Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm: Điều kiện, khi nào và cách giải

Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm là nội dung quan trọng trong chương trình Toán THPT và Đại học, đồng thời xuất hiện trong nhiều bài toán thuộc khoa học và kỹ thuật. Phương trình bậc 3 có dạng ax³ + bx² + cx + d = 0 (a ≠ 0) và luôn có 3 nghiệm nếu tính cả nghiệm phức và nghiệm bội; riêng trường hợp có 3 nghiệm thực phân biệt cần thỏa mãn Δ > 0. Nội dung dưới đây tổng hợp từ kiến thức nền tảng đến công thức và các phương pháp giải thường gặp.

1. Tổng quan về phương trình bậc 3

Muốn xác định khi nào phương trình bậc 3 có 3 nghiệm, trước hết cần hiểu dạng tổng quát và những tính chất cơ bản của loại phương trình này.

1.1. Khái niệm phương trình bậc ba

Phương trình bậc 3 (hay phương trình bậc ba) có dạng:

\[ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \quad (a \neq 0) \]

Trong đó:

• a, b, c, d: các hệ số thực (hoặc phức)
• a ≠ 0: điều kiện bảo đảm phương trình có bậc 3
• x: ẩn số cần xác định

1.2. Cách đưa phương trình về dạng rút gọn

Thông qua phép đổi biến \( x = t – \frac{b}{3a} \), phương trình ban đầu có thể chuyển thành:

\[ t^3 + pt + q = 0 \]

Với:

\[ p = \frac{3ac – b^2}{3a^2}, \quad q = \frac{2b^3 – 9abc + 27a^2d}{27a^3} \]

1.3. Phương trình bậc 3 có bao nhiêu nghiệm?

Theo định lý đại số cơ bản, một đa thức bậc n có đúng n nghiệm khi tính cả nghiệm phức và nghiệm lặp theo số bội.

Vì vậy, xét trên tập số phức, phương trình bậc 3 luôn có 3 nghiệm.

1.4. Ba dạng nghiệm thường gặp

2. Khi nào phương trình bậc 3 có 3 nghiệm thực?

Biệt thức là công cụ trực tiếp để phân loại số nghiệm thực của phương trình bậc ba.

2.1. Biệt thức Δ của phương trình bậc ba

Xét phương trình:

\[ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \]

Biệt thức được xác định bởi:

\[ \Delta = 18abcd – 4b^3d + b^2c^2 – 4ac^3 – 27a^2d^2 \]

2.2. Phân loại nghiệm dựa vào dấu của Δ

2.3. Xét biệt thức ở dạng phương trình rút gọn

Đối với:

\[ t^3 + pt + q = 0 \]

ta có:

\[ \Delta = -4p^3 – 27q^2 \]

Ngoài ra có thể đặt:

\[ D = \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} \]

2.4. Minh họa cách kiểm tra bằng Δ

Ví dụ: Xét phương trình x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 có 3 nghiệm thực hay không.

Ta có:

a = 1, b = −6, c = 11, d = −6

\[ \Delta = 18(1)(-6)(11)(-6) – 4(-6)^3(-6) + (-6)^2(11)^2 – 4(1)(11)^3 – 27(1)^2(-6)^2 \]

\[ = 7128 – 5184 + 4356 – 5324 – 972 = 4 > 0 \]

Suy ra phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt.

3. Công thức nghiệm phương trình bậc 3 (Công thức Cardano)

Công thức tìm nghiệm của phương trình bậc 3 có 3 nghiệm:

3.1. Công thức Cardano

Cho phương trình dạng rút gọn: \( t^3 + pt + q = 0 \)

Đặt:

\[ D = \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} \]

\[ u = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{D}}, \quad v = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} – \sqrt{D}} \]

Nghiệm của phương trình:

\[ t_1 = u + v \]

\[ t_2 = -\frac{u+v}{2} + \frac{(u-v)\sqrt{3}}{2}i \]

\[ t_3 = -\frac{u+v}{2} – \frac{(u-v)\sqrt{3}}{2}i \]

3.2. Trường hợp D < 0 (3 nghiệm thực)

Khi D < 0, sử dụng công thức lượng giác:

