Biến cố xung khắc là gì? Hai biến cố xung khắc, biến cố đối chi tiết

Biến cố xung khắc là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong xác suất thống kê. Hiểu rõ biến cố xung khắc giúp bạn áp dụng đúng công thức cộng xác suất và giải quyết nhiều dạng bài tập một cách chính xác. Bài viết dưới đây sẽ trình bày chi tiết định nghĩa, công thức, cách phân biệt với biến cố độc lập cùng các ví dụ minh họa cụ thể.

Biến cố xung khắc là gì?

Để giải các bài toán xác suất hiệu quả, trước tiên chúng ta cần nắm vững khái niệm biến cố xung khắc.

Định nghĩa: Hai biến cố A và B được gọi là hai biến cố xung khắc nếu chúng không thể cùng xảy ra trong một phép thử. Nói cách khác, khi A xảy ra thì B không xảy ra và ngược lại.

Ký hiệu toán học:

\[A \cap B = \varnothing\]

Biểu diễn bằng biểu đồ Venn: Hai biến cố xung khắc được biểu diễn bằng hai hình tròn không giao nhau trong không gian mẫu.

Các đặc điểm nhận biết biến cố xung khắc:

• Hai biến cố không có phần tử chung
• Không thể xảy ra đồng thời trong cùng một phép thử
• Giao của hai biến cố là biến cố không thể (rỗng)
• \(P(A \cap B) = 0\)

Mở rộng: Các biến cố \(A_1, A_2, …, A_n\) được gọi là xung khắc từng đôi nếu \(A_i \cap A_j = \varnothing\) với mọi \(i \neq j\).

Sau khi đã hiểu định nghĩa, chúng ta sẽ tìm hiểu công thức tính xác suất cho các biến cố xung khắc.

Công thức tính xác suất biến cố xung khắc

Đây là công thức biến cố xung khắc quan trọng nhất mà bạn cần ghi nhớ:

Giải thích: Khi A và B là biến cố xung khắc, xác suất để A hoặc B xảy ra bằng tổng xác suất của từng biến cố. Công thức này được gọi là quy tắc cộng xác suất cho biến cố xung khắc.

Lưu ý quan trọng:

• Công thức trên chỉ đúng khi các biến cố xung khắc
• Nếu A và B không xung khắc, phải dùng công thức tổng quát: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)

Hệ quả: Nếu \(A_1, A_2, …, A_n\) là hệ biến cố đầy đủ (xung khắc từng đôi và hợp bằng không gian mẫu), thì:

\[P(A_1) + P(A_2) + … + P(A_n) = 1\]

Tiếp theo, chúng ta sẽ phân biệt hai khái niệm thường bị nhầm lẫn: biến cố xung khắc và biến cố độc lập.

Phân biệt biến cố xung khắc và biến cố độc lập

Nhiều học sinh thường nhầm lẫn giữa biến cố xung khắc và biến cố độc lập. Bảng sau đây sẽ giúp bạn phân biệt rõ ràng:

Nhận xét quan trọng:

• Hai biến cố xung khắc (với xác suất dương) không thể là hai biến cố độc lập
• Hai biến cố độc lập (với xác suất dương) không thể là hai biến cố xung khắc
• Đây là hai khái niệm hoàn toàn khác nhau, không nên nhầm lẫn

Để hiểu rõ hơn lý thuyết, hãy cùng xem các ví dụ minh họa cụ thể.

Ví dụ minh họa về biến cố xung khắc

Ví dụ 1: Nhận biết biến cố xung khắc

Đề bài: Gieo một con xúc xắc cân đối. Xét các biến cố:

• A: “Xuất hiện mặt chẵn”
• B: “Xuất hiện mặt lẻ”
• C: “Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 4”

Những cặp biến cố nào là xung khắc?

Lời giải:

Ta có:

• A = {2, 4, 6}
• B = {1, 3, 5}
• C = {5, 6}

Xét từng cặp:

• \(A \cap B = \varnothing\) → A và B là biến cố xung khắc
• \(A \cap C = \{6\} \neq \varnothing\) → A và C không xung khắc
• \(B \cap C = \{5\} \neq \varnothing\) → B và C không xung khắc

Đáp số: Chỉ có cặp (A, B) là biến cố xung khắc.

Ví dụ 2: Tính xác suất biến cố xung khắc

Đề bài: Gieo một con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để xuất hiện mặt 1 chấm hoặc mặt 6 chấm.

Lời giải:

Gọi A: “xuất hiện mặt 1 chấm”, B: “xuất hiện mặt 6 chấm”.

Ta có: \(A \cap B = \varnothing\) nên A và B là biến cố xung khắc.

\[P(A) = \frac{1}{6}, \quad P(B) = \frac{1}{6}\]

Áp dụng công thức xác suất biến cố xung khắc:

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]

Đáp số: \(\frac{1}{3}\)

Ví dụ 3: Nhiều biến cố xung khắc

Đề bài: Một hộp có 3 bi đỏ, 4 bi xanh và 5 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 1 bi. Tính xác suất để bi lấy được không phải màu vàng.

