Công thức tính công bội: Cách tính công bội của cấp số nhân chi tiết

Công thức tính công bội là kiến thức quan trọng khi học về cấp số nhân trong chương trình Toán học. Công bội được tính bằng tỉ số giữa một số hạng bất kỳ với số hạng đứng ngay trước nó: \( q = \frac{u_{n+1}}{u_n} \). Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững định nghĩa, các công thức và phương pháp tính công bội kèm theo ví dụ minh họa chi tiết.

Công bội là gì?

Công bội (ký hiệu là \( q \)) là một đại lượng đặc trưng của cấp số nhân, thể hiện tỉ số không đổi giữa hai số hạng liên tiếp.

Định nghĩa: Trong một cấp số nhân \( (u_n) \), công bội là tỉ số giữa một số hạng với số hạng đứng ngay trước nó.

Biểu thức toán học:

\( q = \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = \frac{u_4}{u_3} = … = \frac{u_{n+1}}{u_n} \)

Ví dụ nhận biết:

• Cấp số nhân: 2, 6, 18, 54, … có công bội \( q = \frac{6}{2} = 3 \)
• Cấp số nhân: 81, 27, 9, 3, … có công bội \( q = \frac{27}{81} = \frac{1}{3} \)
• Cấp số nhân: 5, -10, 20, -40, … có công bội \( q = \frac{-10}{5} = -2 \)

Công thức tính công bội

Dưới đây là các công thức tính công bội thường được sử dụng trong cấp số nhân.

Công thức 1: Tính từ hai số hạng liên tiếp

Đây là công thức cơ bản và phổ biến nhất:

\( q = \frac{u_{n+1}}{u_n} \) với \( u_n \neq 0 \)

Trong đó:

• \( u_{n+1} \): số hạng thứ \( (n+1) \)
• \( u_n \): số hạng thứ \( n \)
• \( q \): công bội cần tìm

Công thức 2: Tính từ hai số hạng bất kỳ

Khi biết số hạng tổng quát \( u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \), ta có:

\( q^{m-n} = \frac{u_m}{u_n} \) với \( u_n \neq 0 \)

Suy ra:

\( q = \sqrt[m-n]{\frac{u_m}{u_n}} \) với \( m > n \)

Công thức 3: Tính từ số hạng đầu và số hạng thứ n

Từ công thức số hạng tổng quát \( u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \):

\( q^{n-1} = \frac{u_n}{u_1} \)

\( q = \sqrt[n-1]{\frac{u_n}{u_1}} \) với \( n \geq 2 \)

Công thức 4: Tính từ tổng n số hạng đầu

Biết tổng \( S_n = u_1 \cdot \frac{q^n – 1}{q – 1} \) (với \( q \neq 1 \)), ta có thể tìm \( q \) bằng cách giải phương trình.

Bảng tổng hợp công thức tính công bội

Trường hợp	Công thức tính công bội	Điều kiện
Biết 2 số hạng liên tiếp \( u_n, u_{n+1} \)	\( q = \frac{u_{n+1}}{u_n} \)	\( u_n \neq 0 \)
Biết số hạng đầu \( u_1 \) và số hạng \( u_n \)	\( q = \sqrt[n-1]{\frac{u_n}{u_1}} \)	\( u_1 \neq 0, n \geq 2 \)
Biết 2 số hạng bất kỳ \( u_n, u_m \)	\( q = \sqrt[m-n]{\frac{u_m}{u_n}} \)	\( u_n \neq 0, m > n \)
Biết 3 số hạng liên tiếp \( a, b, c \)	\( q = \frac{b}{a} = \frac{c}{b} \) hay \( b^2 = ac \)	\( a \neq 0, b \neq 0 \)

Các cách tính công bội của cấp số nhân

Tùy vào dữ kiện đề bài, bạn có thể áp dụng công thức tính công bội theo các cách sau:

Cách 1: Chia trực tiếp hai số hạng liên tiếp

Áp dụng khi: Đề cho sẵn dãy số hoặc hai số hạng liên tiếp.

Phương pháp: Lấy số hạng sau chia cho số hạng trước.

\( q = \frac{u_2}{u_1} \) hoặc \( q = \frac{u_3}{u_2} \) hoặc \( q = \frac{u_{n+1}}{u_n} \)

Cách 2: Sử dụng căn thức

Áp dụng khi: Biết số hạng đầu và một số hạng bất kỳ trong dãy.

