Sinx.cosx bằng gì? Công thức sinx + cosx, sinx – cosx chi tiết

Sinx cosx bằng gì là câu hỏi thường gặp khi học công thức lượng giác. Bài viết này sẽ giải đáp chi tiết sinx.cosx bằng gì, sinx + cosx bằng gì, sinx – cosx bằng gì cùng các công thức biến đổi quan trọng và ví dụ minh họa dễ hiểu nhất.

Sinx cosx bằng gì?

Câu hỏi sinx cosx bằng gì hay cosx.sinx bằng gì được trả lời bằng công thức nhân đôi.

Công thức sinx.cosx

Công thức chính:

\[ \sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x \]

Chứng minh:

Từ công thức nhân đôi: \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \)

Suy ra: \( \sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2} = \frac{1}{2}\sin 2x \)

Các dạng tương đương:

Công thức gốc	Công thức biến đổi
\( \sin x \cos x \)	\( \frac{1}{2}\sin 2x \)
\( \sin ax \cos ax \)	\( \frac{1}{2}\sin 2ax \)
\( \sin 2x \cos 2x \)	\( \frac{1}{2}\sin 4x \)
\( \sin 3x \cos 3x \)	\( \frac{1}{2}\sin 6x \)

Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1: Tính \( \sin 15° \cos 15° \)

Giải:

\[ \sin 15° \cos 15° = \frac{1}{2}\sin 30° = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]

Ví dụ 2: Tính \( \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} \)

Giải:

\[ \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = \frac{1}{2}\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} \]

Ví dụ 3: Rút gọn \( 4\sin x \cos x \)

Giải:

\[ 4\sin x \cos x = 4 \cdot \frac{1}{2}\sin 2x = 2\sin 2x \]

Tiếp theo, hãy xem sinx + cosx bằng gì.

Sinx + cosx bằng gì?

Sinx + cosx bằng gì là câu hỏi quan trọng trong biến đổi lượng giác. Tổng này có thể viết dưới dạng một hàm lượng giác duy nhất.

Công thức sinx + cosx

Công thức chính:

\[ \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \]

Hoặc:

\[ \sin x + \cos x = \sqrt{2}\cos\left(x – \frac{\pi}{4}\right) \]

Chứng minh:

\[ \sin x + \cos x = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) \]

\[ = \sqrt{2}\left(\sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4}\right) \]

\[ = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \]

Tính chất quan trọng

Đặt \( t = \sin x + \cos x \):

\[ t^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x \cos x \]

Suy ra:

\[ \sin x \cos x = \frac{t^2 – 1}{2} \]

Điều kiện của t:

Vì \( \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \) và \( -1 \leq \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \leq 1 \)

Nên: \( -\sqrt{2} \leq \sin x + \cos x \leq \sqrt{2} \)

Bảng giá trị đặc biệt

x	\( \sin x \)	\( \cos x \)	\( \sin x + \cos x \)
\( 0 \)	0	1	1
\( \frac{\pi}{4} \)	\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)	\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)	\( \sqrt{2} \) (max)
\( \frac{\pi}{2} \)	1	0	1
\( \pi \)	0	-1	-1
\( \frac{5\pi}{4} \)	\( -\frac{\sqrt{2}}{2} \)	\( -\frac{\sqrt{2}}{2} \)	\( -\sqrt{2} \) (min)

Vậy còn sinx – cosx bằng gì? Hãy xem tiếp.

Sinx – cosx bằng gì?

Sinx – cosx bằng gì cũng là câu hỏi thường gặp. Hiệu này cũng có thể viết dưới dạng một hàm lượng giác.

Công thức sinx – cosx

Công thức chính:

\[ \sin x – \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x – \frac{\pi}{4}\right) \]

Hoặc:

\[ \sin x – \cos x = -\sqrt{2}\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \]

Chứng minh:

\[ \sin x – \cos x = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x – \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) \]

\[ = \sqrt{2}\left(\sin x \cos\frac{\pi}{4} – \cos x \sin\frac{\pi}{4}\right) \]

\[ = \sqrt{2}\sin\left(x – \frac{\pi}{4}\right) \]

Tính chất quan trọng

Đặt \( t = \sin x – \cos x \):

\[ t^2 = \sin^2 x – 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 – 2\sin x \cos x \]

Suy ra:

\[ \sin x \cos x = \frac{1 – t^2}{2} \]

Điều kiện của t:

\( -\sqrt{2} \leq \sin x – \cos x \leq \sqrt{2} \)

So sánh sinx + cosx và sinx – cosx

Biểu thức	Công thức biến đổi	Bình phương	Miền giá trị
\( \sin x + \cos x \)	\( \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \)	\( 1 + 2\sin x\cos x \)	\( [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \)
\( \sin x – \cos x \)	\( \sqrt{2}\sin\left(x – \frac{\pi}{4}\right) \)	\( 1 – 2\sin x\cos x \)	\( [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \)

Tiếp theo, hãy xem mối liên hệ quan trọng giữa các biểu thức này.