Đặt \( \cos\phi = \frac{-q/2}{\sqrt{-p^3/27}} = \frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}} \) với p < 0

Ba nghiệm thực:

\[ t_k = 2\sqrt{\frac{-p}{3}}\cos\left(\frac{\phi + 2k\pi}{3}\right), \quad k = 0, 1, 2 \]

3.3. Trường hợp D = 0

Khi D = 0:

• Nếu p = q = 0: Nghiệm bội 3 là t = 0
• Nếu p ≠ 0: Nghiệm đơn \( t_1 = \frac{3q}{p} \), nghiệm kép \( t_2 = t_3 = -\frac{3q}{2p} \)

3.4. Trường hợp D > 0

Khi D > 0: Một nghiệm thực và hai nghiệm phức liên hợp

\[ t_1 = u + v = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{D}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} – \sqrt{D}} \]

3.5. Quay về nghiệm ban đầu

Từ nghiệm t, tìm x bằng:

\[ x = t – \frac{b}{3a} \]

3.6. Bảng tổng hợp công thức

4. Hệ thức Viète cho phương trình bậc 3

Hệ thức quan trọng khi phương trình bậc 3 có 3 nghiệm x₁, x₂, x₃:

4.1. Công thức Viète

Cho phương trình \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \) có 3 nghiệm x₁, x₂, x₃:

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} \\ x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = \frac{c}{a} \\ x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a} \end{cases} \]

4.2. Ký hiệu gọn

Đặt:

• \( S_1 = x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} \)
• \( S_2 = x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = \frac{c}{a} \)
• \( S_3 = x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a} \)

4.3. Công thức Newton (Tổng lũy thừa nghiệm)

Đặt \( P_k = x_1^k + x_2^k + x_3^k \)

4.4. Các hệ thức mở rộng

\[ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = S_1^2 – 2S_2 \]

\[ x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = S_1^3 – 3S_1S_2 + 3S_3 \]

\[ (x_1 – x_2)^2(x_2 – x_3)^2(x_3 – x_1)^2 = -\frac{\Delta}{a^4} \]

\[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{S_2}{S_3} = -\frac{c}{d} \]

4.5. Ví dụ áp dụng Viète

Ví dụ: Cho phương trình x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 có 3 nghiệm x₁, x₂, x₃. Tính x₁² + x₂² + x₃².

Lời giải:

Theo Viète: S₁ = 6, S₂ = 11, S₃ = 6

\[ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = S_1^2 – 2S_2 = 36 – 22 = 14 \]

5. Các phương pháp giải phương trình bậc 3

Các phương pháp tìm nghiệm của phương trình bậc 3 có 3 nghiệm:

5.1. Phương pháp nhẩm nghiệm

Định lý nghiệm hữu tỉ: Nếu phương trình ax³ + bx² + cx + d = 0 (a, b, c, d ∈ ℤ) có nghiệm hữu tỉ p/q (p/q tối giản) thì p | d và q | a.

Các bước:

1. Liệt kê các ước của d và a
2. Thử các giá trị p/q
3. Khi tìm được nghiệm x₁, chia đa thức cho (x − x₁)
4. Giải phương trình bậc 2 còn lại

Ví dụ: Giải x³ − 6x² + 11x − 6 = 0

Ước của 6: ±1, ±2, ±3, ±6

Thử x = 1: 1 − 6 + 11 − 6 = 0 ✓

Chia: (x³ − 6x² + 11x − 6) : (x − 1) = x² − 5x + 6

Giải x² − 5x + 6 = 0 ⟹ x = 2 hoặc x = 3

Nghiệm: x ∈ {1, 2, 3}

5.2. Phương pháp Horner

Sơ đồ Horner để chia đa thức nhanh:

Nếu dư = 0 thì x₀ là nghiệm.

