Phương pháp đổi biến số: Cách đổi biến, đổi cận nguyên hàm chi tiết

Phương pháp đổi biến số là một trong những kỹ thuật cốt lõi để tính nguyên hàm và tích phân trong chương trình Giải tích. Nắm vững phương pháp đổi biến sẽ giúp bạn biến những tích phân phức tạp thành các dạng đơn giản, dễ tính hơn. Bài viết dưới đây trình bày đầy đủ lý thuyết, công thức, quy tắc đổi cận nguyên hàm và các bài tập đổi biến có lời giải chi tiết từ cơ bản đến nâng cao.

1. Phương pháp đổi biến số là gì?

Phương pháp đổi biến số (còn gọi là phép thế – substitution) là phương pháp đưa một nguyên hàm hoặc tích phân phức tạp về dạng đơn giản hơn bằng cách thay thế biến số cũ bằng một biến số mới thông qua một hàm trung gian.

Ý tưởng chính: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân chứa một hàm hợp \(f(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x)\), ta đặt \(t = \varphi(x)\) để đưa về tích phân theo biến \(t\) đơn giản hơn.

Phương pháp đổi biến gồm hai dạng chính:

Dạng	Cách đặt	Đặc điểm
Đổi biến số loại 1	Đặt \(t = \varphi(x)\)	Dùng khi nhận ra vi phân \(\varphi'(x)dx\) trong biểu thức
Đổi biến số loại 2	Đặt \(x = \psi(t)\)	Dùng khi biểu thức chứa căn hoặc dạng lượng giác phức tạp

Hãy cùng tìm hiểu chi tiết từng dạng, bắt đầu từ đổi biến loại 1 – dạng phổ biến và hay dùng nhất.

2. Đổi biến số loại 1 – Đặt \(t = \varphi(x)\)

2.1. Công thức tổng quát

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục. Nếu đặt \(t = \varphi(x)\), với \(\varphi(x)\) có đạo hàm liên tục, thì:

\[\int f(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x)\, dx = \int f(t)\, dt \quad \text{với } t = \varphi(x)\]

Giải thích: Khi đặt \(t = \varphi(x)\), ta có \(dt = \varphi'(x)\, dx\). Thay vào tích phân, biểu thức trở nên đơn giản hơn.

2.2. Các bước thực hiện đổi biến loại 1

1. Bước 1: Quan sát biểu thức, nhận dạng phần \(\varphi(x)\) phù hợp để đặt \(t = \varphi(x)\).
2. Bước 2: Tính vi phân \(dt = \varphi'(x)\, dx\), suy ra \(dx\) theo \(dt\).
3. Bước 3: Thay toàn bộ biểu thức từ biến \(x\) sang biến \(t\).
4. Bước 4: Tính tích phân theo biến \(t\).
5. Bước 5: Thế ngược \(t = \varphi(x)\) để trở về biến \(x\) (với nguyên hàm).

2.3. Cách nhận biết nên đặt gì

Dưới đây là các gợi ý giúp bạn nhận dạng nhanh phép đổi biến phù hợp:

Dạng biểu thức	Nên đặt	Ví dụ
\(f(ax + b)\)	\(t = ax + b\)	\(\int \sin(3x+1)\, dx\), đặt \(t = 3x+1\)
\(f(x^n) \cdot x^{n-1}\)	\(t = x^n\)	\(\int x^2 e^{x^3}\, dx\), đặt \(t = x^3\)
\(f(\sin x) \cdot \cos x\)	\(t = \sin x\)	\(\int \sin^3 x \cos x\, dx\)
\(f(\cos x) \cdot \sin x\)	\(t = \cos x\)	\(\int \cos^4 x \sin x\, dx\)
\(f(\tan x) \cdot \frac{1}{\cos^2 x}\)	\(t = \tan x\)	\(\int \frac{\tan^2 x}{\cos^2 x}\, dx\)
\(f(e^x) \cdot e^x\)	\(t = e^x\)	\(\int \frac{e^x}{1 + e^x}\, dx\)
\(f(\ln x) \cdot \frac{1}{x}\)	\(t = \ln x\)	\(\int \frac{\ln^2 x}{x}\, dx\)
\(f(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}\)	\(t = \sqrt{x}\)	\(\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\, dx\)