Mối liên hệ giữa sinx + cosx và sinx.cosx

Đây là mối liên hệ cực kỳ quan trọng trong giải toán lượng giác.

Công thức liên hệ

Đặt \( t = \sin x + \cos x \):

\[ t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x\cos x \]

Suy ra:

\[ \sin x \cos x = \frac{t^2 – 1}{2} \]

Điều kiện: \( -\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2} \)

Công thức tổng quát

Đặt	Thì	Điều kiện
\( t = \sin x + \cos x \)	\( \sin x\cos x = \frac{t^2 – 1}{2} \)	\( |t| \leq \sqrt{2} \)
\( t = \sin x – \cos x \)	\( \sin x\cos x = \frac{1 – t^2}{2} \)	\( |t| \leq \sqrt{2} \)

Ứng dụng: Tìm sinx và cosx khi biết tổng và tích

Nếu biết \( \sin x + \cos x = S \) và \( \sin x \cos x = P \), thì \( \sin x \) và \( \cos x \) là nghiệm của phương trình:

\[ X^2 – SX + P = 0 \]

Điều kiện có nghiệm:

• \( \Delta = S^2 – 4P \geq 0 \)
• \( -1 \leq \) nghiệm \( \leq 1 \)

Ví dụ áp dụng

Ví dụ: Cho \( \sin x + \cos x = \frac{1}{2} \). Tính \( \sin x \cos x \).

Giải:

Đặt \( t = \sin x + \cos x = \frac{1}{2} \)

\[ \sin x \cos x = \frac{t^2 – 1}{2} = \frac{\frac{1}{4} – 1}{2} = \frac{-\frac{3}{4}}{2} = -\frac{3}{8} \]

Hãy xem bảng tổng hợp tất cả các công thức sinx cosx.

Bảng tổng hợp các công thức sinx cosx

Dưới đây là bảng tổng hợp tất cả công thức liên quan đến sinx cosx:

1. Công thức tích sinx.cosx

Công thức	Kết quả
\( \sin x \cos x \)	\( \frac{1}{2}\sin 2x \)
\( 2\sin x \cos x \)	\( \sin 2x \)
\( 4\sin x \cos x \)	\( 2\sin 2x \)
\( \sin^2 x \cos^2 x \)	\( \frac{1}{4}\sin^2 2x = \frac{1 – \cos 4x}{8} \)

2. Công thức tổng và hiệu

Công thức	Dạng sin	Dạng cos
\( \sin x + \cos x \)	\( \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \)	\( \sqrt{2}\cos\left(x – \frac{\pi}{4}\right) \)
\( \sin x – \cos x \)	\( \sqrt{2}\sin\left(x – \frac{\pi}{4}\right) \)	\( -\sqrt{2}\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \)
\( \cos x – \sin x \)	\( \sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4} – x\right) \)	\( \sqrt{2}\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \)

3. Công thức bình phương

Biểu thức	Kết quả
\( (\sin x + \cos x)^2 \)	\( 1 + 2\sin x\cos x = 1 + \sin 2x \)
\( (\sin x – \cos x)^2 \)	\( 1 – 2\sin x\cos x = 1 – \sin 2x \)
\( \sin^2 x + \cos^2 x \)	\( 1 \)
\( \sin^4 x + \cos^4 x \)	\( 1 – 2\sin^2 x\cos^2 x = \frac{3 + \cos 4x}{4} \)
\( \sin^6 x + \cos^6 x \)	\( 1 – 3\sin^2 x\cos^2 x = \frac{5 + 3\cos 4x}{8} \)

4. Công thức tổng quát asinx + bcosx

\[ a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi) \]

Trong đó: \( \cos\varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \), \( \sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)

Hoặc:

\[ a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\cos(x – \psi) \]

Trong đó: \( \sin\psi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \), \( \cos\psi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)

5. Công thức liên hệ

Nếu đặt	Thì
\( S = \sin x + \cos x \)	\( P = \sin x\cos x = \frac{S^2 – 1}{2} \)
\( D = \sin x – \cos x \)	\( P = \sin x\cos x = \frac{1 – D^2}{2} \)
\( S^2 + D^2 \)	\( = 2 \)

Hãy cùng xem các ví dụ áp dụng chi tiết.

