Phép nhân đa thức một biến: Nhân đa thức cho đa thức lớp 7 chi tiết

Phép nhân đa thức một biến là kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 7, giúp học sinh làm nền tảng cho việc phân tích đa thức và giải phương trình. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn chi tiết về phép nhân đa thức một biến lớp 7, quy tắc nhân đa thức cho đa thức lớp 7 cùng các ví dụ và bài tập minh họa dễ hiểu nhất.

Đa thức một biến là gì?

Trước khi học nhân đa thức, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm đa thức một biến:

Định nghĩa: Đa thức một biến là tổng của các đơn thức có cùng một biến.

Dạng tổng quát:

\[ P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_1x + a_0 \]

Trong đó:

• \( a_n, a_{n-1}, …, a_1, a_0 \) là các hệ số (số thực)
• \( x \) là biến số
• \( n \) là bậc của đa thức (với \( a_n \neq 0 \))

Ví dụ về đa thức một biến:

Đa thức	Bậc	Hệ số cao nhất	Hệ số tự do
\( P(x) = 3x^2 + 2x – 5 \)	2	3	-5
\( Q(x) = x^3 – 4x + 1 \)	3	1	1
\( R(x) = 2x^4 – x^2 + 7 \)	4	2	7
\( S(x) = 5x – 3 \)	1	5	-3

Các khái niệm liên quan:

• Đơn thức: Đa thức chỉ có một hạng tử. Ví dụ: \( 3x^2 \), \( -5x \), \( 7 \)
• Nhị thức: Đa thức có hai hạng tử. Ví dụ: \( x + 2 \), \( 3x^2 – 1 \)
• Tam thức: Đa thức có ba hạng tử. Ví dụ: \( x^2 + 2x + 1 \)

Vậy quy tắc phép nhân đa thức một biến như thế nào? Hãy cùng tìm hiểu chi tiết ngay sau đây.

Quy tắc nhân đa thức một biến

Quy tắc nhân đa thức một biến lớp 7 dựa trên hai nguyên tắc cơ bản:

Nguyên tắc 1: Nhân lũy thừa cùng cơ số

Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ:

\[ x^m \cdot x^n = x^{m+n} \]

Ví dụ:

• \( x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5 \)
• \( x \cdot x^4 = x^{1+4} = x^5 \)
• \( x^3 \cdot x^3 = x^{3+3} = x^6 \)

Nguyên tắc 2: Tính chất phân phối

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia, rồi cộng các tích lại:

\[ (A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C \]

\[ A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C \]

Các bước thực hiện phép nhân đa thức

Bước 1: Nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với mỗi hạng tử của đa thức thứ hai.

Bước 2: Cộng tất cả các tích lại với nhau.

Bước 3: Thu gọn đa thức (cộng các hạng tử đồng dạng).

Bước 4: Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần (hoặc tăng dần) của biến.

Lưu ý khi nhân đa thức:

• Chú ý dấu của các hạng tử: (+) × (+) = (+), (+) × (−) = (−), (−) × (−) = (+)
• Nhân hệ số với hệ số, cộng số mũ của các biến cùng loại
• Không bỏ sót hạng tử nào khi nhân
• Luôn thu gọn và sắp xếp kết quả

Hãy cùng xem chi tiết cách nhân đơn thức với đa thức trước.

Nhân đơn thức với đa thức

Đây là dạng cơ bản nhất của phép nhân đa thức một biến.

Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức, rồi cộng các tích lại.

\[ A \cdot (B + C + D) = A \cdot B + A \cdot C + A \cdot D \]

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính \( 2x \cdot (3x^2 + 4x – 5) \)

Giải:

\[ 2x \cdot (3x^2 + 4x – 5) \]

\[ = 2x \cdot 3x^2 + 2x \cdot 4x + 2x \cdot (-5) \]

\[ = 6x^3 + 8x^2 – 10x \]

Ví dụ 2: Tính \( -3x^2 \cdot (2x^3 – x + 4) \)

Giải:

\[ -3x^2 \cdot (2x^3 – x + 4) \]

\[ = (-3x^2) \cdot 2x^3 + (-3x^2) \cdot (-x) + (-3x^2) \cdot 4 \]

\[ = -6x^5 + 3x^3 – 12x^2 \]

Ví dụ 3: Tính \( 5x^2 \cdot (x^2 – 3x + 2) \)

Giải:

\[ 5x^2 \cdot (x^2 – 3x + 2) \]

\[ = 5x^2 \cdot x^2 + 5x^2 \cdot (-3x) + 5x^2 \cdot 2 \]

\[ = 5x^4 – 15x^3 + 10x^2 \]

Bảng tóm tắt nhân đơn thức với đa thức

Đơn thức	Đa thức	Kết quả
\( 3x \)	\( x + 2 \)	\( 3x^2 + 6x \)
\( -2x^2 \)	\( x^2 – 3x + 1 \)	\( -2x^4 + 6x^3 – 2x^2 \)
\( 4x^3 \)	\( 2x – 5 \)	\( 8x^4 – 20x^3 \)
\( -x \)	\( x^3 + x^2 – x + 1 \)	\( -x^4 – x^3 + x^2 – x \)

Tiếp theo, hãy xem cách nhân đa thức cho đa thức lớp 7 chi tiết.

Nhân đa thức cho đa thức

Nhân đa thức cho đa thức lớp 7 là phép tính mở rộng của nhân đơn thức với đa thức.

Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia, rồi cộng các tích lại.

\[ (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD \]

Phương pháp 1: Nhân theo hàng ngang

Ví dụ: Tính \( (x + 2)(x + 3) \)

Giải:

\[ (x + 2)(x + 3) \]

\[ = x \cdot (x + 3) + 2 \cdot (x + 3) \]

\[ = x^2 + 3x + 2x + 6 \]

\[ = x^2 + 5x + 6 \]

Phương pháp 2: Nhân chéo (sơ đồ)

Với phép nhân hai nhị thức \( (ax + b)(cx + d) \):

	\( cx \)	\( d \)
\( ax \)	\( acx^2 \)	\( adx \)
\( b \)	\( bcx \)	\( bd \)

Kết quả: \( acx^2 + (ad + bc)x + bd \)

Ví dụ: Tính \( (2x + 3)(x – 4) \)

	\( x \)	\( -4 \)
\( 2x \)	\( 2x^2 \)	\( -8x \)
\( 3 \)	\( 3x \)	\( -12 \)

\[ (2x + 3)(x – 4) = 2x^2 + (-8x + 3x) + (-12) = 2x^2 – 5x – 12 \]

Phương pháp 3: Nhân theo cột dọc

Tương tự như nhân số học, ta đặt phép tính theo cột:

Ví dụ: Tính \( (x^2 + 2x + 3)(x + 2) \)

        x² + 2x + 3
    ×        x + 2
    ─────────────────
       2x² + 4x + 6      (nhân với 2)
    x³ + 2x² + 3x        (nhân với x)
    ─────────────────
    x³ + 4x² + 7x + 6    (cộng lại)

Kết quả: \( x^3 + 4x^2 + 7x + 6 \)

Công thức nhân hai nhị thức bậc nhất

\[ (x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab \]

Ví dụ áp dụng:

• \( (x + 3)(x + 5) = x^2 + 8x + 15 \) (vì \( 3 + 5 = 8 \), \( 3 \times 5 = 15 \))
• \( (x – 2)(x + 7) = x^2 + 5x – 14 \) (vì \( -2 + 7 = 5 \), \( (-2) \times 7 = -14 \))
• \( (x – 4)(x – 3) = x^2 – 7x + 12 \) (vì \( -4 + (-3) = -7 \), \( (-4) \times (-3) = 12 \))

Ngoài ra, trong nhân đa thức, các hằng đẳng thức đáng nhớ rất quan trọng.