Lời giải:

Gọi A: “bi đỏ”, B: “bi xanh”, C: “bi vàng”.

Các biến cố A, B, C xung khắc từng đôi (một bi chỉ có một màu).

Bi không phải màu vàng nghĩa là bi đỏ hoặc bi xanh.

\[P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}, \quad P(B) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\]

Áp dụng công thức biến cố xung khắc:

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3+4}{12} = \frac{7}{12}\]

Đáp số: \(\frac{7}{12}\)

Bài tập về biến cố xung khắc có lời giải chi tiết

Bài tập 1

Đề bài: Một lớp có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh làm lớp trưởng. Biết rằng trong lớp có 8 học sinh giỏi nam và 6 học sinh giỏi nữ. Tính xác suất để học sinh được chọn là học sinh giỏi.

Lời giải:

Gọi A: “chọn được học sinh giỏi nam”, B: “chọn được học sinh giỏi nữ”.

Vì một học sinh không thể vừa là nam vừa là nữ nên A và B là biến cố xung khắc.

Tổng số học sinh: 20 + 15 = 35

\[P(A) = \frac{8}{35}, \quad P(B) = \frac{6}{35}\]

Xác suất chọn được học sinh giỏi:

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{8}{35} + \frac{6}{35} = \frac{14}{35} = \frac{2}{5}\]

Đáp số: \(\frac{2}{5}\)

Bài tập 2

Đề bài: Một xạ thủ bắn vào bia với xác suất trúng vòng 10 là 0,1; vòng 9 là 0,2; vòng 8 là 0,3. Tính xác suất để xạ thủ bắn trúng vòng 8 trở lên.

Lời giải:

Gọi \(A_{10}\): “trúng vòng 10”, \(A_9\): “trúng vòng 9”, \(A_8\): “trúng vòng 8”.

Các biến cố này xung khắc từng đôi (một viên đạn chỉ trúng một vòng).

\[P(A_{10}) = 0,1; \quad P(A_9) = 0,2; \quad P(A_8) = 0,3\]

Áp dụng công thức tính xác suất biến cố xung khắc:

\[P(A_{10} \cup A_9 \cup A_8) = 0,1 + 0,2 + 0,3 = 0,6\]

Đáp số: 0,6 hay 60%

Bài tập 3

Đề bài: Gieo hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để tổng số chấm bằng 7 hoặc bằng 11.

Lời giải:

Gọi A: “tổng bằng 7”, B: “tổng bằng 11”.

Vì tổng không thể vừa bằng 7 vừa bằng 11 nên A và B là biến cố xung khắc.

Không gian mẫu: \(n(\Omega) = 36\)

Các cặp có tổng bằng 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 cặp

Các cặp có tổng bằng 11: (5,6), (6,5) → 2 cặp

\[P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}, \quad P(B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}\]

Áp dụng công thức biến cố xung khắc:

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{18} = \frac{3}{18} + \frac{1}{18} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}\]

Đáp số: \(\frac{2}{9}\)

Bài tập 4

Đề bài: Một hộp có 10 sản phẩm gồm 6 sản phẩm loại I, 3 sản phẩm loại II và 1 sản phẩm loại III. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất để 2 sản phẩm lấy được cùng loại.

Lời giải:

Gọi các biến cố:

• A: “2 sản phẩm đều loại I”
• B: “2 sản phẩm đều loại II”
• C: “2 sản phẩm đều loại III”

Các biến cố A, B, C xung khắc từng đôi.

Số cách chọn 2 sản phẩm từ 10: \(C_{10}^2 = 45\)

\[P(A) = \frac{C_6^2}{C_{10}^2} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}\]

\[P(B) = \frac{C_3^2}{C_{10}^2} = \frac{3}{45} = \frac{1}{15}\]

\[P(C) = \frac{C_1^2}{C_{10}^2} = \frac{0}{45} = 0\]

Áp dụng công thức xác suất biến cố xung khắc:

\[P(A \cup B \cup C) = \frac{1}{3} + \frac{1}{15} + 0 = \frac{5}{15} + \frac{1}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}\]

Đáp số: \(\frac{2}{5}\)

Kết luận

Biến cố xung khắc là hai biến cố không thể cùng xảy ra trong một phép thử, với điều kiện \(A \cap B = \varnothing\). Công thức cộng xác suất \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) chỉ áp dụng khi A và B là biến cố xung khắc. Hãy phân biệt rõ biến cố xung khắc và biến cố độc lập để tránh nhầm lẫn khi giải bài tập. Hy vọng qua bài viết này, bạn đã nắm vững kiến thức về biến cố xung khắc và có thể vận dụng thành thạo vào các bài toán xác suất.