Công thức lượng giác: Bảng tổng hợp đầy đủ và bài tập có lời giải
Công thức lượng giác là hệ thống các đẳng thức toán học thể hiện mối quan hệ giữa các hàm sin, cos, tan, cot. Đây là kiến thức nền tảng quan trọng trong chương trình Toán THPT. Bài viết tổng hợp công thức lượng giác đầy đủ nhất bao gồm bảng lượng giác, các công thức cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh nắm vững và áp dụng hiệu quả.
1. Lượng giác là gì?
Lượng giác là một nhánh của toán học nghiên cứu mối quan hệ giữa các cạnh và góc trong tam giác. Các hàm lượng giác cơ bản bao gồm:
| Hàm số | Ký hiệu | Định nghĩa trong tam giác vuông |
|---|---|---|
| Sin | \( \sin \alpha \) | Cạnh đối / Cạnh huyền |
| Cos | \( \cos \alpha \) | Cạnh kề / Cạnh huyền |
| Tan | \( \tan \alpha \) | Cạnh đối / Cạnh kề |
| Cot | \( \cot \alpha \) | Cạnh kề / Cạnh đối |
2. Bảng lượng giác các góc đặc biệt
Bảng lượng giác dưới đây tổng hợp giá trị các hàm lượng giác tại các góc đặc biệt thường gặp:
2.1. Bảng công thức lượng giác góc đặc biệt cơ bản
| Góc | \( 0° \) | \( 30° \) | \( 45° \) | \( 60° \) | \( 90° \) |
|---|---|---|---|---|---|
| Radian | \( 0 \) | \( \frac{\pi}{6} \) | \( \frac{\pi}{4} \) | \( \frac{\pi}{3} \) | \( \frac{\pi}{2} \) |
| \( \sin \) | \( 0 \) | \( \frac{1}{2} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( 1 \) |
| \( \cos \) | \( 1 \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \frac{1}{2} \) | \( 0 \) |
| \( \tan \) | \( 0 \) | \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) | \( 1 \) | \( \sqrt{3} \) | KXĐ |
| \( \cot \) | KXĐ | \( \sqrt{3} \) | \( 1 \) | \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) | \( 0 \) |
2.2. Bảng lượng giác mở rộng
| Góc | \( 120° \) | \( 135° \) | \( 150° \) | \( 180° \) |
|---|---|---|---|---|
| Radian | \( \frac{2\pi}{3} \) | \( \frac{3\pi}{4} \) | \( \frac{5\pi}{6} \) | \( \pi \) |
| \( \sin \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \frac{1}{2} \) | \( 0 \) |
| \( \cos \) | \( -\frac{1}{2} \) | \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( -1 \) |
| \( \tan \) | \( -\sqrt{3} \) | \( -1 \) | \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \) | \( 0 \) |
| \( \cot \) | \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \) | \( -1 \) | \( -\sqrt{3} \) | KXĐ |
3. Công thức lượng giác cơ bản
Các công thức lượng giác cơ bản thể hiện mối quan hệ giữa các hàm lượng giác:
3.1. Hệ thức cơ bản
| STT | Công thức |
|---|---|
| 1 | \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) |
| 2 | \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) (với \( \cos \alpha \neq 0 \)) |
| 3 | \( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \) (với \( \sin \alpha \neq 0 \)) |
| 4 | \( \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1 \) |
| 5 | \( 1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \) |
| 6 | \( 1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \) |
3.2. Công thức góc đối, góc bù, góc phụ
Góc đối (\( -\alpha \)):
- \( \sin(-\alpha) = -\sin \alpha \)
- \( \cos(-\alpha) = \cos \alpha \)
- \( \tan(-\alpha) = -\tan \alpha \)
- \( \cot(-\alpha) = -\cot \alpha \)
Góc bù (\( \pi – \alpha \)):
- \( \sin(\pi – \alpha) = \sin \alpha \)
- \( \cos(\pi – \alpha) = -\cos \alpha \)
- \( \tan(\pi – \alpha) = -\tan \alpha \)
- \( \cot(\pi – \alpha) = -\cot \alpha \)
Góc phụ (\( \frac{\pi}{2} – \alpha \)):
- \( \sin\left(\frac{\pi}{2} – \alpha\right) = \cos \alpha \)
- \( \cos\left(\frac{\pi}{2} – \alpha\right) = \sin \alpha \)
- \( \tan\left(\frac{\pi}{2} – \alpha\right) = \cot \alpha \)
- \( \cot\left(\frac{\pi}{2} – \alpha\right) = \tan \alpha \)
4. Công thức cộng lượng giác
Công thức lượng giác cho tổng và hiệu hai góc:
4.1. Công thức cộng
| \( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \) |
| \( \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta \) |
| \( \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 – \tan \alpha \tan \beta} \) |