Các hằng đẳng thức đáng nhớ trong nhân đa thức

Khi thực hiện phép nhân đa thức một biến lớp 7, các hằng đẳng thức sau rất hữu ích:

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

STT	Tên gọi	Công thức
1	Bình phương của tổng	\( (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \)
2	Bình phương của hiệu	\( (A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2 \)
3	Hiệu hai bình phương	\( A^2 – B^2 = (A + B)(A – B) \)
4	Lập phương của tổng	\( (A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 \)
5	Lập phương của hiệu	\( (A – B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3 \)
6	Tổng hai lập phương	\( A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2) \)
7	Hiệu hai lập phương	\( A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2) \)

Ví dụ áp dụng hằng đẳng thức

Ví dụ 1: Tính \( (x + 3)^2 \)

\[ (x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9 \]

Ví dụ 2: Tính \( (2x – 5)^2 \)

\[ (2x – 5)^2 = (2x)^2 – 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 = 4x^2 – 20x + 25 \]

Ví dụ 3: Tính \( (x + 4)(x – 4) \)

\[ (x + 4)(x – 4) = x^2 – 4^2 = x^2 – 16 \]

Ví dụ 4: Tính \( (x + 2)^3 \)

\[ (x + 2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 4 + 8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \]

Hãy cùng xem thêm các ví dụ chi tiết về nhân đa thức cho đa thức lớp 7.

Ví dụ nhân đa thức một biến chi tiết

Dưới đây là các ví dụ minh họa phép nhân đa thức một biến từ cơ bản đến nâng cao:

Ví dụ 1: Nhân hai nhị thức

Đề bài: Tính \( (3x – 2)(2x + 5) \)

Lời giải:

\[ (3x – 2)(2x + 5) \]

\[ = 3x \cdot 2x + 3x \cdot 5 + (-2) \cdot 2x + (-2) \cdot 5 \]

\[ = 6x^2 + 15x – 4x – 10 \]

\[ = 6x^2 + 11x – 10 \]

Ví dụ 2: Nhân nhị thức với tam thức

Đề bài: Tính \( (x + 3)(x^2 – 2x + 4) \)

Lời giải:

\[ (x + 3)(x^2 – 2x + 4) \]

\[ = x(x^2 – 2x + 4) + 3(x^2 – 2x + 4) \]

\[ = x^3 – 2x^2 + 4x + 3x^2 – 6x + 12 \]

\[ = x^3 + (-2x^2 + 3x^2) + (4x – 6x) + 12 \]

\[ = x^3 + x^2 – 2x + 12 \]

Ví dụ 3: Nhân hai tam thức

Đề bài: Tính \( (x^2 + x + 1)(x^2 – x + 1) \)

Lời giải:

Đặt \( A = x^2 + 1 \), ta có:

\[ (x^2 + x + 1)(x^2 – x + 1) = (A + x)(A – x) = A^2 – x^2 \]

\[ = (x^2 + 1)^2 – x^2 \]

\[ = x^4 + 2x^2 + 1 – x^2 \]

\[ = x^4 + x^2 + 1 \]

Ví dụ 4: Nhân và thu gọn biểu thức

Đề bài: Thu gọn biểu thức \( A = (x + 2)(x – 2) – (x + 1)^2 \)

Lời giải:

\[ A = (x + 2)(x – 2) – (x + 1)^2 \]

\[ = (x^2 – 4) – (x^2 + 2x + 1) \]

\[ = x^2 – 4 – x^2 – 2x – 1 \]

\[ = -2x – 5 \]

Ví dụ 5: Chứng minh đẳng thức

Đề bài: Chứng minh \( (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1 \) là bình phương của một đa thức.

