Dấu của giá trị lượng giác: Bảng xét dấu, cách xác định chi tiết

Việc xác định dấu của giá trị lượng giác là kiến thức nền tảng quan trọng trong toán học. Hiểu rõ dấu của các hàm lượng giác sin, cos, tan, cot trong từng góc phần tư sẽ giúp bạn giải nhanh các bài toán và tránh sai sót. Bài viết này trình bày chi tiết quy tắc xác định dấu kèm bài tập minh họa.

Dấu của giá trị lượng giác trong các góc phần tư

Trước khi tìm hiểu dấu của giá trị lượng giác, chúng ta cần nắm vững khái niệm về đường tròn lượng giác và các góc phần tư.

Đường tròn lượng giác và các góc phần tư

Đường tròn lượng giác là đường tròn có tâm O, bán kính R = 1, với trục hoành Ox và trục tung Oy chia đường tròn thành 4 phần gọi là các góc phần tư.

Bảng dấu của sin, cos, tan, cot

Bảng tổng hợp dấu của giá trị lượng giác trong các góc phần tư:

Quy tắc xác định dấu của giá trị lượng giác

Để hiểu sâu hơn về dấu của giá trị lượng giác, chúng ta cùng phân tích từng hàm số.

Dấu của sin x

Trên đường tròn lượng giác, \(\sin x\) là tung độ của điểm M trên đường tròn.

• Góc phần tư I và II: Điểm M nằm phía trên trục hoành → tung độ dương → \(\sin x > 0\)
• Góc phần tư III và IV: Điểm M nằm phía dưới trục hoành → tung độ âm → \(\sin x < 0\)

Kết luận: \(\sin x > 0\) khi \(x \in (0°; 180°)\) và \(\sin x < 0\) khi \(x \in (180°; 360°)\)

Dấu của cos x

Trên đường tròn lượng giác, \(\cos x\) là hoành độ của điểm M trên đường tròn.

• Góc phần tư I và IV: Điểm M nằm bên phải trục tung → hoành độ dương → \(\cos x > 0\)
• Góc phần tư II và III: Điểm M nằm bên trái trục tung → hoành độ âm → \(\cos x < 0\)

Kết luận: \(\cos x > 0\) khi \(x \in (-90°; 90°)\) và \(\cos x < 0\) khi \(x \in (90°; 270°)\)

Dấu của tan x và cot x

Ta có công thức: \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\) và \(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\)

Quy tắc xác định dấu:

• \(\tan x > 0\) khi \(\sin x\) và \(\cos x\) cùng dấu (góc phần tư I và III)
• \(\tan x < 0\) khi \(\sin x\) và \(\cos x\) khác dấu (góc phần tư II và IV)
• \(\cot x\) có dấu giống với \(\tan x\)

Cách nhớ dấu của giá trị lượng giác

Dưới đây là một số cách giúp bạn ghi nhớ nhanh dấu của các hàm lượng giác.

Cách 1: Quy tắc “All Students Take Coffee”

Đây là cách nhớ phổ biến trong tiếng Anh:

Cách 2: Quy tắc bàn tay

Hình dung hệ trục tọa độ trên bàn tay:

• Sin: Nhìn theo chiều dọc (trục tung) → Dương ở nửa trên (góc phần tư I, II)
• Cos: Nhìn theo chiều ngang (trục hoành) → Dương ở nửa phải (góc phần tư I, IV)
• Tan, Cot: Dương khi sin và cos cùng dấu (góc phần tư I, III)

Cách 3: Sơ đồ hình tròn

Vẽ đường tròn chia làm 4 phần và ghi nhớ:

• Góc phần tư I: Tất cả dương (+, +, +, +)
• Góc phần tư II: Chỉ sin dương (+, −, −, −)
• Góc phần tư III: Chỉ tan, cot dương (−, −, +, +)
• Góc phần tư IV: Chỉ cos dương (−, +, −, −)

Bài tập ví dụ minh họa

Áp dụng kiến thức về dấu của giá trị lượng giác, chúng ta cùng giải các bài tập sau.

Bài tập 1

Đề bài: Xác định dấu của \(\sin 150°\), \(\cos 150°\), \(\tan 150°\).

Lời giải:

Góc \(150°\) thuộc góc phần tư II vì \(90° < 150° < 180°\).

