Cách đổi cận: Công thức đổi cận tích phân, đổi biến và bài tập

Bởi Fenwick Trần 07/03/2026 Toán học

Mục lục

Cách đổi cận (hay còn gọi là phương pháp đổi biến số) là một trong những kỹ thuật quan trọng nhất để tính tích phân xác định. Phương pháp này giúp biến đổi tích phân phức tạp thành dạng đơn giản hơn bằng cách thay thế biến số và đổi cận tương ứng. Bài viết dưới đây sẽ trình bày chi tiết công thức đổi cận, các bước thực hiện và nhiều ví dụ minh họa dễ hiểu.

Đổi cận là gì?

Đổi cận (đổi biến số trong tích phân xác định) là phương pháp thay thế biến số ban đầu bằng một biến số mới, đồng thời thay đổi cận lấy tích phân cho phù hợp với biến mới.

Mục đích của phương pháp đổi cận:

Biến đổi tích phân phức tạp thành dạng cơ bản dễ tính hơn
Loại bỏ các biểu thức rườm rà như căn thức, lượng giác phức hợp
Tận dụng các công thức nguyên hàm cơ bản đã biết

Đặc điểm	Tích phân không xác định	Tích phân xác định (đổi cận)
Biến số	Đổi biến, cuối cùng trả về biến cũ	Đổi biến và giữ nguyên biến mới
Cận lấy tích phân	Không có cận	Phải đổi cận theo biến mới
Kết quả	Hàm số + hằng số C	Giá trị số cụ thể

Công thức đổi cận tích phân xác định

Để áp dụng cách đổi cận, ta sử dụng công thức sau:

\[\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t)) \cdot g'(t) \, dt\]

Trong đó:

Đặt \(x = g(t)\) là phép đổi biến
\(dx = g'(t) \, dt\)
Cận mới: Khi \(x = a \Rightarrow t = \alpha\); khi \(x = b \Rightarrow t = \beta\)

Điều kiện áp dụng:

Hàm \(g(t)\) có đạo hàm liên tục trên \([\alpha, \beta]\)
Hàm \(f(x)\) liên tục trên miền giá trị của \(g(t)\)
Khi \(t\) chạy từ \(\alpha\) đến \(\beta\), thì \(x = g(t)\) chạy từ \(a\) đến \(b\)

Các bước thực hiện đổi cận

Dưới đây là quy trình chi tiết để thực hiện cách đổi cận trong tích phân xác định:

Bước	Nội dung thực hiện	Lưu ý
Bước 1	Đặt \(t = u(x)\) hoặc \(x = g(t)\)	Chọn phép đặt phù hợp với dạng tích phân
Bước 2	Tính vi phân: \(dt = u'(x) \, dx\)	Biểu diễn \(dx\) theo \(dt\)
Bước 3	Đổi cận: Tính giá trị \(t\) tương ứng với cận \(a\) và \(b\)	Đây là bước quan trọng nhất
Bước 4	Thay tất cả vào tích phân và tính toán	Biểu thức chỉ còn biến \(t\)

Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu các dạng đổi biến số tích phân thường gặp trong các bài toán.

Các dạng đổi cận thường gặp

Tùy vào dạng biểu thức trong tích phân, ta chọn cách đặt biến phù hợp. Dưới đây là các dạng tích phân đổi cận phổ biến:

Dạng 1: Đổi cận với biểu thức tuyến tính

Khi gặp \(f(ax + b)\), đặt \(t = ax + b\).

Công thức:

\[\int_{a}^{b} f(mx + n) \, dx = \frac{1}{m} \int_{ma+n}^{mb+n} f(t) \, dt\]

Dạng 2: Đổi cận với căn thức

Khi gặp \(\sqrt{ax + b}\), đặt \(t = \sqrt{ax + b}\) hoặc \(t = ax + b\).