5.3. Phương pháp đặt ẩn phụ

Dạng 1: Phương trình đối xứng: ax³ + bx² + bx + a = 0

Nhóm: a(x³ + 1) + bx(x + 1) = 0

(x + 1)[a(x² − x + 1) + bx] = 0

Dạng 2: Phương trình ax³ + bx² − bx − a = 0

Nhóm: a(x³ − 1) + bx(x − 1) = 0

5.4. Phương pháp Cardano

Áp dụng công thức Cardano (đã trình bày ở mục 3)

5.5. Phương pháp lượng giác

Sử dụng khi Δ > 0 (có 3 nghiệm thực phân biệt)

5.6. So sánh các phương pháp

6. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt

Điều kiện và tính chất của phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt:

6.1. Điều kiện có 3 nghiệm thực phân biệt

\[ \Delta = 18abcd – 4b^3d + b^2c^2 – 4ac^3 – 27a^2d^2 > 0 \]

6.2. Sử dụng đạo hàm

Cho f(x) = ax³ + bx² + cx + d

f'(x) = 3ax² + 2bx + c

Điều kiện có 3 nghiệm phân biệt:

1. f'(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x₁ < x₂ (Δ’ > 0)
2. f(x₁) × f(x₂) < 0

6.3. Công thức tính Δ’ của f'(x)

\[ \Delta’ = 4b^2 – 12ac = 4(b^2 – 3ac) \]

Điều kiện Δ’ > 0: \( b^2 – 3ac > 0 \)

6.4. Điểm cực trị

Khi Δ’ > 0, hai điểm cực trị:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 3ac}}{3a} \]

6.5. Ví dụ

Đề bài: Tìm m để phương trình x³ − 3x² + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Lời giải:

f(x) = x³ − 3x² + m

f'(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2) = 0

⟹ x₁ = 0, x₂ = 2

Điều kiện: f(0) × f(2) < 0

f(0) = m

f(2) = 8 − 12 + m = m − 4

m(m − 4) < 0 ⟺ 0 < m < 4

Kết quả: 0 < m < 4

7. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm là cấp số cộng

Dạng đặc biệt của phương trình bậc 3 có 3 nghiệm:

7.1. Đặt nghiệm

Nếu 3 nghiệm lập thành cấp số cộng, đặt:

\[ x_1 = \alpha – d, \quad x_2 = \alpha, \quad x_3 = \alpha + d \]

Trong đó α là số hạng giữa, d là công sai.

7.2. Áp dụng Viète

Từ Viète:

\[ x_1 + x_2 + x_3 = 3\alpha = -\frac{b}{a} \]

\[ \Rightarrow \alpha = -\frac{b}{3a} \]

Nhận xét quan trọng: Số hạng giữa của CSC luôn bằng \( -\frac{b}{3a} \)

7.3. Phương pháp giải

Bước 1: Tìm α = −b/(3a)

Bước 2: Thay x = α vào phương trình, kiểm tra có phải nghiệm không

Bước 3: Chia đa thức cho (x − α), giải phương trình bậc 2

7.4. Ví dụ

Đề bài: Giải phương trình x³ − 9x² + 23x − 15 = 0, biết 3 nghiệm lập thành CSC

Lời giải:

α = 9/3 = 3

Kiểm tra: 27 − 81 + 69 − 15 = 0 ✓

Chia: (x³ − 9x² + 23x − 15) : (x − 3) = x² − 6x + 5

Giải x² − 6x + 5 = 0 ⟹ x = 1 hoặc x = 5

Nghiệm: x ∈ {1, 3, 5} (CSC với d = 2)

8. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm là cấp số nhân

Một dạng đặc biệt khác của phương trình bậc 3 có 3 nghiệm:

8.1. Đặt nghiệm

Nếu 3 nghiệm lập thành cấp số nhân, đặt:

\[ x_1 = \frac{\alpha}{q}, \quad x_2 = \alpha, \quad x_3 = \alpha q \]

Trong đó α là số hạng giữa, q là công bội.