2.4. Ví dụ minh họa đổi biến loại 1

Ví dụ 1: Tính \(\displaystyle\int \cos(5x + 2)\, dx\)

Lời giải:

Đặt \(t = 5x + 2 \Rightarrow dt = 5\, dx \Rightarrow dx = \frac{dt}{5}\).

\[\int \cos(5x+2)\, dx = \int \cos t \cdot \frac{dt}{5} = \frac{1}{5} \sin t + C = \frac{1}{5} \sin(5x+2) + C\]

Ví dụ 2: Tính \(\displaystyle\int x^2 \cdot \sqrt{x^3 + 1}\, dx\)

Lời giải:

Đặt \(t = x^3 + 1 \Rightarrow dt = 3x^2\, dx \Rightarrow x^2\, dx = \frac{dt}{3}\).

\[\int x^2 \sqrt{x^3+1}\, dx = \int \sqrt{t} \cdot \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{9}(x^3+1)^{\frac{3}{2}} + C\]

Ví dụ 3: Tính \(\displaystyle\int \frac{e^x}{1 + e^x}\, dx\)

Lời giải:

Đặt \(t = 1 + e^x \Rightarrow dt = e^x\, dx\).

\[\int \frac{e^x}{1+e^x}\, dx = \int \frac{dt}{t} = \ln|t| + C = \ln(1 + e^x) + C\]

Ví dụ 4: Tính \(\displaystyle\int \frac{\ln^3 x}{x}\, dx\)

Lời giải:

Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x}\, dx\).

\[\int \frac{\ln^3 x}{x}\, dx = \int t^3\, dt = \frac{t^4}{4} + C = \frac{\ln^4 x}{4} + C\]

Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu đổi biến loại 2 – phương pháp hữu ích khi biểu thức chứa căn thức hoặc dạng đặc biệt.

3. Đổi biến số loại 2 – Đặt \(x = \psi(t)\)

3.1. Công thức tổng quát

Nếu đặt \(x = \psi(t)\), với \(\psi(t)\) có đạo hàm liên tục và \(\psi'(t) \neq 0\), thì:

\[\int f(x)\, dx = \int f(\psi(t)) \cdot \psi'(t)\, dt\]

Sau khi tính xong, thế ngược \(t\) theo \(x\) để quay về biến \(x\).

3.2. Các phép đổi biến lượng giác thường dùng

Dưới đây là các phép đổi biến lượng giác kinh điển để xử lý biểu thức chứa căn:

Biểu thức chứa	Đặt	Kết quả đơn giản hóa
\(\sqrt{a^2 – x^2}\)	\(x = a\sin t\)	\(\sqrt{a^2 – x^2} = a\cos t\)
\(\sqrt{a^2 + x^2}\)	\(x = a\tan t\)	\(\sqrt{a^2 + x^2} = \frac{a}{\cos t}\)
\(\sqrt{x^2 – a^2}\)	\(x = \frac{a}{\cos t}\)	\(\sqrt{x^2 – a^2} = a\tan t\)

3.3. Ví dụ minh họa đổi biến loại 2

Ví dụ 5: Tính \(\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{4 – x^2}}\)

Lời giải:

Biểu thức chứa \(\sqrt{4 – x^2}\), dạng \(\sqrt{a^2 – x^2}\) với \(a = 2\).

Đặt \(x = 2\sin t \Rightarrow dx = 2\cos t\, dt\).

