Biến cố độc lập là gì? Xác suất hai biến cố độc lập và xung khắc

Biến cố độc lập là một trong những khái niệm cốt lõi của Xác suất – Thống kê, xuất hiện thường xuyên trong chương trình Toán THPT và Đại học. Hiểu đúng hai biến cố độc lập là gì, phân biệt rõ biến cố độc lập và xung khắc sẽ giúp bạn tránh nhầm lẫn phổ biến và giải nhanh các bài toán xác suất. Bài viết dưới đây trình bày đầy đủ lý thuyết, công thức xác suất độc lập, so sánh chi tiết với biến cố xung khắc và các bài tập có lời giải từ cơ bản đến nâng cao.

1. Biến cố độc lập là gì?

1.1. Định nghĩa

Biến cố độc lập là hai biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.

Định nghĩa toán học: Hai biến cố độc lập \(A\) và \(B\) được gọi là độc lập nếu:

\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]

Trong đó:

• \(P(A)\): xác suất xảy ra biến cố \(A\).
• \(P(B)\): xác suất xảy ra biến cố \(B\).
• \(P(A \cap B)\): xác suất để cả \(A\) và \(B\) đồng thời xảy ra.

Nói cách khác: Nếu biết \(A\) đã xảy ra, xác suất của \(B\) vẫn không thay đổi, tức là:

\[P(B \mid A) = P(B) \quad \text{và} \quad P(A \mid B) = P(A)\]

1.2. Ví dụ trực quan

Để hiểu rõ hơn biến cố độc lập, hãy xem các ví dụ thực tế sau:

Tình huống	Biến cố \(A\)	Biến cố \(B\)	Độc lập?	Giải thích
Tung đồng xu và gieo xúc xắc	Đồng xu ra mặt ngửa	Xúc xắc ra mặt 6	✓ Có	Kết quả đồng xu không ảnh hưởng đến xúc xắc
Gieo xúc xắc 2 lần	Lần 1 ra số chẵn	Lần 2 ra số lớn hơn 4	✓ Có	Hai lần gieo hoàn toàn riêng biệt
Rút bài có hoàn lại	Lần 1 rút được Át	Lần 2 rút được Át	✓ Có	Hoàn lại nên bộ bài không đổi
Rút bài không hoàn lại	Lần 1 rút được Át	Lần 2 rút được Át	✗ Không	Rút lần 1 thay đổi bộ bài, ảnh hưởng lần 2
Chọn 1 học sinh ngẫu nhiên	Học sinh đó là nam	Học sinh đó giỏi Toán	Tùy dữ liệu	Cần kiểm tra bằng công thức

1.3. Điều kiện tương đương

Các mệnh đề sau là tương đương (nếu một mệnh đề đúng thì tất cả đều đúng):

• \(A\) và \(B\) độc lập: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)
• \(A\) và \(\overline{B}\) độc lập: \(P(A \cap \overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B})\)
• \(\overline{A}\) và \(B\) độc lập: \(P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \cdot P(B)\)
• \(\overline{A}\) và \(\overline{B}\) độc lập: \(P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B})\)

Ý nghĩa: Nếu \(A\) và \(B\) độc lập, thì biến cố đối của chúng cũng độc lập với nhau. Tính chất này rất hữu ích khi giải bài tập.

2. Công thức xác suất độc lập

Dưới đây là tổng hợp các công thức xác suất độc lập quan trọng nhất.

2.1. Công thức nhân xác suất cho 2 biến cố độc lập

Nếu \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập, thì:

\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]

Ví dụ: Tung đồng xu cân đối và gieo xúc xắc cân đối. Tính xác suất đồng xu ra mặt ngửa và xúc xắc ra mặt 6.

• \(P(A) = P(\text{ngửa}) = \frac{1}{2}\)
• \(P(B) = P(\text{mặt 6}) = \frac{1}{6}\)
• Hai biến cố độc lập nên: \(P(A \cap B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}\)

2.2. Công thức nhân cho \(n\) biến cố độc lập

Nếu \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) là các biến cố độc lập toàn phần (từng đôi một độc lập và độc lập theo mọi tổ hợp), thì:

\[P(A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot \ldots \cdot P(A_n)\]

Ví dụ: Gieo xúc xắc cân đối 3 lần. Xác suất cả 3 lần đều ra mặt 6:

\[P = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{216}\]

2.3. Xác suất của hợp hai biến cố độc lập

Xác suất để ít nhất một trong hai biến cố xảy ra:

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = P(A) + P(B) – P(A) \cdot P(B)\]