8.2. Áp dụng Viète

Từ Viète:

\[ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = \frac{\alpha}{q} \cdot \alpha \cdot \alpha q = \alpha^3 = -\frac{d}{a} \]

\[ \Rightarrow \alpha = \sqrt[3]{-\frac{d}{a}} \]

Nhận xét quan trọng: Số hạng giữa của CSN luôn bằng \( \sqrt[3]{-\frac{d}{a}} \)

8.3. Phương pháp giải

Bước 1: Tìm α = ∛(−d/a)

Bước 2: Kiểm tra α có phải nghiệm không

Bước 3: Chia đa thức, giải phương trình bậc 2

8.4. Ví dụ

Đề bài: Giải phương trình x³ − 7x² + 7x + 15 = 0, biết 3 nghiệm lập thành CSN

Lời giải:

Tích 3 nghiệm = −15

Thử: (−1) × 3 × 5 = −15 và −1, 3, 5 không lập CSN

Thử: 5 × 3 × (−1) với thứ tự: −1, ?, 5 → không phải CSN

Thử: (−1), 3, (−5) → không phải CSN vì khác dấu

Cách khác: α³ = 15 → α không nguyên

Nhẩm nghiệm: x = −1: −1 − 7 − 7 + 15 = 0 ✓

Chia: x² − 8x + 15 = 0 ⟹ x = 3 hoặc x = 5

Nghiệm: x ∈ {−1, 3, 5}

Kiểm tra CSN: −1, 3, 5 không lập CSN (đề bài sai hoặc không có CSN)

8.5. Ví dụ đúng về CSN

Đề bài: Giải x³ − 14x² + 56x − 64 = 0, biết 3 nghiệm lập CSN

Lời giải:

α³ = 64 → α = 4

Kiểm tra: 64 − 224 + 224 − 64 = 0 ✓

Chia: x² − 10x + 16 = 0 ⟹ x = 2 hoặc x = 8

Nghiệm: x ∈ {2, 4, 8} (CSN với q = 2)

9. Ứng dụng của phương trình bậc 3

Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm được ứng dụng rộng rãi:

9.1. Trong Hình học

• Bài toán nhân đôi hình lập phương (∛2)
• Chia góc làm 3 phần bằng nhau
• Tính thể tích, diện tích

9.2. Trong Vật lý

• Phương trình trạng thái khí Van der Waals
• Bài toán dao động
• Quang học

9.3. Trong Kỹ thuật

• Thiết kế cầu, nhà
• Tính toán dòng chảy
• Điều khiển tự động

9.4. Trong Kinh tế

• Mô hình tối ưu hóa
• Phân tích chi phí – lợi nhuận

10. Ví dụ và bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Để nắm vững kiến thức về phương trình bậc 3 có 3 nghiệm, hãy làm các bài tập sau:

Bài tập 1: Giải phương trình bằng nhẩm nghiệm

Đề bài: Giải phương trình x³ − 7x + 6 = 0

Lời giải:

Thử x = 1: 1 − 7 + 6 = 0 ✓

Thử x = 2: 8 − 14 + 6 = 0 ✓

Chia: (x³ − 7x + 6) : (x − 1) = x² + x − 6

Giải x² + x − 6 = 0: x = 2 hoặc x = −3

Kết quả: x ∈ {−3, 1, 2}

Bài tập 2: Giải phương trình đối xứng

Đề bài: Giải phương trình 2x³ + 5x² + 5x + 2 = 0

Lời giải:

Nhận thấy: Hệ số đối xứng (2, 5, 5, 2)

Thử x = −1: −2 + 5 − 5 + 2 = 0 ✓

Nhóm: 2(x³ + 1) + 5x(x + 1) = 0

(x + 1)[2(x² − x + 1) + 5x] = 0

(x + 1)(2x² + 3x + 2) = 0

2x² + 3x + 2 = 0: Δ = 9 − 16 = −7 < 0 (vô nghiệm thực)

Kết quả: x = −1 (nghiệm thực duy nhất)

Bài tập 3: Tìm điều kiện có 3 nghiệm phân biệt

Đề bài: Tìm m để phương trình x³ − 3x + m = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt

Lời giải:

f(x) = x³ − 3x + m

f'(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1) = 0 ⟹ x = ±1

Điều kiện: f(−1) × f(1) < 0

f(−1) = −1 + 3 + m = m + 2

f(1) = 1 − 3 + m = m − 2

(m + 2)(m − 2) < 0

m² − 4 < 0

−2 < m < 2

Kết quả: −2 < m < 2

Bài tập 4: Áp dụng Viète

Đề bài: Cho phương trình x³ − 5x² + 8x − 4 = 0 có 3 nghiệm x₁, x₂, x₃. Tính giá trị biểu thức A = x₁³ + x₂³ + x₃³