Ví dụ áp dụng công thức sinx cosx chi tiết

Dưới đây là các ví dụ minh họa cách sử dụng công thức sinx cosx bằng trong giải toán:

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức

Đề bài: Rút gọn \( A = \sin x + \cos x + 2\sin x\cos x \)

Lời giải:

Đặt \( t = \sin x + \cos x \)

Ta có: \( 2\sin x\cos x = t^2 – 1 \)

\[ A = t + (t^2 – 1) = t^2 + t – 1 \]

Hoặc viết theo x:

\[ A = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + \sin 2x \]

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Đề bài: Tìm GTLN, GTNN của \( y = \sin x + \cos x \)

Lời giải:

\[ y = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \]

Vì \( -1 \leq \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \leq 1 \)

Nên: \( -\sqrt{2} \leq y \leq \sqrt{2} \)

• \( y_{max} = \sqrt{2} \) khi \( x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k2\pi \), tức \( x = \frac{\pi}{4} + k2\pi \)
• \( y_{min} = -\sqrt{2} \) khi \( x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + k2\pi \), tức \( x = -\frac{3\pi}{4} + k2\pi \)

Ví dụ 3: Giải phương trình

Đề bài: Giải phương trình \( \sin x + \cos x = 1 \)

Lời giải:

\[ \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1 \]

\[ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + k2\pi \]

\[ x = k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức

Đề bài: Cho \( \sin x + \cos x = \frac{1}{2} \). Tính \( \sin^3 x + \cos^3 x \).

Lời giải:

Đặt \( S = \sin x + \cos x = \frac{1}{2} \)

\[ P = \sin x\cos x = \frac{S^2 – 1}{2} = \frac{\frac{1}{4} – 1}{2} = -\frac{3}{8} \]

Áp dụng hằng đẳng thức:

\[ \sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x – \sin x\cos x + \cos^2 x) \]

\[ = S(1 – P) = \frac{1}{2}\left(1 – \left(-\frac{3}{8}\right)\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{8} = \frac{11}{16} \]

Ví dụ 5: Giải phương trình đối xứng

Đề bài: Giải phương trình \( \sin x + \cos x + \sin x\cos x = 1 \)

Lời giải:

Đặt \( t = \sin x + \cos x \) với \( |t| \leq \sqrt{2} \)

Thì \( \sin x\cos x = \frac{t^2 – 1}{2} \)

Phương trình trở thành:

\[ t + \frac{t^2 – 1}{2} = 1 \]

\[ 2t + t^2 – 1 = 2 \]

\[ t^2 + 2t – 3 = 0 \]

\[ (t + 3)(t – 1) = 0 \]

\[ t = -3 \text{ (loại vì } |t| \leq \sqrt{2}) \quad \text{hoặc} \quad t = 1 \]

Với \( t = 1 \): \( \sin x + \cos x = 1 \)

\[ \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1 \]

\[ x = k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Ví dụ 6: Chứng minh đẳng thức

Đề bài: Chứng minh \( (\sin x + \cos x)^2 + (\sin x – \cos x)^2 = 2 \)

Lời giải:

VT = \( (\sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x) + (\sin^2 x – 2\sin x\cos x + \cos^2 x) \)

= \( (1 + 2\sin x\cos x) + (1 – 2\sin x\cos x) \)

= \( 2 \) = VP (đpcm)

Hãy cùng luyện tập với các bài tập về sinx cosx dưới đây.

Bài tập sinx cosx (có lời giải)

Dưới đây là các bài tập về sinx cosx bằng gì từ cơ bản đến nâng cao:

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức

Bài tập 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) \( \sin 22,5° \cos 22,5° \)

b) \( \sin \frac{\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{12} \)

c) \( \sin 75° – \cos 75° \)

Lời giải:

a) \( \sin 22,5° \cos 22,5° = \frac{1}{2}\sin 45° = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} \)

b) \( \sin \frac{\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{12} = \sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\frac{\pi}{3} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2} \)

c) \( \sin 75° – \cos 75° = \sqrt{2}\sin(75° – 45°) = \sqrt{2}\sin 30° = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Bài tập 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) \( A = (\sin x + \cos x)^2 – 1 \)

b) \( B = \sin^4 x + \cos^4 x + 2\sin^2 x\cos^2 x \)

c) \( C = \sin^4 x – \cos^4 x \)

Lời giải:

a) \( A = \sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x – 1 = 1 + 2\sin x\cos x – 1 = \sin 2x \)

b) \( B = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 = 1^2 = 1 \)

c) \( C = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^2 x – \cos^2 x) = 1 \cdot (-\cos 2x) = -\cos 2x \)

