Công thức số phức: Lý thuyết, liên hợp, modun và cách tính
Công thức số phức là kiến thức trọng tâm trong chương trình Toán 12 và thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia. Bài viết này tổng hợp đầy đủ lý thuyết số phức, các công thức số phức quan trọng như công thức liên hợp, modun số phức, công thức nhân liên hợp cùng cách tính số phức chi tiết nhất.
1. Lý thuyết số phức cơ bản
Trước khi tìm hiểu các công thức số phức, chúng ta cần nắm vững lý thuyết số phức cơ bản:
1.1. Định nghĩa số phức
Số phức là số có dạng:
\( z = a + bi \)
Trong đó:
- \( a, b \in \mathbb{R} \) (số thực)
- \( i \) là đơn vị ảo với \( i^2 = -1 \)
- \( a \): phần thực của \( z \), ký hiệu \( \text{Re}(z) = a \)
- \( b \): phần ảo của \( z \), ký hiệu \( \text{Im}(z) = b \)
1.2. Các khái niệm cơ bản
| Khái niệm | Định nghĩa | Ví dụ |
|---|---|---|
| Số thực | \( z = a + 0i = a \) | \( z = 3 \) |
| Số ảo | \( z = 0 + bi = bi \) với \( b \neq 0 \) | \( z = 2i \) |
| Số ảo thuần túy | \( z = bi \) với \( b \neq 0 \) | \( z = -5i \) |
| Số phức bằng 0 | \( z = 0 + 0i = 0 \) | \( z = 0 \) |
1.3. Hai số phức bằng nhau
Cho \( z_1 = a + bi \) và \( z_2 = c + di \). Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi:
\( z_1 = z_2 \Leftrightarrow \begin{cases} a = c \\ b = d \end{cases} \)
1.4. Biểu diễn số phức trên mặt phẳng
Số phức \( z = a + bi \) được biểu diễn bởi điểm \( M(a, b) \) trên mặt phẳng tọa độ Oxy (gọi là mặt phẳng phức).
- Trục Ox: trục thực
- Trục Oy: trục ảo
- Điểm \( M(a, b) \) là điểm biểu diễn của số phức \( z = a + bi \)
2. Các công thức số phức quan trọng
Dưới đây là tổng hợp các công thức số phức cần ghi nhớ:
2.1. Công thức liên hợp của số phức
Cho số phức \( z = a + bi \). Số phức liên hợp của \( z \) ký hiệu là \( \bar{z} \):
\( \bar{z} = a – bi \)
Tính chất của số phức liên hợp:
| Tính chất | Công thức |
|---|---|
| Liên hợp của liên hợp | \( \overline{(\bar{z})} = z \) |
| Liên hợp của tổng | \( \overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2} \) |
| Liên hợp của hiệu | \( \overline{z_1 – z_2} = \bar{z_1} – \bar{z_2} \) |
| Liên hợp của tích | \( \overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2} \) |
| Liên hợp của thương | \( \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}} \) với \( z_2 \neq 0 \) |
| Liên hợp của lũy thừa | \( \overline{z^n} = (\bar{z})^n \) |
2.2. Công thức Modun số phức
Modun số phức (hay môđun) của \( z = a + bi \) ký hiệu là \( |z| \):
\( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)
Tính chất của modun:
| Tính chất | Công thức |
|---|---|
| Modun luôn không âm | \( |z| \geq 0 \), \( |z| = 0 \Leftrightarrow z = 0 \) |
| Modun của liên hợp | \( |\bar{z}| = |z| \) |
| Modun của tích | \( |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| \) |
| Modun của thương | \( \left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \) với \( z_2 \neq 0 \) |
| Modun của lũy thừa | \( |z^n| = |z|^n \) |
| Bất đẳng thức tam giác | \( |z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2| \) |
2.3. Công thức nhân liên hợp
Công thức nhân liên hợp là công thức quan trọng trong cách tính số phức:
\( z \cdot \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2 \)
Chứng minh: \( z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a – bi) = a^2 – (bi)^2 = a^2 – b^2 i^2 = a^2 + b^2 \)
Ứng dụng: Dùng để khử mẫu ảo khi chia số phức.