4.2. Công thức trừ
| \( \sin(\alpha – \beta) = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta \) |
| \( \cos(\alpha – \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \) |
| \( \tan(\alpha – \beta) = \frac{\tan \alpha – \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} \) |
5. Công thức nhân đôi, nhân ba
5.1. Công thức nhân đôi
Công thức lượng giác góc nhân đôi (\( 2\alpha \)):
| Hàm số | Công thức |
|---|---|
| Sin | \( \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \) |
| Cos | \( \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha \) |
| \( \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha – 1 \) | |
| \( \cos 2\alpha = 1 – 2\sin^2 \alpha \) | |
| Tan | \( \tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 – \tan^2 \alpha} \) |
5.2. Công thức nhân ba
Công thức lượng giác góc nhân ba (\( 3\alpha \)):
- \( \sin 3\alpha = 3\sin \alpha – 4\sin^3 \alpha \)
- \( \cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha – 3\cos \alpha \)
- \( \tan 3\alpha = \frac{3\tan \alpha – \tan^3 \alpha}{1 – 3\tan^2 \alpha} \)
6. Công thức hạ bậc
Bảng công thức lượng giác hạ bậc giúp đưa lũy thừa cao về bậc thấp hơn:
6.1. Công thức hạ bậc 2
| \( \sin^2 \alpha = \frac{1 – \cos 2\alpha}{2} \) |
| \( \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} \) |
| \( \tan^2 \alpha = \frac{1 – \cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} \) |
6.2. Công thức hạ bậc 3
| \( \sin^3 \alpha = \frac{3\sin \alpha – \sin 3\alpha}{4} \) |
| \( \cos^3 \alpha = \frac{3\cos \alpha + \cos 3\alpha}{4} \) |
7. Công thức biến đổi tổng thành tích
Tổng hợp công thức lượng giác biến đổi tổng thành tích:
| Dạng | Công thức |
|---|---|
| sin + sin | \( \sin a + \sin b = 2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2} \) |
| sin – sin | \( \sin a – \sin b = 2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2} \) |
| cos + cos | \( \cos a + \cos b = 2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2} \) |
| cos – cos | \( \cos a – \cos b = -2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2} \) |
| tan + tan | \( \tan a + \tan b = \frac{\sin(a+b)}{\cos a \cos b} \) |
| tan – tan | \( \tan a – \tan b = \frac{\sin(a-b)}{\cos a \cos b} \) |
8. Công thức biến đổi tích thành tổng
Các công thức lượng giác biến đổi tích thành tổng:
| \( \cos a \cos b = \frac{1}{2}[\cos(a-b) + \cos(a+b)] \) |
| \( \sin a \sin b = \frac{1}{2}[\cos(a-b) – \cos(a+b)] \) |
| \( \sin a \cos b = \frac{1}{2}[\sin(a+b) + \sin(a-b)] \) |
9. Công thức lượng giác 11 nâng cao
Công thức lượng giác 11 bao gồm các dạng nâng cao thường gặp trong chương trình lớp 11:
9.1. Công thức theo tan góc chia đôi
Đặt \( t = \tan\frac{\alpha}{2} \), ta có:
| \( \sin \alpha = \frac{2t}{1+t^2} \) |
| \( \cos \alpha = \frac{1-t^2}{1+t^2} \) |
| \( \tan \alpha = \frac{2t}{1-t^2} \) |
9.2. Công thức biểu diễn theo sin, cos
Với \( a\sin x + b\cos x \), ta có:
\( a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\sin(x + \varphi) \)
Trong đó: \( \cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \) và \( \sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \)
9.3. Công thức bổ sung
- \( \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 – 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 – \frac{\sin^2 2\alpha}{2} \)
- \( \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = 1 – 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 – \frac{3\sin^2 2\alpha}{4} \)
- \( \sin \alpha + \sin(\alpha + \frac{2\pi}{3}) + \sin(\alpha + \frac{4\pi}{3}) = 0 \)
- \( \cos \alpha + \cos(\alpha + \frac{2\pi}{3}) + \cos(\alpha + \frac{4\pi}{3}) = 0 \)
10. Bài tập vận dụng công thức lượng giác có lời giải
Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác
Đề bài: Cho \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \) với \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \). Tính \( \cos \alpha \), \( \tan \alpha \), \( \sin 2\alpha \).