Biểu thức	Cách đặt	Kết quả
\(\sqrt{ax + b}\)	\(t = \sqrt{ax + b}\)	\(x = \frac{t^2 – b}{a}\), \(dx = \frac{2t}{a} dt\)
\(\sqrt[n]{ax + b}\)	\(t = \sqrt[n]{ax + b}\)	\(x = \frac{t^n – b}{a}\), \(dx = \frac{n \cdot t^{n-1}}{a} dt\)

Dạng 3: Đổi cận tích phân lượng giác

Đổi cận tích phân lượng giác là dạng rất phổ biến trong các đề thi. Các phép đặt thường dùng:

Biểu thức	Cách đặt	Hệ quả
\(\sqrt{a^2 – x^2}\)	\(x = a\sin t\)	\(\sqrt{a^2 – x^2} = a\cos t\)
\(\sqrt{a^2 + x^2}\)	\(x = a\tan t\)	\(\sqrt{a^2 + x^2} = \frac{a}{\cos t}\)
\(\sqrt{x^2 – a^2}\)	\(x = \frac{a}{\cos t}\)	\(\sqrt{x^2 – a^2} = a\tan t\)
\(\sin x\), \(\cos x\)	\(t = \tan\frac{x}{2}\)	\(\sin x = \frac{2t}{1+t^2}\), \(\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}\)

Dạng 4: Đổi cận với hàm mũ và logarit

Biểu thức	Cách đặt
\(e^{f(x)}\) xuất hiện	\(t = e^{f(x)}\) hoặc \(t = f(x)\)
\(\ln x\) xuất hiện	\(t = \ln x\), suy ra \(dx = x \, dt = e^t \, dt\)

Sau khi nắm vững lý thuyết, hãy cùng áp dụng vào các ví dụ cụ thể.

Ví dụ và bài tập minh họa

Dưới đây là các bài tập áp dụng cách đổi cận từ cơ bản đến nâng cao.

Ví dụ 1: Đổi cận cơ bản

Đề bài: Tính \(I = \int_{0}^{1} x(1-x)^5 \, dx\)

Lời giải:

Bước 1: Đặt \(t = 1 – x\)

Bước 2: Tính vi phân: \(dt = -dx \Rightarrow dx = -dt\)

Và \(x = 1 – t\)

Bước 3: Đổi cận:

Khi \(x = 0 \Rightarrow t = 1\)
Khi \(x = 1 \Rightarrow t = 0\)

Bước 4: Thay vào tích phân:

\[I = \int_{1}^{0} (1-t) \cdot t^5 \cdot (-dt) = \int_{0}^{1} (1-t) \cdot t^5 \, dt\]

\[I = \int_{0}^{1} (t^5 – t^6) \, dt = \left[\frac{t^6}{6} – \frac{t^7}{7}\right]_{0}^{1}\]

\[I = \frac{1}{6} – \frac{1}{7} = \frac{7-6}{42} = \frac{1}{42}\]

Kết quả: \(I = \frac{1}{42}\)

Ví dụ 2: Đổi cận với căn thức

Đề bài: Tính \(I = \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)} \, dx\)

Lời giải:

Bước 1: Đặt \(t = \sqrt{x}\), suy ra \(x = t^2\)

Bước 2: Tính vi phân: \(dx = 2t \, dt\)

Bước 3: Đổi cận:

Khi \(x = 1 \Rightarrow t = 1\)
Khi \(x = 4 \Rightarrow t = 2\)

Bước 4: Thay vào tích phân:

\[I = \int_{1}^{2} \frac{1}{t(t+1)} \cdot 2t \, dt = \int_{1}^{2} \frac{2}{t+1} \, dt\]

\[I = 2\ln|t+1| \Big|_{1}^{2} = 2(\ln 3 – \ln 2) = 2\ln\frac{3}{2}\]

Kết quả: \(I = 2\ln\frac{3}{2}\)

Ví dụ 3: Đổi cận tích phân lượng giác

Đề bài: Tính \(I = \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx\)

Lời giải:

Bước 1: Đặt \(x = \sin t\) (vì có dạng \(\sqrt{1-x^2}\))

Bước 2: Tính vi phân: \(dx = \cos t \, dt\)