2.4. Công thức lũy thừa của đơn vị ảo i
Các lũy thừa của \( i \) tuần hoàn theo chu kỳ 4:
| Lũy thừa | Giá trị |
|---|---|
| \( i^0 \) | \( 1 \) |
| \( i^1 \) | \( i \) |
| \( i^2 \) | \( -1 \) |
| \( i^3 \) | \( -i \) |
| \( i^4 \) | \( 1 \) |
Công thức tổng quát:
\( i^n = i^{n \mod 4} \)
Trong đó \( n \mod 4 \) là số dư khi chia \( n \) cho 4.
2.5. Bảng tổng hợp công thức số phức
| Công thức | Biểu thức |
|---|---|
| Số phức | \( z = a + bi \) |
| Số phức liên hợp | \( \bar{z} = a – bi \) |
| Modun số phức | \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \) |
| Nhân liên hợp | \( z \cdot \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2 \) |
| Tổng với liên hợp | \( z + \bar{z} = 2a = 2\text{Re}(z) \) |
| Hiệu với liên hợp | \( z – \bar{z} = 2bi = 2i \cdot \text{Im}(z) \) |
3. Cách tính số phức – Các phép toán
Dưới đây là cách tính số phức với các phép toán cơ bản:
3.1. Phép cộng và trừ số phức
Cho \( z_1 = a + bi \) và \( z_2 = c + di \):
\( z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i \)
\( z_1 – z_2 = (a – c) + (b – d)i \)
Quy tắc: Cộng (trừ) phần thực với phần thực, phần ảo với phần ảo.
3.2. Phép nhân số phức
Cho \( z_1 = a + bi \) và \( z_2 = c + di \):
\( z_1 \cdot z_2 = (ac – bd) + (ad + bc)i \)
Cách tính: Nhân như đa thức, thay \( i^2 = -1 \).
\( z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = ac + adi + bci – bd = (ac – bd) + (ad + bc)i \)
3.3. Phép chia số phức
Cho \( z_1 = a + bi \) và \( z_2 = c + di \neq 0 \):
\( \frac{z_1}{z_2} = \frac{(a + bi)(c – di)}{(c + di)(c – di)} = \frac{(ac + bd) + (bc – ad)i}{c^2 + d^2} \)
Quy tắc: Nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu để khử phần ảo ở mẫu.
\( \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \cdot \bar{z_2}}{z_2 \cdot \bar{z_2}} = \frac{z_1 \cdot \bar{z_2}}{|z_2|^2} \)
3.4. Lũy thừa số phức
Một số công thức lũy thừa đặc biệt:
| Công thức | Kết quả |
|---|---|
| \( (1 + i)^2 \) | \( 2i \) |
| \( (1 – i)^2 \) | \( -2i \) |
| \( (1 + i)^4 \) | \( -4 \) |
| \( (1 – i)^4 \) | \( -4 \) |
| \( (1 + i)(1 – i) \) | \( 2 \) |
3.5. Căn bậc hai của số âm
Với \( a > 0 \):
\( \sqrt{-a} = i\sqrt{a} \)
4. Dạng lượng giác của số phức
Ngoài dạng đại số, số phức còn có thể biểu diễn dưới dạng lượng giác:
4.1. Công thức dạng lượng giác
\( z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) \)
Trong đó:
- \( r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \): modun số phức
- \( \varphi \): argument (đối số) của số phức, với \( \cos\varphi = \frac{a}{r} \), \( \sin\varphi = \frac{b}{r} \)
4.2. Nhân và chia dạng lượng giác
Cho \( z_1 = r_1(\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1) \) và \( z_2 = r_2(\cos\varphi_2 + i\sin\varphi_2) \):
Phép nhân:
\( z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 [\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)] \)
Phép chia:
\( \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} [\cos(\varphi_1 – \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 – \varphi_2)] \)
4.3. Công thức Moivre
\( z^n = r^n (\cos n\varphi + i\sin n\varphi) \)
5. Các dạng bài tập số phức thường gặp
Để vận dụng thành thạo công thức số phức, học sinh cần nắm các dạng bài sau:
5.1. Dạng 1: Tính toán cơ bản với số phức
Phương pháp:
- Áp dụng công thức số phức cho phép cộng, trừ, nhân
- Với phép chia: nhân liên hợp để khử mẫu
- Rút gọn và đưa về dạng \( a + bi \)
5.2. Dạng 2: Tìm modun số phức
Phương pháp:
- Đưa số phức về dạng \( z = a + bi \)
- Áp dụng công thức \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)
5.3. Dạng 3: Tìm số phức liên hợp
Phương pháp:
- Tính số phức \( z = a + bi \)
- Áp dụng công thức liên hợp: \( \bar{z} = a – bi \)
5.4. Dạng 4: Tìm số phức thỏa điều kiện cho trước
Phương pháp:
- Đặt \( z = a + bi \) với \( a, b \in \mathbb{R} \)
- Thay vào điều kiện và giải hệ phương trình
6. Ví dụ và bài tập minh họa
Dưới đây là các ví dụ minh họa cách tính số phức chi tiết:
Ví dụ 1: Tính tổng và hiệu số phức
Đề bài: Cho \( z_1 = 3 + 2i \) và \( z_2 = 1 – 4i \). Tính \( z_1 + z_2 \) và \( z_1 – z_2 \).