Lời giải:

Theo Viète:

• S₁ = x₁ + x₂ + x₃ = 5
• S₂ = x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ = 8
• S₃ = x₁x₂x₃ = 4

Công thức Newton:

\[ x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = S_1^3 – 3S_1S_2 + 3S_3 \]

\[ = 125 – 3(5)(8) + 3(4) = 125 – 120 + 12 = 17 \]

Kết quả: A = 17

Bài tập 5: Phương trình có 3 nghiệm lập CSC

Đề bài: Giải phương trình 2x³ − 9x² + 12x − 5 = 0, biết 3 nghiệm lập thành CSC

Lời giải:

Số hạng giữa: α = 9/(3×2) = 3/2

Kiểm tra x = 3/2:

2(27/8) − 9(9/4) + 12(3/2) − 5

= 27/4 − 81/4 + 18 − 5

= −54/4 + 13 = −13.5 + 13 = −0.5 ≠ 0

Vậy 3/2 không phải nghiệm. Nhẩm lại:

x = 1: 2 − 9 + 12 − 5 = 0 ✓

Chia: (2x³ − 9x² + 12x − 5) : (x − 1) = 2x² − 7x + 5

Giải 2x² − 7x + 5 = 0:

x = (7 ± 3)/4 ⟹ x = 5/2 hoặc x = 1

Nghiệm: x = 1 (nghiệm kép), x = 5/2

Bài tập 6: Tính tổng nghịch đảo

Đề bài: Cho phương trình x³ − 4x² + 5x − 2 = 0 có 3 nghiệm x₁, x₂, x₃. Tính \( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} \)

Lời giải:

\[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{x_2x_3 + x_1x_3 + x_1x_2}{x_1x_2x_3} = \frac{S_2}{S_3} \]

Theo Viète: S₂ = 5, S₃ = 2

\[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{5}{2} \]

Kết quả: 5/2

Bài tập 7: Giải bằng Cardano

Đề bài: Giải phương trình x³ + 6x − 20 = 0

Lời giải:

Dạng t³ + pt + q = 0 với p = 6, q = −20

\[ D = \frac{(-20)^2}{4} + \frac{6^3}{27} = 100 + 8 = 108 > 0 \]

Vậy phương trình có 1 nghiệm thực.

\[ u = \sqrt[3]{10 + \sqrt{108}} = \sqrt[3]{10 + 6\sqrt{3}} \]

\[ v = \sqrt[3]{10 – \sqrt{108}} = \sqrt[3]{10 – 6\sqrt{3}} \]

Nhận xét: \( 10 + 6\sqrt{3} = (1 + \sqrt{3})^3 \) (kiểm tra: 1 + 3√3 + 9 + 3√3 = 10 + 6√3 ✓)

Tương tự: \( 10 – 6\sqrt{3} = (1 – \sqrt{3})^3 \)

u = 1 + √3, v = 1 − √3

t = u + v = 2

Kết quả: x = 2

Bài tập 8: Lập phương trình biết 3 nghiệm

Đề bài: Lập phương trình bậc 3 có 3 nghiệm là 2, 3, 5

Lời giải:

Phương trình có dạng: (x − 2)(x − 3)(x − 5) = 0

Khai triển:

= (x² − 5x + 6)(x − 5)

= x³ − 5x² − 5x² + 25x + 6x − 30

= x³ − 10x² + 31x − 30

Kết quả: x³ − 10x² + 31x − 30 = 0

Bài tập 9: Tìm m để phương trình có nghiệm kép

Đề bài: Tìm m để phương trình x³ − 3x + m = 0 có nghiệm kép

Lời giải:

Phương trình có nghiệm kép khi Δ = 0

Hay f(x) và f'(x) có nghiệm chung

f'(x) = 3x² − 3 = 0 ⟹ x = ±1

Nghiệm kép xảy ra khi:

• f(1) = 0: 1 − 3 + m = 0 ⟹ m = 2
• f(−1) = 0: −1 + 3 + m = 0 ⟹ m = −2

Kết quả: m = 2 hoặc m = −2

Bài tập 10: Bài toán thực tế

Đề bài: Một hình hộp chữ nhật có tổng diện tích 6 mặt là 94 cm², tổng chiều dài các cạnh là 48 cm, và thể tích là 60 cm³. Tìm kích thước hình hộp.