Lời giải:

Nhóm: \( [(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] + 1 \)

\[ = (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) + 1 \]

Đặt \( t = x^2 + 5x + 5 \), ta có:

\[ = (t – 1)(t + 1) + 1 = t^2 – 1 + 1 = t^2 \]

\[ = (x^2 + 5x + 5)^2 \]

Vậy biểu thức là bình phương của đa thức \( x^2 + 5x + 5 \). (đpcm)

Ví dụ 6: Tìm hệ số

Đề bài: Tìm hệ số của \( x^2 \) trong khai triển \( (2x + 1)(x^2 – 3x + 2) \)

Lời giải:

\[ (2x + 1)(x^2 – 3x + 2) \]

\[ = 2x \cdot x^2 + 2x \cdot (-3x) + 2x \cdot 2 + 1 \cdot x^2 + 1 \cdot (-3x) + 1 \cdot 2 \]

\[ = 2x^3 – 6x^2 + 4x + x^2 – 3x + 2 \]

\[ = 2x^3 + (-6 + 1)x^2 + (4 – 3)x + 2 \]

\[ = 2x^3 – 5x^2 + x + 2 \]

Đáp án: Hệ số của \( x^2 \) là \( -5 \)

Hãy cùng luyện tập với các bài tập về nhân đa thức lớp 7 dưới đây.

Bài tập nhân đa thức lớp 7 (có lời giải)

Dưới đây là các bài tập về nhân đa thức cho đa thức lớp 7 từ cơ bản đến nâng cao:

Dạng 1: Nhân đơn thức với đa thức

Bài tập 1: Thực hiện phép nhân:

a) \( 3x^2(2x – 5) \)

b) \( -2x(x^2 + 3x – 4) \)

c) \( 5x^3(x^2 – 2x + 1) \)

Lời giải:

a) \( 3x^2(2x – 5) = 6x^3 – 15x^2 \)

b) \( -2x(x^2 + 3x – 4) = -2x^3 – 6x^2 + 8x \)

c) \( 5x^3(x^2 – 2x + 1) = 5x^5 – 10x^4 + 5x^3 \)

Dạng 2: Nhân hai đa thức

Bài tập 2: Thực hiện phép nhân:

a) \( (x + 4)(x – 3) \)

b) \( (2x – 1)(3x + 2) \)

c) \( (x – 5)(x + 5) \)

d) \( (x + 2)(x^2 – 2x + 4) \)

Lời giải:

a) \( (x + 4)(x – 3) \)

\[ = x^2 – 3x + 4x – 12 = x^2 + x – 12 \]

b) \( (2x – 1)(3x + 2) \)

\[ = 6x^2 + 4x – 3x – 2 = 6x^2 + x – 2 \]

c) \( (x – 5)(x + 5) \)

\[ = x^2 – 25 \] (áp dụng hằng đẳng thức)

d) \( (x + 2)(x^2 – 2x + 4) \)

\[ = x^3 + 8 \] (áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương)

Dạng 3: Khai triển và thu gọn

Bài tập 3: Khai triển và thu gọn:

a) \( (x + 3)^2 – (x – 2)^2 \)

b) \( (2x + 1)^2 + (2x – 1)^2 \)

c) \( (x + 1)(x – 1)(x^2 + 1) \)

Lời giải:

a) \( (x + 3)^2 – (x – 2)^2 \)

\[ = (x^2 + 6x + 9) – (x^2 – 4x + 4) \]

\[ = x^2 + 6x + 9 – x^2 + 4x – 4 \]

\[ = 10x + 5 \]

Cách khác: Áp dụng \( A^2 – B^2 = (A+B)(A-B) \)

\[ = [(x+3) + (x-2)][(x+3) – (x-2)] \]

\[ = (2x + 1)(5) = 10x + 5 \]

b) \( (2x + 1)^2 + (2x – 1)^2 \)

\[ = (4x^2 + 4x + 1) + (4x^2 – 4x + 1) \]

\[ = 8x^2 + 2 \]

c) \( (x + 1)(x – 1)(x^2 + 1) \)

\[ = (x^2 – 1)(x^2 + 1) \]

\[ = x^4 – 1 \]

