Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu cần điều kiện gì?

Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu là một trong những dạng bài quan trọng khi giải phương trình bậc hai. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm, điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, điều kiện hai nghiệm trái dấu cùng các bài tập minh họa có lời giải cụ thể.

1. Phương trình bậc hai và công thức nghiệm

Trước khi tìm hiểu 2 nghiệm trái dấu khi nào, ta cần ôn lại kiến thức cơ bản.

1.1. Dạng tổng quát

Phương trình bậc hai có dạng:

\(ax^2 + bx + c = 0\) (với a ≠ 0)

1.2. Công thức Delta

\(\Delta = b^2 – 4ac\)

Hoặc dùng Delta thu gọn (khi b = 2b’):

\(\Delta’ = b’^2 – ac\)

1.3. Công thức nghiệm

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)

1.4. Định lý Viète

Nếu phương trình có hai nghiệm \(x_1, x_2\) thì:

2. Điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm

Dưới đây là điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm đầy đủ:

2.1. Các trường hợp nghiệm theo Delta

2.2. Điều kiện có nghiệm

Phương trình có nghiệm ⟺ \(\Delta \geq 0\)

3. Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Điều kiện để pt có 2 nghiệm pb (phân biệt) là điều kiện cơ bản nhất.

3.1. Công thức

Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⟺ \(\Delta > 0\)

Hay: \(b^2 – 4ac > 0\)

3.2. Ý nghĩa

Khi \(\Delta > 0\), phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt (hai nghiệm khác nhau):

\(x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}\) và \(x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\)

3.3. Ví dụ

Ví dụ: Tìm m để phương trình \(x^2 – 4x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải:

\(\Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot m = 16 – 4m\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⟺ \(\Delta > 0\)

\(16 – 4m > 0 \Leftrightarrow m < 4\)

4. Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

Đây là nội dung chính: phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi nào?

4.1. Định nghĩa

Hai nghiệm trái dấu nghĩa là một nghiệm dương và một nghiệm âm:

• \(x_1 < 0\) và \(x_2 > 0\)
• Hoặc: \(x_1 > 0\) và \(x_2 < 0\)

4.2. Công thức điều kiện 2 nghiệm trái dấu

Phương trình có 2 nghiệm trái dấu ⟺ \(P < 0\) ⟺ \(\frac{c}{a} < 0\) ⟺ \(ac < 0\)

4.3. Giải thích và chứng minh

Tại sao chỉ cần P < 0?

Nếu \(x_1\) và \(x_2\) trái dấu thì:

• Tích của chúng: \(P = x_1 \cdot x_2 < 0\) (số dương nhân số âm = số âm)
• Theo Viète: \(P = \frac{c}{a}\)
• Vậy: \(\frac{c}{a} < 0\) hay \(ac < 0\)

Tại sao không cần điều kiện Δ > 0?

Khi \(ac < 0\), ta có:

\(\Delta = b^2 – 4ac = b^2 + |4ac| > 0\) (luôn đúng)

→ Điều kiện \(\Delta > 0\) được thỏa mãn tự động!

4.4. Tóm tắt điều kiện

4.5. Lưu ý quan trọng

• Không cần thêm điều kiện \(\Delta > 0\) vì nó tự thỏa mãn
• Điều kiện \(ac < 0\) đơn giản và dễ kiểm tra
• Nếu a > 0 thì c < 0; nếu a < 0 thì c > 0

5. Điều kiện hai nghiệm cùng dấu

Ngược lại với hai nghiệm trái dấu, ta có điều kiện hai nghiệm cùng dấu:

5.1. Điều kiện hai nghiệm cùng dấu

Hai nghiệm cùng dấu ⟺ \(\begin{cases} \Delta \geq 0 \\ P > 0 \end{cases}\)

5.2. Điều kiện hai nghiệm đều dương

Hai nghiệm dương ⟺ \(\begin{cases} \Delta \geq 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \end{cases}\)

5.3. Điều kiện hai nghiệm đều âm

Hai nghiệm âm ⟺ \(\begin{cases} \Delta \geq 0 \\ S < 0 \\ P > 0 \end{cases}\)

6. Bảng tổng hợp các điều kiện nghiệm

Dưới đây là bảng tổng hợp tất cả điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm theo các yêu cầu khác nhau:

7. Sơ đồ tư duy điều kiện nghiệm

              PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax² + bx + c = 0
                           │
              ┌────────────┴────────────┐
              │                         │
         Δ < 0                      Δ ≥ 0
      (Vô nghiệm)                  (Có nghiệm)
                                       │
                    ┌──────────────────┼──────────────────┐
                    │                  │                  │
                 P < 0 P = 0 P > 0
           (2 NGHIỆM              (Có nghiệm         (2 nghiệm
           TRÁI DẤU)               bằng 0)           cùng dấu)
                                                         │
                                          ┌──────────────┴──────────────┐
                                          │                             │
                                       S > 0                         S < 0
                                  (2 nghiệm dương)              (2 nghiệm âm)

8. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Vận dụng điều kiện pt có 2 nghiệm trái dấu khi nào để giải các bài tập sau:

Bài tập 1: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

Đề bài: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu: \(x^2 – 2x + m – 3 = 0\)

Lời giải:

Đây là phương trình bậc hai với a = 1, b = -2, c = m – 3

Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:

\(P < 0 \Leftrightarrow \frac{c}{a} < 0 \Leftrightarrow \frac{m – 3}{1} < 0 \Leftrightarrow m – 3 < 0 \Leftrightarrow m < 3\)

Đáp số: m < 3

Bài tập 2: Kiểm tra điều kiện

Đề bài: Chứng minh phương trình \(x^2 + 5x – 6 = 0\) có hai nghiệm trái dấu.

