac{1}{2} – i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -1 – i\sqrt{3} \)

Ví dụ 2: Tìm tất cả căn bậc 4 của \( z = -1 \)

Giải:

Viết \( -1 = 1(\cos\pi + i\sin\pi) \)

\[ \sqrt[4]{-1} = 1\left(\cos\frac{\pi + 2k\pi}{4} + i\sin\frac{\pi + 2k\pi}{4}\right), \quad k = 0, 1, 2, 3 \]

• \( k = 0 \): \( w_0 = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( k = 1 \): \( w_1 = \cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( k = 2 \): \( w_2 = \cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} – i\frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( k = 3 \): \( w_3 = \cos\frac{7\pi}{4} + i\sin\frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} – i\frac{\sqrt{2}}{2} \)

Căn bậc n của đơn vị

Các căn bậc n của 1 được gọi là căn đơn vị bậc n:

\[ \varepsilon_k = \cos\frac{2k\pi}{n} + i\sin\frac{2k\pi}{n} = e^{i\frac{2k\pi}{n}}, \quad k = 0, 1, …, n-1 \]

Đặt \( \varepsilon = e^{i\frac{2\pi}{n}} \) (căn đơn vị nguyên thủy), thì các căn bậc n của 1 là:

\[ 1, \varepsilon, \varepsilon^2, …, \varepsilon^{n-1} \]

Hãy cùng xem thêm các ví dụ chi tiết về lượng giác hóa số phức.

Ví dụ lượng giác hóa số phức chi tiết

Dưới đây là các ví dụ minh họa dạng lượng giác của số phức từ cơ bản đến nâng cao:

Ví dụ 1: Lượng giác hóa và tính lũy thừa

Đề bài: Tính \( (1 – i\sqrt{3})^6 \)

Lời giải:

Bước 1: Lượng giác hóa

• Mô-đun: \( r = \sqrt{1 + 3} = 2 \)
• Argument: \( \cos\varphi = \frac{1}{2} \), \( \sin\varphi = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) → \( \varphi = -\frac{\pi}{3} \)
• Dạng lượng giác: \( 1 – i\sqrt{3} = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) \)

Bước 2: Áp dụng De Moivre

\[ (1 – i\sqrt{3})^6 = 2^6\left(\cos\left(-\frac{6\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{6\pi}{3}\right)\right) \]

\[ = 64(\cos(-2\pi) + i\sin(-2\pi)) = 64(1 + 0i) = 64 \]

Ví dụ 2: Tính thương số phức

Đề bài: Tính \( \frac{1 + i}{1 – i\sqrt{3}} \) bằng dạng lượng giác.

Lời giải:

Lượng giác hóa:

• \( 1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) \)
• \( 1 – i\sqrt{3} = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) \)

Áp dụng công thức chia số phức:

\[ \frac{1 + i}{1 – i\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4} – \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}\right)\right) \]

\[ = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\frac{7\pi}{12} + i\sin\frac{7\pi}{12}\right) \]

Ví dụ 3: Chứng minh đẳng thức lượng giác

Đề bài: Dùng số phức chứng minh: \( \cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha – 3\cos\alpha \)

Lời giải:

Áp dụng De Moivre:

\[ (\cos\alpha + i\sin\alpha)^3 = \cos 3\alpha + i\sin 3\alpha \]

Khai triển vế trái:

\[ (\cos\alpha + i\sin\alpha)^3 = \cos^3\alpha + 3\cos^2\alpha \cdot i\sin\alpha + 3\cos\alpha \cdot i^2\sin^2\alpha + i^3\sin^3\alpha \]

\[ = \cos^3\alpha + 3i\cos^2\alpha\sin\alpha – 3\cos\alpha\sin^2\alpha – i\sin^3\alpha \]

\[ = (\cos^3\alpha – 3\cos\alpha\sin^2\alpha) + i(3\cos^2\alpha\sin\alpha – \sin^3\alpha) \]

So sánh phần thực:

\[ \cos 3\alpha = \cos^3\alpha – 3\cos\alpha\sin^2\alpha = \cos^3\alpha – 3\cos\alpha(1 – \cos^2\alpha) \]

\[ = \cos^3\alpha – 3\cos\alpha + 3\cos^3\alpha = 4\cos^3\alpha – 3\cos\alpha \] (đpcm)