Lời giải:
- Áp dụng \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):
\( \cos^2 \alpha = 1 – \sin^2 \alpha = 1 – \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \) - Vì \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \) nên \( \cos \alpha > 0 \):
\( \cos \alpha = \frac{4}{5} \) - Tính tan: \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4} \)
- Áp dụng công thức nhân đôi:
\( \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25} \)
Đáp số: \( \cos \alpha = \frac{4}{5} \), \( \tan \alpha = \frac{3}{4} \), \( \sin 2\alpha = \frac{24}{25} \)
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức
Đề bài: Rút gọn biểu thức \( A = \sin^2 x + \sin^2\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \sin^2\left(x – \frac{\pi}{3}\right) \)
Lời giải:
- Áp dụng công thức hạ bậc: \( \sin^2 \theta = \frac{1 – \cos 2\theta}{2} \)
- \( A = \frac{1 – \cos 2x}{2} + \frac{1 – \cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)}{2} + \frac{1 – \cos\left(2x – \frac{2\pi}{3}\right)}{2} \)
- \( A = \frac{3}{2} – \frac{1}{2}\left[\cos 2x + \cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) + \cos\left(2x – \frac{2\pi}{3}\right)\right] \)
- Áp dụng: \( \cos \theta + \cos\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right) + \cos\left(\theta – \frac{2\pi}{3}\right) = 0 \)
- \( A = \frac{3}{2} – \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{3}{2} \)
Đáp số: \( A = \frac{3}{2} \)
Ví dụ 3: Biến đổi tổng thành tích
Đề bài: Chứng minh \( \sin 50° + \sin 70° = \sin 80° \)
Lời giải:
- Áp dụng công thức: \( \sin a + \sin b = 2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2} \)
- \( \sin 50° + \sin 70° = 2\sin\frac{50°+70°}{2}\cos\frac{50°-70°}{2} \)
- \( = 2\sin 60° \cos(-10°) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos 10° \)
- \( = \sqrt{3}\cos 10° \)
- Ta có: \( \sin 80° = \cos 10° \) (góc phụ)
- Cần chứng minh: \( \sqrt{3}\cos 10° = \cos 10° \) → Không đúng!
- Kiểm tra lại: \( \sin 80° = \sin(60° + 20°) \)
- Thực tế: \( \sin 50° + \sin 70° = 2\sin 60°\cos 10° = \sqrt{3}\cos 10° \approx 1.705 \)
- Và \( \sin 80° \approx 0.985 \)
Kết luận: Đẳng thức không đúng.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho \( \cos \alpha = -\frac{5}{13} \) với \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). Tính \( \sin \alpha \), \( \tan 2\alpha \).
Bài 2: Rút gọn \( B = \frac{\sin 3x + \sin 5x}{\cos 3x + \cos 5x} \)
Bài 3: Chứng minh: \( \tan x + \cot x = \frac{2}{\sin 2x} \)
Bài 4: Tính giá trị của \( \cos 20° \cos 40° \cos 80° \)
Đáp án:
- Bài 1: \( \sin \alpha = \frac{12}{13} \), \( \tan 2\alpha = -\frac{120}{119} \)
- Bài 2: \( B = \tan 4x \)
- Bài 3: VT = \( \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin 2x} = \frac{2}{\sin 2x} \) = VP
- Bài 4: \( \frac{1}{8} \)
Kết luận
Bài viết đã tổng hợp công thức lượng giác đầy đủ từ cơ bản đến nâng cao, bao gồm bảng lượng giác các góc đặc biệt, công thức cộng trừ, nhân đôi, nhân ba, hạ bậc và biến đổi. Đây là công thức lượng giác full cần thiết cho học sinh lớp 10, 11 và ôn thi THPT Quốc gia.
Có thể bạn quan tâm
- Phương trình lượng giác đặc biệt: sin x = 0, sin x = 1 và công thức
- Diện tích hình viên phân - Công thức và ví dụ thực tế cho học sinh
- Số tự nhiên lớn nhất có sáu chữ số khác nhau là số nào?
- 3 đường conic: Elip, Hyperbol, Parabol - Lý thuyết và công thức
- Quy tắc hình bình hành, quy tắc 3 điểm: Công thức và bài tập