Lời giải:
\( z_1 + z_2 = (3 + 2i) + (1 – 4i) = (3 + 1) + (2 – 4)i = 4 – 2i \)
\( z_1 – z_2 = (3 + 2i) – (1 – 4i) = (3 – 1) + (2 + 4)i = 2 + 6i \)
Đáp số: \( z_1 + z_2 = 4 – 2i \), \( z_1 – z_2 = 2 + 6i \)
Ví dụ 2: Tính tích số phức
Đề bài: Tính \( z = (2 + 3i)(4 – i) \).
Lời giải:
\( z = (2 + 3i)(4 – i) \)
\( z = 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i) \)
\( z = 8 – 2i + 12i – 3i^2 \)
\( z = 8 + 10i – 3(-1) \)
\( z = 8 + 10i + 3 = 11 + 10i \)
Đáp số: \( z = 11 + 10i \)
Ví dụ 3: Tính thương số phức (Công thức nhân liên hợp)
Đề bài: Tính \( z = \frac{3 + 2i}{1 – 2i} \).
Lời giải:
Nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu:
\( z = \frac{3 + 2i}{1 – 2i} \cdot \frac{1 + 2i}{1 + 2i} = \frac{(3 + 2i)(1 + 2i)}{(1 – 2i)(1 + 2i)} \)
Tính tử số:
\( (3 + 2i)(1 + 2i) = 3 + 6i + 2i + 4i^2 = 3 + 8i – 4 = -1 + 8i \)
Tính mẫu số (áp dụng công thức nhân liên hợp):
\( (1 – 2i)(1 + 2i) = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 \)
\( z = \frac{-1 + 8i}{5} = -\frac{1}{5} + \frac{8}{5}i \)
Đáp số: \( z = -\frac{1}{5} + \frac{8}{5}i \)
Ví dụ 4: Tính modun số phức
Đề bài: Tính modun số phức \( z = 3 – 4i \).
Lời giải:
Áp dụng công thức modun:
\( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
Đáp số: \( |z| = 5 \)
Ví dụ 5: Tìm số phức liên hợp
Đề bài: Cho \( z = \frac{2 + i}{1 – i} \). Tìm số phức liên hợp \( \bar{z} \).
Lời giải:
Bước 1: Tính \( z \)
\( z = \frac{2 + i}{1 – i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(2 + i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)} \)
Tử số: \( (2 + i)(1 + i) = 2 + 2i + i + i^2 = 2 + 3i – 1 = 1 + 3i \)
Mẫu số: \( (1 – i)(1 + i) = 1 + 1 = 2 \)
\( z = \frac{1 + 3i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i \)
Bước 2: Áp dụng công thức liên hợp
\( \bar{z} = \frac{1}{2} – \frac{3}{2}i \)
Đáp số: \( \bar{z} = \frac{1}{2} – \frac{3}{2}i \)
Ví dụ 6: Tính lũy thừa của i
Đề bài: Tính \( i^{2023} \).
Lời giải:
Chia 2023 cho 4: \( 2023 = 4 \times 505 + 3 \)
Số dư là 3, nên:
\( i^{2023} = i^3 = -i \)
Đáp số: \( i^{2023} = -i \)
Ví dụ 7: Tính lũy thừa số phức
Đề bài: Tính \( (1 + i)^6 \).