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Bài tập 3: Tìm GTLN, GTNN của:

a) \( y = 2\sin x\cos x + 1 \)

b) \( y = \sin x – \cos x \)

c) \( y = 3\sin x + 4\cos x \)

Lời giải:

a) \( y = \sin 2x + 1 \)

Vì \( -1 \leq \sin 2x \leq 1 \) nên \( 0 \leq y \leq 2 \)

\( y_{min} = 0 \), \( y_{max} = 2 \)

b) \( y = \sqrt{2}\sin\left(x – \frac{\pi}{4}\right) \)

\( y_{min} = -\sqrt{2} \), \( y_{max} = \sqrt{2} \)

c) \( y = \sqrt{3^2 + 4^2}\sin(x + \varphi) = 5\sin(x + \varphi) \)

\( y_{min} = -5 \), \( y_{max} = 5 \)

Dạng 4: Giải phương trình

Bài tập 4: Giải các phương trình sau:

a) \( \sin x + \cos x = \sqrt{2} \)

b) \( \sin x – \cos x = 0 \)

c) \( \sin 2x + \sin x + \cos x = 1 \)

Lời giải:

a) \( \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \)

\( \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1 \)

\( x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k2\pi \)

\( x = \frac{\pi}{4} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \)

b) \( \sin x = \cos x \)

\( \tan x = 1 \)

\( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \)

c) \( \sin 2x + \sin x + \cos x = 1 \)

\( 2\sin x\cos x + \sin x + \cos x – 1 = 0 \)

Đặt \( t = \sin x + \cos x \), thì \( 2\sin x\cos x = t^2 – 1 \)

\( t^2 – 1 + t – 1 = 0 \)

\( t^2 + t – 2 = 0 \)

\( (t + 2)(t – 1) = 0 \)

\( t = -2 \) (loại) hoặc \( t = 1 \)

Với \( t = 1 \): \( x = k2\pi \) hoặc \( x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \)

Dạng 5: Tính giá trị biểu thức khi biết điều kiện

Bài tập 5: Cho \( \sin x + \cos x = \frac{1}{3} \). Tính:

a) \( \sin x \cos x \)

b) \( \sin^3 x + \cos^3 x \)

c) \( |\sin x – \cos x| \)

Lời giải:

a) \( (\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x\cos x \)

\( \frac{1}{9} = 1 + 2\sin x\cos x \)

\( \sin x\cos x = \frac{\frac{1}{9} – 1}{2} = -\frac{4}{9} \)

b) \( \sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x – \sin x\cos x + \cos^2 x) \)

\( = \frac{1}{3}\left(1 – \left(-\frac{4}{9}\right)\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{13}{9} = \frac{13}{27} \)

c) \( (\sin x – \cos x)^2 = 1 – 2\sin x\cos x = 1 – 2 \cdot \left(-\frac{4}{9}\right) = 1 + \frac{8}{9} = \frac{17}{9} \)

\( |\sin x – \cos x| = \frac{\sqrt{17}}{3} \)

Dạng 6: Chứng minh đẳng thức

Bài tập 6: Chứng minh:

a) \( \sin^4 x + \cos^4 x = 1 – \frac{1}{2}\sin^2 2x \)

b) \( \sin^6 x + \cos^6 x = 1 – \frac{3}{4}\sin^2 2x \)

Lời giải:

a) VT = \( (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 – 2\sin^2 x\cos^2 x \)

\( = 1 – 2\sin^2 x\cos^2 x = 1 – \frac{1}{2}(2\sin x\cos x)^2 = 1 – \frac{1}{2}\sin^2 2x \) = VP ✓

b) VT = \( (\sin^2 x + \cos^2 x)^3 – 3\sin^2 x\cos^2 x(\sin^2 x + \cos^2 x) \)

\( = 1 – 3\sin^2 x\cos^2 x = 1 – \frac{3}{4}\sin^2 2x \) = VP ✓

Kết luận

Qua bài viết này, bạn đã nắm vững các công thức quan trọng: sinx cosx bằng \( \frac{1}{2}\sin 2x \), sinx + cosx bằng \( \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \), và sinx – cosx bằng \( \sqrt{2}\sin\left(x – \frac{\pi}{4}\right) \). Đặc biệt, mối liên hệ \( \sin x\cos x = \frac{(\sin x + \cos x)^2 – 1}{2} \) rất hữu ích khi giải phương trình lượng giác đối xứng. Các công thức sinx cosx là nền tảng quan trọng trong biến đổi lượng giác, giải phương trình và bất phương trình lượng giác, cũng như tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức lượng giác.