Khi đó: \(\sqrt{4 – x^2} = \sqrt{4 – 4\sin^2 t} = 2\cos t\).

\[\int \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}} = \int \frac{2\cos t\, dt}{2\cos t} = \int dt = t + C = \arcsin\frac{x}{2} + C\]

Ví dụ 6: Tính \(\displaystyle\int \sqrt{1 – x^2}\, dx\)

Lời giải:

Đặt \(x = \sin t \Rightarrow dx = \cos t\, dt\), suy ra \(\sqrt{1 – x^2} = \cos t\).

\[\int \sqrt{1 – x^2}\, dx = \int \cos t \cdot \cos t\, dt = \int \cos^2 t\, dt\]

Dùng công thức hạ bậc: \(\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}\).

\[= \int \frac{1 + \cos 2t}{2}\, dt = \frac{t}{2} + \frac{\sin 2t}{4} + C = \frac{t}{2} + \frac{\sin t \cos t}{2} + C\]

Thế ngược: \(t = \arcsin x\), \(\sin t = x\), \(\cos t = \sqrt{1 – x^2}\).

\[\int \sqrt{1 – x^2}\, dx = \frac{1}{2}\arcsin x + \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2} + C\]

Đổi biến loại 1 và loại 2 đều áp dụng cho nguyên hàm (tích phân bất định). Khi áp dụng cho tích phân xác định, ta cần thêm bước quan trọng: đổi cận. Hãy cùng tìm hiểu chi tiết ngay sau đây.

4. Đổi cận nguyên hàm – Đổi biến trong tích phân xác định

4.1. Công thức đổi cận

Khi áp dụng phương pháp đổi biến số cho tích phân xác định, ta phải đổi cận nguyên hàm theo biến mới. Công thức:

\[\int_{a}^{b} f(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x)\, dx = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(t)\, dt\]

với \(t = \varphi(x)\).

Quy tắc đổi cận:

• Khi \(x = a\) (cận dưới): \(t = \varphi(a)\) → cận dưới mới.
• Khi \(x = b\) (cận trên): \(t = \varphi(b)\) → cận trên mới.

Lưu ý quan trọng: Sau khi đổi cận nguyên hàm, ta tính tích phân hoàn toàn theo biến \(t\), không cần thế ngược về biến \(x\).

4.2. Các bước thực hiện đổi cận

1. Bước 1: Đặt \(t = \varphi(x)\), tính \(dt = \varphi'(x)\, dx\).
2. Bước 2: Đổi cận: thay \(x = a\) và \(x = b\) vào \(t = \varphi(x)\) để tìm cận mới.
3. Bước 3: Viết lại tích phân theo biến \(t\) với cận mới.
4. Bước 4: Tính tích phân theo biến \(t\) và cho kết quả luôn.

4.3. Ví dụ minh họa đổi cận

Ví dụ 7: Tính \(\displaystyle\int_{0}^{1} x \cdot e^{x^2}\, dx\)

Lời giải:

Đặt \(t = x^2 \Rightarrow dt = 2x\, dx \Rightarrow x\, dx = \frac{dt}{2}\).

Đổi cận:

\(x\)	\(0\)	\(1\)
\(t = x^2\)	\(0\)	\(1\)

\[\int_{0}^{1} x \cdot e^{x^2}\, dx = \int_{0}^{1} e^t \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\left[e^t\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}(e – 1)\]

Ví dụ 8: Tính \(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x \cdot \cos x\, dx\)

Lời giải:

Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos x\, dx\).

Đổi cận:

\(x\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{2}\)
\(t = \sin x\)	\(0\)	\(1\)

\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x \cos x\, dx = \int_{0}^{1} t^3\, dt = \left[\frac{t^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}\]

Ví dụ 9: Tính \(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{x}{(1 + x^2)^2}\, dx\)

Lời giải:

Đặt \(t = 1 + x^2 \Rightarrow dt = 2x\, dx \Rightarrow x\, dx = \frac{dt}{2}\).