Dạng 4: Tìm x

Bài tập 4: Tìm x, biết:

a) \( (x + 2)(x + 3) – (x – 2)(x + 5) = 6 \)

b) \( (2x – 1)^2 – (2x + 3)^2 = 5 \)

Lời giải:

a) \( (x + 2)(x + 3) – (x – 2)(x + 5) = 6 \)

\[ (x^2 + 5x + 6) – (x^2 + 3x – 10) = 6 \]

\[ x^2 + 5x + 6 – x^2 – 3x + 10 = 6 \]

\[ 2x + 16 = 6 \]

\[ 2x = -10 \]

\[ x = -5 \]

b) \( (2x – 1)^2 – (2x + 3)^2 = 5 \)

\[ [(2x-1) – (2x+3)][(2x-1) + (2x+3)] = 5 \]

\[ (-4)(4x + 2) = 5 \]

\[ -16x – 8 = 5 \]

\[ -16x = 13 \]

\[ x = -\frac{13}{16} \]

Dạng 5: Chứng minh

Bài tập 5: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \( (a + b)^2 – (a – b)^2 = 4ab \)

b) \( (a + b)^2 + (a – b)^2 = 2(a^2 + b^2) \)

Lời giải:

a) \( (a + b)^2 – (a – b)^2 \)

\[ = (a^2 + 2ab + b^2) – (a^2 – 2ab + b^2) \]

\[ = a^2 + 2ab + b^2 – a^2 + 2ab – b^2 \]

\[ = 4ab \] (đpcm)

b) \( (a + b)^2 + (a – b)^2 \)

\[ = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 – 2ab + b^2) \]

\[ = 2a^2 + 2b^2 \]

\[ = 2(a^2 + b^2) \] (đpcm)

Dạng 6: Bài toán nâng cao

Bài tập 6: Tính giá trị biểu thức \( A = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \) tại \( x = 99 \)

Lời giải:

Nhận dạng: \( A = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x + 1)^3 \)

Với \( x = 99 \):

\[ A = (99 + 1)^3 = 100^3 = 1000000 \]

Bài tập 7: Cho \( P(x) = x^2 + ax + b \). Biết \( P(x) \cdot (x – 2) = x^3 – 6x + 4 \). Tìm a và b.

Lời giải:

\[ (x^2 + ax + b)(x – 2) = x^3 – 6x + 4 \]

\[ x^3 + ax^2 + bx – 2x^2 – 2ax – 2b = x^3 – 6x + 4 \]

\[ x^3 + (a – 2)x^2 + (b – 2a)x – 2b = x^3 + 0x^2 – 6x + 4 \]

Đồng nhất hệ số:

• Hệ số \( x^2 \): \( a – 2 = 0 \Rightarrow a = 2 \)
• Hệ số \( x^0 \): \( -2b = 4 \Rightarrow b = -2 \)

Kiểm tra: \( b – 2a = -2 – 4 = -6 \) ✓

Đáp án: \( a = 2, b = -2 \)

Kết luận

Qua bài viết này, bạn đã nắm vững kiến thức về phép nhân đa thức một biến, bao gồm quy tắc nhân đơn thức với đa thức và nhân đa thức cho đa thức lớp 7. Hãy ghi nhớ nguyên tắc quan trọng: Nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia, rồi cộng các tích lại và thu gọn. Khi thực hiện nhân đa thức, cần chú ý quy tắc dấu, nhân lũy thừa cùng cơ số (cộng số mũ), và không bỏ sót hạng tử. Việc nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ sẽ giúp bạn tính toán nhanh hơn trong phép nhân đa thức một biến lớp 7. Đây là kiến thức nền tảng quan trọng để học tiếp phân tích đa thức thành nhân tử và giải phương trình ở các lớp cao hơn.