Phương pháp:

\( q = \sqrt[n-1]{\frac{u_n}{u_1}} \)

Cách 3: Lập phương trình từ điều kiện cho trước

Áp dụng khi: Đề cho các điều kiện về tổng, tích hoặc quan hệ giữa các số hạng.

Phương pháp: Đặt ẩn, thiết lập phương trình và giải tìm \( q \).

Cách 4: Sử dụng tính chất ba số hạng liên tiếp

Áp dụng khi: Ba số \( a, b, c \) lập thành cấp số nhân.

Phương pháp: Sử dụng tính chất \( b^2 = a \cdot c \), sau đó tính \( q = \frac{b}{a} \)

Điều kiện và tính chất của công bội

Điều kiện của công bội

• Công bội \( q \neq 0 \): Nếu \( q = 0 \) thì từ số hạng thứ hai trở đi đều bằng 0
• Công bội \( q \) có thể là số dương, âm hoặc phân số
• Khi \( q = 1 \): Cấp số nhân trở thành dãy hằng (các số hạng bằng nhau)

Tính chất quan trọng

Giá trị của q	Đặc điểm của cấp số nhân
\( q > 1 \) và \( u_1 > 0 \)	Dãy tăng
\( 0 < q < 1 \) và \( u_1 > 0 \)	Dãy giảm, tiến về 0
\( q < 0 \)	Dãy có các số hạng đổi dấu xen kẽ
\( q = 1 \)	Dãy hằng: \( u_1 = u_2 = u_3 = … \)
\( q = -1 \)	Dãy dao động: \( u_1, -u_1, u_1, -u_1, … \)
\( |q| < 1 \)	Dãy hội tụ về 0
\( |q| > 1 \)	Dãy phân kỳ (tiến ra vô cực)

Ví dụ minh họa chi tiết

Dưới đây là các ví dụ giúp bạn hiểu rõ cách áp dụng công thức tính công bội.

Ví dụ 1: Tính công bội từ dãy số cho trước

Đề bài: Tính công bội của cấp số nhân: 3, 12, 48, 192, …

Lời giải:

Áp dụng công thức tính công bội:

\( q = \frac{u_2}{u_1} = \frac{12}{3} = 4 \)

Kiểm tra:

• \( \frac{u_3}{u_2} = \frac{48}{12} = 4 \) ✓
• \( \frac{u_4}{u_3} = \frac{192}{48} = 4 \) ✓

Đáp số: \( q = 4 \)

Ví dụ 2: Tính công bội khi biết u₁ và uₙ

Đề bài: Cho cấp số nhân có \( u_1 = 2 \) và \( u_5 = 162 \). Tìm công bội \( q \).

Lời giải:

Áp dụng công thức \( u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \):

\( u_5 = u_1 \cdot q^{4} \)

\( 162 = 2 \cdot q^4 \)

\( q^4 = 81 \)

\( q = \pm 3 \)

Đáp số: \( q = 3 \) hoặc \( q = -3 \)

Ví dụ 3: Tính công bội từ hai số hạng bất kỳ

Đề bài: Cho cấp số nhân có \( u_3 = 12 \) và \( u_6 = 96 \). Tìm công bội.

Lời giải:

Ta có: \( u_6 = u_3 \cdot q^{6-3} = u_3 \cdot q^3 \)

\( 96 = 12 \cdot q^3 \)

\( q^3 = 8 \)

\( q = 2 \)

Đáp số: \( q = 2 \)

Ví dụ 4: Công bội là số âm

Đề bài: Tính công bội của cấp số nhân: 4, -8, 16, -32, …

Lời giải:

\( q = \frac{u_2}{u_1} = \frac{-8}{4} = -2 \)

Nhận xét: Vì \( q < 0 \) nên các số hạng đổi dấu xen kẽ.

Đáp số: \( q = -2 \)

Ví dụ 5: Tìm công bội từ điều kiện cho trước

Đề bài: Cho cấp số nhân \( (u_n) \) có \( u_1 + u_2 = 6 \) và \( u_2 + u_3 = 12 \). Tìm công bội.