Đổi cận:

\(x\)	\(0\)	\(1\)
\(t = 1 + x^2\)	\(1\)	\(2\)

\[\int_{0}^{1} \frac{x}{(1+x^2)^2}\, dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{t^2} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} t^{-2}\, dt = \frac{1}{2}\left[\frac{-1}{t}\right]_{1}^{2} = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2} + 1\right) = \frac{1}{4}\]

5. Các dạng đổi biến thường gặp trong toán cao cấp

Dưới đây là tổng hợp các dạng bài phương pháp đổi biến hay gặp nhất, kèm phép đặt gợi ý.

5.1. Dạng 1: Tích phân chứa \(f(ax + b)\)

Phép đặt: \(t = ax + b\)

Công thức nhanh:

\[\int f(ax+b)\, dx = \frac{1}{a} F(ax+b) + C\]

trong đó \(F\) là nguyên hàm của \(f\).

Ví dụ thường gặp:

Tích phân	Kết quả
\(\int e^{3x+1}\, dx\)	\(\frac{1}{3}e^{3x+1} + C\)
\(\int \sin(2x – 5)\, dx\)	\(-\frac{1}{2}\cos(2x-5) + C\)
\(\int (4x+1)^7\, dx\)	\(\frac{(4x+1)^8}{32} + C\)
\(\int \frac{dx}{3x + 2}\)	\(\frac{1}{3}\ln|3x+2| + C\)

5.2. Dạng 2: Tích phân chứa \(f'(x)/f(x)\)

Phép đặt: \(t = f(x)\)

Công thức:

\[\int \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx = \ln|f(x)| + C\]

Ví dụ:

Tích phân	Nhận dạng	Kết quả
\(\int \frac{2x}{x^2 + 1}\, dx\)	\(f = x^2+1,\; f’ = 2x\)	\(\ln(x^2+1) + C\)
\(\int \tan x\, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\, dx\)	\(f = \cos x,\; f’ = -\sin x\)	\(-\ln|\cos x| + C\)
\(\int \frac{e^x}{e^x + 3}\, dx\)	\(f = e^x+3,\; f’ = e^x\)	\(\ln(e^x+3) + C\)

5.3. Dạng 3: Tích phân chứa \([f(x)]^\alpha \cdot f'(x)\)

Phép đặt: \(t = f(x)\)

Công thức:

\[\int [f(x)]^\alpha \cdot f'(x)\, dx = \frac{[f(x)]^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C \quad (\alpha \neq -1)\]

Ví dụ:

Tích phân	Nhận dạng	Kết quả
\(\int \sin^5 x \cos x\, dx\)	\(f = \sin x,\; \alpha = 5\)	\(\frac{\sin^6 x}{6} + C\)
\(\int \frac{\ln^2 x}{x}\, dx\)	\(f = \ln x,\; \alpha = 2\)	\(\frac{\ln^3 x}{3} + C\)
\(\int x(x^2+1)^4\, dx\)	\(f = x^2+1\), cần nhân \(\frac{1}{2}\)	\(\frac{(x^2+1)^5}{10} + C\)

5.4. Dạng 4: Đổi biến lượng giác

Áp dụng khi biểu thức chứa căn của tam thức bậc hai.

Ví dụ 10: Tính \(\displaystyle\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2 + 4}}\)

Lời giải:

Dạng \(\sqrt{x^2 + a^2}\) với \(a = 2\). Đặt \(x = 2\tan t \Rightarrow dx = \frac{2}{\cos^2 t}\, dt\).