Và \(\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2 t} = \cos t\) (với \(t \in [0, \frac{\pi}{2}]\))

Bước 3: Đổi cận:

Khi \(x = 0 \Rightarrow \sin t = 0 \Rightarrow t = 0\)
Khi \(x = 1 \Rightarrow \sin t = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi}{2}\)

Bước 4: Thay vào tích phân:

\[I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos t \cdot \cos t \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t \, dt\]

Sử dụng công thức hạ bậc: \(\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}\)

\[I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2t}{2} \, dt = \frac{1}{2}\left[t + \frac{\sin 2t}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\]

\[I = \frac{1}{2}\left[\frac{\pi}{2} + 0 – 0 – 0\right] = \frac{\pi}{4}\]

Kết quả: \(I = \frac{\pi}{4}\)

(Đây cũng chính là diện tích 1/4 hình tròn bán kính 1)

Ví dụ 4: Đổi cận với hàm mũ

Đề bài: Tính \(I = \int_{0}^{\ln 2} \frac{e^x}{e^x + 1} \, dx\)

Lời giải:

Bước 1: Đặt \(t = e^x + 1\)

Bước 2: Tính vi phân: \(dt = e^x \, dx\)

Bước 3: Đổi cận:

Khi \(x = 0 \Rightarrow t = e^0 + 1 = 2\)
Khi \(x = \ln 2 \Rightarrow t = e^{\ln 2} + 1 = 3\)

Bước 4: Thay vào tích phân:

\[I = \int_{2}^{3} \frac{1}{t} \, dt = \ln|t| \Big|_{2}^{3} = \ln 3 – \ln 2 = \ln\frac{3}{2}\]

Kết quả: \(I = \ln\frac{3}{2}\)

Ví dụ 5: Bài toán nâng cao

Đề bài: Tính \(I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx\)

Lời giải:

Phương pháp: Sử dụng tính chất đặc biệt kết hợp đổi biến số tích phân.

Đặt \(t = \frac{\pi}{2} – x\), suy ra \(dt = -dx\)

Đổi cận:

Khi \(x = 0 \Rightarrow t = \frac{\pi}{2}\)
Khi \(x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = 0\)

Khi đó:

\(\sin x = \sin(\frac{\pi}{2} – t) = \cos t\)
\(\cos x = \cos(\frac{\pi}{2} – t) = \sin t\)

\[I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\cos t}{\cos t + \sin t} \cdot (-dt) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos t}{\cos t + \sin t} \, dt\]

Đổi biến \(t\) thành \(x\):

\[I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} \, dx\]

Cộng hai tích phân:

\[2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} \, dx\]

\[2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = \frac{\pi}{2}\]

Kết quả: \(I = \frac{\pi}{4}\)

Một số sai lầm thường gặp khi đổi cận

Khi áp dụng cách đổi cận, học sinh thường mắc các lỗi sau:

Sai lầm	Hậu quả	Cách khắc phục
Quên đổi cận	Kết quả sai hoàn toàn	Luôn ghi rõ “Đổi cận” thành một bước riêng
Đổi cận sai chiều	Kết quả đổi dấu	Kiểm tra lại: \(x = a \Rightarrow t = ?\)
Quên đổi \(dx\)	Thiếu thừa số trong tích phân	Luôn tính \(dx = ? \, dt\)
Còn lẫn biến cũ	Không tính được tích phân	Kiểm tra biểu thức chỉ chứa biến mới
Chọn phép đặt không phù hợp	Tích phân phức tạp hơn	Nhận dạng đúng dạng toán

Kết luận

Cách đổi cận là phương pháp không thể thiếu khi giải tích phân xác định. Quy trình gồm 4 bước: đặt biến mới, tính vi phân, đổi cận theo biến mới, và tính toán. Việc nhận dạng đúng dạng toán để chọn phép đặt phù hợp là chìa khóa để giải nhanh và chính xác. Hãy luyện tập nhiều với các dạng đổi cận tích phân lượng giác, căn thức và hàm mũ để thành thạo kỹ năng này.

Có thể bạn quan tâm