Ví dụ 4: Tính tổng lượng giác

Đề bài: Tính \( S = \cos\alpha + \cos 2\alpha + … + \cos n\alpha \)

Lời giải:

Xét: \( z = e^{i\alpha} = \cos\alpha + i\sin\alpha \)

\[ z + z^2 + … + z^n = z \cdot \frac{1 – z^n}{1 – z} = \frac{z – z^{n+1}}{1 – z} \]

Lấy phần thực:

\[ S = \text{Re}\left(\frac{z – z^{n+1}}{1 – z}\right) \]

Sau khi tính toán:

\[ S = \frac{\sin\frac{(n+1)\alpha}{2} \cdot \sin\frac{n\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}} \quad (\alpha \neq 2k\pi) \]

Hãy cùng luyện tập với các bài tập về dạng lượng giác của số phức dưới đây.

Bài tập dạng lượng giác của số phức (có lời giải)

Dưới đây là các bài tập về lượng giác hóa số phức từ cơ bản đến nâng cao:

Dạng 1: Lượng giác hóa số phức

Bài tập 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác và dạng mũ:

a) \( z = -2 \)

b) \( z = 3i \)

c) \( z = \sqrt{3} – i \)

d) \( z = -2 – 2i\sqrt{3} \)

Lời giải:

a) \( z = -2 \)

• Mô-đun: \( r = 2 \)
• Argument: \( \varphi = \pi \)
• Dạng lượng giác: \( z = 2(\cos\pi + i\sin\pi) \)
• Dạng mũ: \( z = 2e^{i\pi} \)

b) \( z = 3i \)

• Mô-đun: \( r = 3 \)
• Argument: \( \varphi = \frac{\pi}{2} \)
• Dạng lượng giác: \( z = 3\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) \)
• Dạng mũ: \( z = 3e^{i\frac{\pi}{2}} \)

c) \( z = \sqrt{3} – i \)

• Mô-đun: \( r = \sqrt{3 + 1} = 2 \)
• Argument: \( \cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \sin\varphi = -\frac{1}{2} \) → \( \varphi = -\frac{\pi}{6} \)
• Dạng lượng giác: \( z = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) \)
• Dạng mũ: \( z = 2e^{-i\frac{\pi}{6}} \)

d) \( z = -2 – 2i\sqrt{3} \)

• Mô-đun: \( r = \sqrt{4 + 12} = 4 \)
• Argument: \( \cos\varphi = -\frac{1}{2} \), \( \sin\varphi = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) → \( \varphi = -\frac{2\pi}{3} \)
• Dạng lượng giác: \( z = 4\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right) \)
• Dạng mũ: \( z = 4e^{-i\frac{2\pi}{3}} \)

Dạng 2: Tính lũy thừa số phức

Bài tập 2: Tính:

a) \( (1 + i)^8 \)

b) \( (-1 + i\sqrt{3})^9 \)

c) \( \left(\frac{1 – i}{\sqrt{2}}\right)^{100} \)

Lời giải:

a) \( (1 + i)^8 \)

\( 1 + i = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} \)

\[ (1 + i)^8 = (\sqrt{2})^8 e^{i \cdot 8 \cdot \frac{\pi}{4}} = 16e^{i2\pi} = 16 \]

b) \( (-1 + i\sqrt{3})^9 \)

\( -1 + i\sqrt{3} = 2e^{i\frac{2\pi}{3}} \)

\[ (-1 + i\sqrt{3})^9 = 2^9 e^{i \cdot 9 \cdot \frac{2\pi}{3}} = 512e^{i6\pi} = 512 \]

c) \( \left(\frac{1 – i}{\sqrt{2}}\right)^{100} \)

\( \frac{1 – i}{\sqrt{2}} = e^{-i\frac{\pi}{4}} \)

\[ \left(\frac{1 – i}{\sqrt{2}}\right)^{100} = e^{-i \cdot 100 \cdot \frac{\pi}{4}} = e^{-i25\pi} = e^{-i\pi} = -1 \]