Khi đó:

• \(x^2 = 4\tan^2 t\)
• \(\sqrt{x^2+4} = \sqrt{4\tan^2 t + 4} = \frac{2}{\cos t}\)

\[\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}} = \int \frac{\frac{2}{\cos^2 t}\, dt}{4\tan^2 t \cdot \frac{2}{\cos t}} = \int \frac{2}{8\tan^2 t \cdot \cos t} \cdot \frac{1}{\cos^2 t}\cdot \cos t\, dt\]

Rút gọn (lưu ý \(\tan^2 t = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}\)):

\[= \int \frac{1}{4} \cdot \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} \cdot \frac{1}{\cos^2 t}\, dt = \frac{1}{4}\int \frac{dt}{\sin^2 t} = \frac{1}{4}(-\cot t) + C\]

Thế ngược: Từ \(x = 2\tan t\), ta có \(\tan t = \frac{x}{2}\), suy ra \(\cot t = \frac{2}{x}\), nên:

\[= -\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{x} + C\]

Mặt khác, cần kiểm tra lại bằng tam giác vuông: \(\cot t = \frac{2}{x}\), và \(\sqrt{x^2+4}\) xuất hiện trong quan hệ, ta có thể viết:

\[\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}} = -\frac{\sqrt{x^2+4}}{4x} + C\]

5.5. Dạng 5: Đặt \(t = \sqrt[n]{\ldots}\) để khử căn

Khi biểu thức chứa căn bậc \(n\), ta đặt \(t\) bằng chính biểu thức căn đó.

Ví dụ 11: Tính \(\displaystyle\int \frac{dx}{1 + \sqrt{x}}\)

Lời giải:

Đặt \(t = \sqrt{x} \Rightarrow x = t^2 \Rightarrow dx = 2t\, dt\).

\[\int \frac{dx}{1+\sqrt{x}} = \int \frac{2t\, dt}{1+t} = 2\int \frac{t}{1+t}\, dt = 2\int \frac{(1+t) – 1}{1+t}\, dt\]

\[= 2\int \left(1 – \frac{1}{1+t}\right) dt = 2\left(t – \ln|1+t|\right) + C\]

Thế ngược \(t = \sqrt{x}\):

\[= 2\sqrt{x} – 2\ln(1 + \sqrt{x}) + C\]

6. Bảng tổng hợp các phép đổi biến thường dùng

Dưới đây là bảng tra nhanh các phép đổi biến phổ biến nhất trong phương pháp đổi biến số:

STT	Dạng tích phân	Phép đặt	Vi phân
1	\(\int f(ax+b)\, dx\)	\(t = ax + b\)	\(dt = a\, dx\)
2	\(\int f(x^n) \cdot x^{n-1}\, dx\)	\(t = x^n\)	\(dt = nx^{n-1}\, dx\)
3	\(\int f(\sin x) \cos x\, dx\)	\(t = \sin x\)	\(dt = \cos x\, dx\)
4	\(\int f(\cos x) \sin x\, dx\)	\(t = \cos x\)	\(dt = -\sin x\, dx\)
5	\(\int f(\tan x) \frac{dx}{\cos^2 x}\)	\(t = \tan x\)	\(dt = \frac{dx}{\cos^2 x}\)
6	\(\int f(e^x) e^x\, dx\)	\(t = e^x\)	\(dt = e^x\, dx\)
7	\(\int f(\ln x) \frac{dx}{x}\)	\(t = \ln x\)	\(dt = \frac{dx}{x}\)
8	\(\int f(\sqrt{x}) \frac{dx}{\sqrt{x}}\)	\(t = \sqrt{x}\)	\(dt = \frac{dx}{2\sqrt{x}}\)
9	Chứa \(\sqrt{a^2 – x^2}\)	\(x = a\sin t\)	\(dx = a\cos t\, dt\)
10	Chứa \(\sqrt{a^2 + x^2}\)	\(x = a\tan t\)	\(dx = \frac{a}{\cos^2 t}\, dt\)
11	Chứa \(\sqrt{x^2 – a^2}\)	\(x = \frac{a}{\cos t}\)	\(dx = \frac{a\sin t}{\cos^2 t}\, dt\)

7. Bài tập phương pháp đổi biến số có lời giải

Dưới đây là các bài tập phương pháp đổi biến từ cơ bản đến nâng cao, kèm lời giải chi tiết.