Lời giải:

Ta có:

• \( u_1 + u_2 = 6 \) → \( u_1 + u_1 \cdot q = 6 \) → \( u_1(1 + q) = 6 \) (1)
• \( u_2 + u_3 = 12 \) → \( u_1 \cdot q + u_1 \cdot q^2 = 12 \) → \( u_1 \cdot q(1 + q) = 12 \) (2)

Chia (2) cho (1):

\( \frac{u_1 \cdot q(1 + q)}{u_1(1 + q)} = \frac{12}{6} \)

\( q = 2 \)

Đáp số: \( q = 2 \)

Bài tập vận dụng có lời giải

Bài tập 1

Đề bài: Tính công bội của cấp số nhân: 5, 15, 45, 135, …

Lời giải:

Áp dụng công thức tính công bội:

\( q = \frac{u_2}{u_1} = \frac{15}{5} = 3 \)

Đáp số: \( q = 3 \)

Bài tập 2

Đề bài: Cho cấp số nhân có \( u_1 = 3 \) và \( u_4 = 81 \). Tìm công bội.

Lời giải:

Ta có: \( u_4 = u_1 \cdot q^3 \)

\( 81 = 3 \cdot q^3 \)

\( q^3 = 27 \)

\( q = 3 \)

Đáp số: \( q = 3 \)

Bài tập 3

Đề bài: Tính công bội của cấp số nhân: 64, 32, 16, 8, …

Lời giải:

\( q = \frac{u_2}{u_1} = \frac{32}{64} = \frac{1}{2} \)

Đáp số: \( q = \frac{1}{2} \)

Bài tập 4

Đề bài: Cho cấp số nhân có \( u_2 = 6 \) và \( u_5 = 162 \). Tìm công bội.

Lời giải:

Ta có: \( u_5 = u_2 \cdot q^{5-2} = u_2 \cdot q^3 \)

\( 162 = 6 \cdot q^3 \)

\( q^3 = 27 \)

\( q = 3 \)

Đáp số: \( q = 3 \)

Bài tập 5

Đề bài: Ba số \( a, b, c \) theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Biết \( a = 4 \) và \( c = 25 \). Tìm \( b \) và công bội \( q \).

Lời giải:

Vì \( a, b, c \) lập thành cấp số nhân nên: \( b^2 = a \cdot c \)

\( b^2 = 4 \cdot 25 = 100 \)

\( b = \pm 10 \)

Tính công bội:

• Nếu \( b = 10 \): \( q = \frac{b}{a} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \)
• Nếu \( b = -10 \): \( q = \frac{b}{a} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} \)

Đáp số: \( b = 10, q = \frac{5}{2} \) hoặc \( b = -10, q = -\frac{5}{2} \)

Bài tập 6

Đề bài: Cho cấp số nhân \( (u_n) \) có \( u_1 \cdot u_2 \cdot u_3 = 64 \) và \( u_1 + u_2 + u_3 = 14 \). Tìm công bội.

Lời giải:

Đặt ba số hạng là \( \frac{a}{q}, a, aq \) (với \( a = u_2 \))

Từ điều kiện tích:

\( \frac{a}{q} \cdot a \cdot aq = 64 \)

\( a^3 = 64 \)

\( a = 4 \)

Từ điều kiện tổng:

\( \frac{4}{q} + 4 + 4q = 14 \)

\( \frac{4}{q} + 4q = 10 \)

\( 4 + 4q^2 = 10q \)

\( 4q^2 – 10q + 4 = 0 \)

\( 2q^2 – 5q + 2 = 0 \)

\( (2q – 1)(q – 2) = 0 \)

\( q = 2 \) hoặc \( q = \frac{1}{2} \)

Đáp số: \( q = 2 \) hoặc \( q = \frac{1}{2} \)

Kết luận

Qua bài viết này, bạn đã nắm vững công thức tính công bội của cấp số nhân. Công thức cơ bản nhất là \( q = \frac{u_{n+1}}{u_n} \), tức lấy số hạng sau chia cho số hạng đứng ngay trước. Ngoài ra, bạn cũng có thể tính công bội từ hai số hạng bất kỳ bằng công thức \( q = \sqrt[m-n]{\frac{u_m}{u_n}} \). Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo các dạng bài tập về công thức tính công bội trong cấp số nhân.