Lời giải:

Gọi 3 kích thước là a, b, c (cm)

Theo đề bài:

• 4(a + b + c) = 48 ⟹ a + b + c = 12
• 2(ab + bc + ca) = 94 ⟹ ab + bc + ca = 47
• abc = 60

Theo Viète, a, b, c là nghiệm của phương trình:

t³ − 12t² + 47t − 60 = 0

Nhẩm: t = 3: 27 − 108 + 141 − 60 = 0 ✓

t = 4: 64 − 192 + 188 − 60 = 0 ✓

t = 5: 125 − 300 + 235 − 60 = 0 ✓

Kết quả: Kích thước hình hộp: 3 cm, 4 cm, 5 cm

Bài tập 11: Tính tổng bình phương nghịch đảo

Đề bài: Cho phương trình x³ − 3x² + 2x − 1 = 0 có 3 nghiệm x₁, x₂, x₃. Tính \( \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} + \frac{1}{x_3^2} \)

Lời giải:

Theo Viète: S₁ = 3, S₂ = 2, S₃ = 1

\[ \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} + \frac{1}{x_3^2} = \frac{(x_2x_3)^2 + (x_1x_3)^2 + (x_1x_2)^2}{(x_1x_2x_3)^2} \]

Tử số = (x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁)² − 2x₁x₂x₃(x₁ + x₂ + x₃)

= S₂² − 2S₃S₁ = 4 − 2(1)(3) = 4 − 6 = −2

Mẫu số = S₃² = 1

\[ \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} + \frac{1}{x_3^2} = \frac{-2}{1} = -2 \]

Nhận xét: Kết quả âm cho thấy có nghiệm phức (nghiệm phức có bình phương âm khi tính theo công thức đại số)

Kết quả: −2

Bài tập 12: Chứng minh đẳng thức

Đề bài: Cho x³ + px + q = 0 có 3 nghiệm x₁, x₂, x₃. Chứng minh:

\[ x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = -3q \]

Lời giải:

Theo Viète cho dạng rút gọn:

• S₁ = x₁ + x₂ + x₃ = 0
• S₂ = x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ = p
• S₃ = x₁x₂x₃ = −q

Áp dụng công thức Newton:

\[ x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = S_1^3 – 3S_1S_2 + 3S_3 \]

\[ = 0 – 0 + 3(-q) = -3q \]

(đpcm)

11. Những kiến thức cần ghi nhớ về phương trình bậc 3

Qua các nội dung trên, có thể hệ thống những điểm quan trọng về phương trình bậc 3 có 3 nghiệm như sau:

• Dạng tổng quát: ax³ + bx² + cx + d = 0 với a ≠ 0.
• Xét trên tập số phức và tính theo số bội, phương trình bậc ba có 3 nghiệm.
• Có 3 nghiệm thực phân biệt khi: Δ > 0.
• Hệ thức Viète: S₁ = −b/a, S₂ = c/a, S₃ = −d/a.
• Khi ba nghiệm lập thành CSC, số hạng giữa là −b/(3a).
• Khi ba nghiệm lập thành CSN phù hợp, số hạng giữa thỏa mãn α³ = −d/a.
• Các phương pháp giải phổ biến gồm nhẩm nghiệm, Horner, biến đổi đặc biệt, Cardano và lượng giác.
• Với bài toán tham số, đạo hàm và giá trị hàm số tại hai điểm cực trị là công cụ hữu ích để xét điều kiện có 3 nghiệm thực phân biệt.

12. Kết Luận

Nắm chắc mối liên hệ giữa biệt thức, đạo hàm, hệ thức Viète và các phương pháp giải sẽ giúp xử lý linh hoạt phần lớn bài toán liên quan đến phương trình bậc ba.