Bài tập 1

Tính: \(\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{1 – x^2}}\, dx\)

Lời giải:

Đặt \(t = 1 – x^2 \Rightarrow dt = -2x\, dx \Rightarrow x\, dx = -\frac{dt}{2}\).

\[\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\, dx = \int \frac{-\frac{dt}{2}}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{2}\int t^{-\frac{1}{2}}\, dt = -\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{t} + C = -\sqrt{1-x^2} + C\]

Bài tập 2

Tính: \(\displaystyle\int \frac{\sin(\ln x)}{x}\, dx\)

Lời giải:

Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{dx}{x}\).

\[\int \frac{\sin(\ln x)}{x}\, dx = \int \sin t\, dt = -\cos t + C = -\cos(\ln x) + C\]

Bài tập 3

Tính: \(\displaystyle\int \frac{x^3}{(x^4 + 2)^5}\, dx\)

Lời giải:

Đặt \(t = x^4 + 2 \Rightarrow dt = 4x^3\, dx \Rightarrow x^3\, dx = \frac{dt}{4}\).

\[\int \frac{x^3}{(x^4+2)^5}\, dx = \frac{1}{4}\int t^{-5}\, dt = \frac{1}{4} \cdot \frac{t^{-4}}{-4} + C = \frac{-1}{16(x^4+2)^4} + C\]

Bài tập 4

Tính: \(\displaystyle\int e^{\sin x} \cos x\, dx\)

Lời giải:

Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos x\, dx\).

\[\int e^{\sin x} \cos x\, dx = \int e^t\, dt = e^t + C = e^{\sin x} + C\]

Bài tập 5 – Đổi cận

Tính: \(\displaystyle\int_{0}^{2} x\sqrt{x^2 + 1}\, dx\)

Lời giải:

Đặt \(t = x^2 + 1 \Rightarrow dt = 2x\, dx \Rightarrow x\, dx = \frac{dt}{2}\).

Đổi cận nguyên hàm:

\(x\)	\(0\)	\(2\)
\(t = x^2 + 1\)	\(1\)	\(5\)

\[\int_{0}^{2} x\sqrt{x^2+1}\, dx = \frac{1}{2}\int_{1}^{5} \sqrt{t}\, dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\left[t^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{5} = \frac{1}{3}\left(5\sqrt{5} – 1\right)\]

Bài tập 6 – Đổi cận

Tính: \(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{\cos^3 x}\, dx\)

Lời giải:

Đặt \(t = \cos x \Rightarrow dt = -\sin x\, dx\).

Đổi cận:

\(x\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{4}\)
\(t = \cos x\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\[\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{\cos^3 x}\, dx = \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{-dt}{t^3} = \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} t^{-3}\, dt = \left[\frac{t^{-2}}{-2}\right]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}\]

\[= \frac{-1}{2}\left[\frac{1}{t^2}\right]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} = \frac{-1}{2}\left(1 – 2\right) = \frac{-1}{2} \cdot (-1) = \frac{1}{2}\]

Bài tập 7 – Đổi biến lượng giác

Tính: \(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{4 – x^2}}\)

Lời giải:

Đặt \(x = 2\sin t \Rightarrow dx = 2\cos t\, dt\), suy ra \(\sqrt{4 – x^2} = 2\cos t\).

Đổi cận:

\(x\)	\(0\)	\(1\)
\(t = \arcsin\frac{x}{2}\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)

\[\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}} = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{2\cos t\, dt}{2\cos t} = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} dt = \frac{\pi}{6}\]

Bài tập 8 – Đổi biến khử căn

Tính: \(\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{x}(1 + \sqrt[3]{x})}\)

Lời giải:

Biểu thức chứa \(\sqrt{x}\) (căn bậc 2) và \(\sqrt[3]{x}\) (căn bậc 3). Bội chung nhỏ nhất của 2 và 3 là 6. Đặt \(t = x^{\frac{1}{6}} \Rightarrow x = t^6 \Rightarrow dx = 6t^5\, dt\).