Lời giải:

Ta có: a = 1, c = -6

\(ac = 1 \times (-6) = -6 < 0\)

Vì \(ac < 0\) nên phương trình có hai nghiệm trái dấu. (đpcm)

Kiểm tra: Giải phương trình: \(x^2 + 5x – 6 = 0\)

\((x + 6)(x – 1) = 0 \Rightarrow x = -6\) hoặc \(x = 1\) ✓

Bài tập 3: Tìm điều kiện để có 2 nghiệm phân biệt

Đề bài: Tìm m để phương trình \(x^2 + 2(m-1)x + m^2 – 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải:

Điều kiện để pt có 2 nghiệm pb: \(\Delta > 0\)

\(\Delta’ = (m-1)^2 – (m^2 – 3) = m^2 – 2m + 1 – m^2 + 3 = -2m + 4\)

\(\Delta’ > 0 \Leftrightarrow -2m + 4 > 0 \Leftrightarrow m < 2\)

Đáp số: m < 2

Bài tập 4: Kết hợp nhiều điều kiện

Đề bài: Tìm m để phương trình \((m-1)x^2 – 2mx + m + 2 = 0\) có 2 nghiệm trái dấu.

Lời giải:

Điều kiện 1: Là phương trình bậc hai: \(m – 1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 1\)

Điều kiện 2: Có 2 nghiệm trái dấu:

\(P < 0 \Leftrightarrow \frac{c}{a} < 0 \Leftrightarrow \frac{m + 2}{m – 1} < 0\)

Xét dấu: \(\frac{m + 2}{m – 1} < 0 \Leftrightarrow -2 < m < 1\)

Đáp số: \(-2 < m < 1\)

Bài tập 5: Hai nghiệm đều dương

Đề bài: Tìm m để phương trình \(x^2 – 2mx + m + 2 = 0\) có hai nghiệm đều dương.

Lời giải:

Điều kiện hai nghiệm đều dương:

\[\begin{cases} \Delta’ \geq 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \end{cases}\]

Điều kiện 1: \(\Delta’ = m^2 – (m + 2) = m^2 – m – 2 \geq 0\)

\((m – 2)(m + 1) \geq 0 \Leftrightarrow m \leq -1\) hoặc \(m \geq 2\)

Điều kiện 2: \(S = 2m > 0 \Leftrightarrow m > 0\)

Điều kiện 3: \(P = m + 2 > 0 \Leftrightarrow m > -2\)

Kết hợp: \(m \geq 2\)

Đáp số: \(m \geq 2\)

Bài tập 6: Nghiệm này gấp đôi nghiệm kia và trái dấu

Đề bài: Tìm m để phương trình \(x^2 + mx – 8 = 0\) có hai nghiệm \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1 = -2x_2\).

Lời giải:

Ta có: a = 1, c = -8 → \(ac = -8 < 0\) → PT có 2 nghiệm trái dấu ✓

Theo Viète:

• \(x_1 + x_2 = -m\)
• \(x_1 \cdot x_2 = -8\)

Thay \(x_1 = -2x_2\):

• \(-2x_2 + x_2 = -m \Rightarrow -x_2 = -m \Rightarrow x_2 = m\)
• \(-2x_2 \cdot x_2 = -8 \Rightarrow x_2^2 = 4 \Rightarrow x_2 = \pm 2\)

Vậy: \(m = 2\) hoặc \(m = -2\)

Đáp số: m = ±2

9. Bài tập tự luyện

Vận dụng điều kiện 2 nghiệm trái dấu, hãy giải các bài tập sau:

Bài 1: Tìm m để phương trình \(x^2 – 5x + m + 1 = 0\) có hai nghiệm trái dấu.

Bài 2: Tìm m để phương trình \(x^2 + (m+1)x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

Bài 3: Tìm m để phương trình \(2x^2 – 3x + m – 1 = 0\) có hai nghiệm trái dấu.

Bài 4: Tìm m để phương trình \(x^2 – 2(m+1)x + m^2 + 2 = 0\) có hai nghiệm đều âm.

Bài 5: Tìm m để phương trình \(mx^2 + 2(m-1)x + m – 2 = 0\) có hai nghiệm trái dấu.

10. Kết luận

Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu là dạng bài quan trọng trong chương trình Toán THPT. Qua bài viết này, các bạn đã nắm được:

• Điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm: \(\Delta \geq 0\)
• Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(\Delta > 0\)
• Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi nào: \(P < 0\) hay \(ac < 0\)
• Không cần kiểm tra \(\Delta > 0\) khi xét hai nghiệm trái dấu vì nó tự thỏa mãn
• Điều kiện hai nghiệm cùng dương, cùng âm cần đầy đủ 3 điều kiện về Δ, S, P

Hãy ghi nhớ: 2 nghiệm trái dấu khi nào? Đơn giản chỉ cần \(ac < 0\) (a và c trái dấu). Luyện tập thường xuyên để thành thạo dạng bài này.