Theo bảng dấu ở góc phần tư II:

• \(\sin 150° > 0\) (dương)
• \(\cos 150° < 0\) (âm)
• \(\tan 150° < 0\) (âm)

Đáp án: \(\sin 150° > 0\), \(\cos 150° < 0\), \(\tan 150° < 0\)

Bài tập 2

Đề bài: Xác định dấu của \(\sin\frac{5\pi}{4}\), \(\cos\frac{5\pi}{4}\), \(\cot\frac{5\pi}{4}\).

Lời giải:

Ta có: \(\frac{5\pi}{4} = \frac{5 \times 180°}{4} = 225°\)

Góc \(225°\) thuộc góc phần tư III vì \(180° < 225° < 270°\).

Theo bảng dấu ở góc phần tư III:

• \(\sin\frac{5\pi}{4} < 0\) (âm)
• \(\cos\frac{5\pi}{4} < 0\) (âm)
• \(\cot\frac{5\pi}{4} > 0\) (dương)

Đáp án: \(\sin\frac{5\pi}{4} < 0\), \(\cos\frac{5\pi}{4} < 0\), \(\cot\frac{5\pi}{4} > 0\)

Bài tập 3

Đề bài: Biết \(\sin x = \frac{3}{5}\) và \(\frac{\pi}{2} < x < \pi\). Tính \(\cos x\) và \(\tan x\).

Lời giải:

Áp dụng công thức: \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)

\[\cos^2 x = 1 – \sin^2 x = 1 – \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\]

\[\cos x = \pm\frac{4}{5}\]

Vì \(\frac{\pi}{2} < x < \pi\) (góc phần tư II) nên \(\cos x < 0\):

\[\cos x = -\frac{4}{5}\]

Tính \(\tan x\):

\[\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}\]

Đáp án: \(\cos x = -\frac{4}{5}\), \(\tan x = -\frac{3}{4}\)

Bài tập 4

Đề bài: Xác định góc phần tư của góc \(x\) biết \(\sin x < 0\) và \(\cos x > 0\).

Lời giải:

Theo bảng dấu:

• \(\sin x < 0\) → x thuộc góc phần tư III hoặc IV
• \(\cos x > 0\) → x thuộc góc phần tư I hoặc IV

Kết hợp cả hai điều kiện: x thuộc góc phần tư IV.

Đáp án: Góc \(x\) thuộc góc phần tư IV, tức \(\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi\) (hay \(270° < x < 360°\))

Bài tập 5

Đề bài: Biết \(\tan x = 2\) và \(\pi < x < \frac{3\pi}{2}\). Tính \(\sin x\) và \(\cos x\).

Lời giải:

Ta có: \(1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\)

\[\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + 4 = 5\]

\[\cos^2 x = \frac{1}{5} \Rightarrow \cos x = \pm\frac{1}{\sqrt{5}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{5}\]

Vì \(\pi < x < \frac{3\pi}{2}\) (góc phần tư III) nên \(\cos x < 0\):

\[\cos x = -\frac{\sqrt{5}}{5}\]

Tính \(\sin x\):

\[\sin x = \tan x \cdot \cos x = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}\]

Đáp án: \(\sin x = -\frac{2\sqrt{5}}{5}\), \(\cos x = -\frac{\sqrt{5}}{5}\)

Bài tập 6

Đề bài: So sánh \(\sin 1\), \(\sin 2\), \(\sin 3\) (đơn vị radian).

Lời giải:

Xác định vị trí các góc:

• \(1 \approx 57.3°\) → Góc phần tư I → \(\sin 1 > 0\)
• \(2 \approx 114.6°\) → Góc phần tư II → \(\sin 2 > 0\)
• \(3 \approx 171.9°\) → Góc phần tư II → \(\sin 3 > 0\)

Ta có: \(\frac{\pi}{2} \approx 1.57\), nên:

• \(\sin 1 = \sin 1\)
• \(\sin 2 = \sin(\pi – 2) = \sin(1.14…)\)
• \(\sin 3 = \sin(\pi – 3) = \sin(0.14…)\)

Vì hàm sin đồng biến trên \((0; \frac{\pi}{2})\) và \(0.14 < 1 < 1.14\):

Đáp án: \(\sin 3 < \sin 1 < \sin 2\)

Kết luận

Bài viết đã trình bày đầy đủ kiến thức về dấu của giá trị lượng giác bao gồm bảng dấu, quy tắc xác định và các cách ghi nhớ hiệu quả. Việc nắm vững dấu của các hàm lượng giác sin, cos, tan, cot trong từng góc phần tư là nền tảng quan trọng để giải các bài toán lượng giác chính xác. Hãy luyện tập thường xuyên với các bài tập để thành thạo kỹ năng này!