Khi đó: \(\sqrt{x} = t^3\), \(\sqrt[3]{x} = t^2\).

\[\int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+\sqrt[3]{x})} = \int \frac{6t^5\, dt}{t^3(1 + t^2)} = 6\int \frac{t^2}{1 + t^2}\, dt\]

\[= 6\int \frac{(1+t^2) – 1}{1+t^2}\, dt = 6\int \left(1 – \frac{1}{1+t^2}\right) dt = 6(t – \arctan t) + C\]

Thế ngược \(t = x^{\frac{1}{6}}\):

\[= 6\left(x^{\frac{1}{6}} – \arctan\left(x^{\frac{1}{6}}\right)\right) + C\]

Bài tập 9 – Tổng hợp nâng cao

Tính: \(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1 + \sin^2 x}\, dx\)

Lời giải:

Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos x\, dx\).

Đổi cận:

\(x\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{2}\)
\(t = \sin x\)	\(0\)	\(1\)

\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+\sin^2 x}\, dx = \int_{0}^{1} \frac{dt}{1+t^2} = \left[\arctan t\right]_{0}^{1} = \arctan 1 – \arctan 0 = \frac{\pi}{4}\]

Bài tập 10 – Đổi cận nâng cao

Tính: \(\displaystyle\int_{1}^{e} \frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x}\, dx\)

Lời giải:

Đặt \(t = 1 + \ln x \Rightarrow dt = \frac{dx}{x}\).

Đổi cận:

\(x\)	\(1\)	\(e\)
\(t = 1 + \ln x\)	\(1\)	\(2\)

\[\int_{1}^{e} \frac{\sqrt{1+\ln x}}{x}\, dx = \int_{1}^{2} \sqrt{t}\, dt = \left[\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{2} = \frac{2}{3}\left(2\sqrt{2} – 1\right)\]

8. Những lưu ý quan trọng khi áp dụng phương pháp đổi biến số

Để tránh sai sót khi thực hiện phương pháp đổi biến số, bạn cần ghi nhớ các lưu ý sau:

• Thay thế hoàn toàn: Sau khi đặt biến mới, biểu thức phải chỉ chứa biến mới, không còn biến cũ.
• Không quên đổi \(dx\): Khi đặt \(t = \varphi(x)\), nhớ tính \(dt = \varphi'(x)\, dx\) và thay \(dx\) tương ứng.
• Đổi cận khi tích phân xác định: Khi đổi cận nguyên hàm, cần đổi cả cận tích phân sang biến mới. Sau đó tính trực tiếp, không thế ngược.
• Thế ngược khi nguyên hàm: Với tích phân bất định, sau khi tính xong phải thế ngược biến mới về biến cũ.
• Chú ý dấu: Đặc biệt khi đặt \(t = \cos x\) thì \(dt = -\sin x\, dx\), dễ quên dấu âm.
• Kiểm tra tính đơn trị: Với đổi biến loại 2, hàm \(\psi(t)\) phải đơn điệu trên khoảng lấy tích phân (để phép đổi biến là song ánh).

9. Kết luận

Phương pháp đổi biến số là công cụ mạnh mẽ và linh hoạt giúp đưa các tích phân phức tạp về dạng cơ bản dễ tính. Chìa khóa để thành thạo phương pháp đổi biến nằm ở khả năng nhận dạng nhanh phần nào nên đặt làm biến mới và thực hiện chính xác các bước thay thế, đặc biệt là đổi cận nguyên hàm khi tính tích phân xác định. Hãy luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập đa dạng ở trên, từ đổi biến cơ bản đến đổi biến lượng giác nâng cao, để tự tin giải quyết mọi bài toán tích phân. Chúc bạn học tốt!