Lời giải:
Cách 1: Tính dần
\( (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i – 1 = 2i \)
\( (1 + i)^4 = [(1 + i)^2]^2 = (2i)^2 = 4i^2 = -4 \)
\( (1 + i)^6 = (1 + i)^4 \cdot (1 + i)^2 = (-4) \cdot (2i) = -8i \)
Đáp số: \( (1 + i)^6 = -8i \)
Ví dụ 8: Tìm số phức thỏa điều kiện
Đề bài: Tìm số phức \( z \) thỏa mãn \( (1 + 2i)z + (3 – i) = 5 + 4i \).
Lời giải:
\( (1 + 2i)z = 5 + 4i – (3 – i) = 5 + 4i – 3 + i = 2 + 5i \)
\( z = \frac{2 + 5i}{1 + 2i} \)
Nhân liên hợp:
\( z = \frac{(2 + 5i)(1 – 2i)}{(1 + 2i)(1 – 2i)} = \frac{2 – 4i + 5i – 10i^2}{1 + 4} = \frac{2 + i + 10}{5} = \frac{12 + i}{5} \)
\( z = \frac{12}{5} + \frac{1}{5}i \)
Đáp số: \( z = \frac{12}{5} + \frac{1}{5}i \)
Ví dụ 9: Tính modun của biểu thức
Đề bài: Tính \( |z| \) với \( z = \frac{(1 + i)^4}{(1 – i)^2} \).
Lời giải:
Áp dụng tính chất modun số phức:
\( |z| = \frac{|1 + i|^4}{|1 – i|^2} \)
\( |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)
\( |1 – i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)
\( |z| = \frac{(\sqrt{2})^4}{(\sqrt{2})^2} = \frac{4}{2} = 2 \)
Đáp số: \( |z| = 2 \)
Bài tập tự luyện
Hãy thử sức với các bài tập sau để củng cố các công thức số phức:
| Bài | Đề bài | Đáp án |
|---|---|---|
| 1 | Tính \( (2 – 3i)(3 + 2i) \) | \( 12 – 5i \) |
| 2 | Tính \( \frac{5 + 3i}{2 – i} \) | \( \frac{7}{5} + \frac{11}{5}i \) |
| 3 | Tính modun \( |5 + 12i| \) | \( 13 \) |
| 4 | Tìm liên hợp của \( z = (1 – i)^2 \) | \( \bar{z} = 2i \) |
| 5 | Tính \( i^{100} + i^{101} + i^{102} + i^{103} \) | \( 0 \) |
| 6 | Tính \( z \cdot \bar{z} \) với \( z = 3 + 4i \) | \( 25 \) |
7. Mẹo ghi nhớ công thức số phức
Để ghi nhớ công thức số phức hiệu quả:
| Công thức | Mẹo ghi nhớ |
|---|---|
| \( i^2 = -1 \) | Quy tắc cơ bản nhất, luôn nhớ! |
| \( \bar{z} = a – bi \) | Đổi dấu phần ảo |
| \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \) | Như tính độ dài vectơ trong Oxy |
| \( z \cdot \bar{z} = |z|^2 \) | Nhân liên hợp = bình phương modun |
| Lũy thừa \( i \) | Chu kỳ 4: \( 1 \to i \to -1 \to -i \to 1 \) |
8. Kết luận
Qua bài viết này, chúng ta đã tổng hợp đầy đủ công thức số phức và lý thuyết số phức quan trọng. Từ công thức liên hợp, modun số phức đến công thức nhân liên hợp và cách tính số phức đều được trình bày chi tiết.
Để làm tốt các bài tập về số phức, học sinh cần nhớ:
- Công thức số phức cơ bản: \( z = a + bi \), \( \bar{z} = a – bi \), \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)
- Công thức nhân liên hợp: \( z \cdot \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2 \) – dùng để khử mẫu ảo
- Lũy thừa của \( i \) tuần hoàn theo chu kỳ 4
- Khi chia số phức: nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu
Nắm vững các công thức số phức sẽ giúp học sinh tự tin giải quyết các bài toán về số phức trong kỳ thi THPT Quốc gia.