Dạng 3: Tính căn số phức

Bài tập 3: Tìm tất cả căn bậc 3 của \( z = -8i \)

Lời giải:

\( -8i = 8\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) \)

\[ \sqrt[3]{-8i} = 2\left(\cos\frac{-\frac{\pi}{2} + 2k\pi}{3} + i\sin\frac{-\frac{\pi}{2} + 2k\pi}{3}\right) \]

• \( k = 0 \): \( w_0 = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = \sqrt{3} – i \)
• \( k = 1 \): \( w_1 = 2\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) = 2i \)
• \( k = 2 \): \( w_2 = 2\left(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6}\right) = -\sqrt{3} – i \)

Dạng 4: Nhân chia số phức dạng lượng giác

Bài tập 4: Cho \( z_1 = 2\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) \), \( z_2 = 3\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right) \). Tính \( z_1 \cdot z_2 \) và \( \frac{z_1}{z_2} \).

Lời giải:

\[ z_1 \cdot z_2 = 6\left(\cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right)\right) = 6\left(\cos\frac{5\pi}{12} + i\sin\frac{5\pi}{12}\right) \]

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{2}{3}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4} – \frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4} – \frac{\pi}{6}\right)\right) = \frac{2}{3}\left(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}\right) \]

Dạng 5: Bài toán tổng hợp

Bài tập 5: Giải phương trình \( z^4 = -16 \)

Lời giải:

\( -16 = 16(\cos\pi + i\sin\pi) \)

\[ z = \sqrt[4]{16}\left(\cos\frac{\pi + 2k\pi}{4} + i\sin\frac{\pi + 2k\pi}{4}\right), \quad k = 0, 1, 2, 3 \]

• \( k = 0 \): \( z_0 = 2\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} + i\sqrt{2} \)
• \( k = 1 \): \( z_1 = 2\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right) = -\sqrt{2} + i\sqrt{2} \)
• \( k = 2 \): \( z_2 = 2\left(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\right) = -\sqrt{2} – i\sqrt{2} \)
• \( k = 3 \): \( z_3 = 2\left(\cos\frac{7\pi}{4} + i\sin\frac{7\pi}{4}\right) = \sqrt{2} – i\sqrt{2} \)

Bài tập 6: Tính giá trị biểu thức: \( A = (1 + i)^{20} + (1 – i)^{20} \)

Lời giải:

\( 1 + i = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} \) và \( 1 – i = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}} \)

\[ (1 + i)^{20} = (\sqrt{2})^{20}e^{i5\pi} = 2^{10} \cdot e^{i\pi} = -1024 \]

\[ (1 – i)^{20} = (\sqrt{2})^{20}e^{-i5\pi} = 2^{10} \cdot e^{-i\pi} = -1024 \]

\[ A = -1024 + (-1024) = -2048 \]

Bài tập 7: Chứng minh: \( 1 + \varepsilon + \varepsilon^2 + … + \varepsilon^{n-1} = 0 \), với \( \varepsilon = e^{i\frac{2\pi}{n}} \) và \( n \geq 2 \).

Lời giải:

Đây là tổng cấp số nhân với công bội \( \varepsilon \):

\[ S = 1 + \varepsilon + \varepsilon^2 + … + \varepsilon^{n-1} = \frac{1 – \varepsilon^n}{1 – \varepsilon} \]

Vì \( \varepsilon^n = e^{i \cdot n \cdot \frac{2\pi}{n}} = e^{i2\pi} = 1 \), nên:

\[ S = \frac{1 – 1}{1 – \varepsilon} = 0 \] (đpcm)

Kết luận

Qua bài viết này, bạn đã nắm vững kiến thức về lượng giác hóa số phức, bao gồm dạng lượng giác của số phức \( z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) \), dạng mũ của số phức \( z = re^{i\varphi} \), và cách xác định argument của số phức. Các công thức quan trọng cần ghi nhớ: phép nhân (cộng argument), công thức chia số phức (trừ argument), và đặc biệt là công thức De Moivre cho cách tính lũy thừa số phức: \( z^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi) \). Dạng lượng giác và dạng mũ giúp thực hiện các phép tính nhân, chia, lũy thừa và khai căn số phức một cách dễ dàng và trực quan hơn so với dạng đại số.