2.4. Công thức “ít nhất một” – Dùng biến cố đối

Đây là công thức quan trọng nhất trong các bài toán thực tế. Xác suất để ít nhất một trong \(n\) biến cố độc lập xảy ra:

\[P(\text{ít nhất 1 xảy ra}) = 1 – P(\text{không biến cố nào xảy ra})\]

\[= 1 – P(\overline{A_1}) \cdot P(\overline{A_2}) \cdot \ldots \cdot P(\overline{A_n})\]

Ví dụ: Bắn 3 phát đạn độc lập vào bia, xác suất trúng của mỗi phát lần lượt là \(0{,}7;\; 0{,}8;\; 0{,}9\). Xác suất có ít nhất 1 phát trúng:

\[P = 1 – (1 – 0{,}7)(1 – 0{,}8)(1 – 0{,}9) = 1 – 0{,}3 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}1 = 1 – 0{,}006 = 0{,}994\]

2.5. Bảng tổng hợp công thức

Bài toán	Công thức (với \(A, B\) độc lập)
Cả \(A\) và \(B\) cùng xảy ra	\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)
Ít nhất một trong \(A, B\) xảy ra	\(P(A \cup B) = 1 – P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B})\)
Chỉ \(A\) xảy ra, \(B\) không xảy ra	\(P(A \cap \overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B}) = P(A) \cdot [1 – P(B)]\)
Đúng 1 trong 2 xảy ra	\(P(A) \cdot P(\overline{B}) + P(\overline{A}) \cdot P(B)\)
Cả hai đều không xảy ra	\(P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = [1-P(A)][1-P(B)]\)

Nhiều học sinh thường nhầm lẫn giữa biến cố độc lập và biến cố xung khắc. Phần tiếp theo sẽ giúp bạn phân biệt rõ ràng hai khái niệm này.

3. Biến cố độc lập và xung khắc – Phân biệt chi tiết

3.1. Nhắc lại biến cố xung khắc

Hai biến cố \(A\) và \(B\) được gọi là xung khắc nếu chúng không thể đồng thời xảy ra:

\[A \cap B = \varnothing \quad \Leftrightarrow \quad P(A \cap B) = 0\]

Khi đó: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) (quy tắc cộng).

3.2. So sánh biến cố độc lập và xung khắc

Đây là phần rất quan trọng. Nhiều học sinh nhầm lẫn biến cố độc lập và xung khắc là giống nhau, nhưng thực chất chúng hoàn toàn khác nhau:

Tiêu chí	Biến cố độc lập	Biến cố xung khắc
Ý nghĩa	Biến cố này không ảnh hưởng đến biến cố kia	Hai biến cố không thể cùng xảy ra
Điều kiện toán học	\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)	\(P(A \cap B) = 0\)
Có thể cùng xảy ra?	Có thể (nếu \(P(A), P(B) > 0\))	Không bao giờ
\(P(A \cup B)\)	\(P(A) + P(B) – P(A) \cdot P(B)\)	\(P(A) + P(B)\)
Câu hỏi chính	Biết \(A\) xảy ra có thay đổi xác suất \(B\) không?	\(A\) và \(B\) có thể đồng thời xảy ra không?
Ví dụ	Tung đồng xu ra ngửa VÀ gieo xúc xắc ra 6	Gieo xúc xắc ra mặt 1 VÀ ra mặt 6 (cùng 1 lần gieo)

3.3. Hai khái niệm có loại trừ nhau không?

Câu hỏi thường gặp: Hai biến cố có thể vừa độc lập vừa xung khắc không?

Trả lời: Nếu \(A\) và \(B\) vừa độc lập vừa xung khắc, thì:

\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0\]

Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(P(A) = 0\) hoặc \(P(B) = 0\) (tức ít nhất một biến cố là biến cố không thể xảy ra).

Kết luận: Với hai biến cố có xác suất dương (\(P(A) > 0\) và \(P(B) > 0\)):

• Nếu chúng xung khắc thì chắc chắn không độc lập.
• Nếu chúng độc lập thì chắc chắn không xung khắc.

3.4. Ví dụ phân biệt

Ví dụ: Gieo một xúc xắc cân đối. Xét các biến cố:

• \(A\): “Xuất hiện mặt chẵn” → \(A = \{2, 4, 6\}\), \(P(A) = \frac{1}{2}\)
• \(B\): “Xuất hiện mặt lẻ” → \(B = \{1, 3, 5\}\), \(P(B) = \frac{1}{2}\)
• \(C\): “Xuất hiện mặt lớn hơn 3” → \(C = \{4, 5, 6\}\), \(P(C) = \frac{1}{2}\)

\(A\) và \(B\) – Xung khắc hay độc lập?

• \(A \cap B = \varnothing\) (không số nào vừa chẵn vừa lẻ) → \(P(A \cap B) = 0\).
• Kiểm tra độc lập: \(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \neq 0 = P(A \cap B)\).
• Kết luận: \(A\) và \(B\) xung khắc, không độc lập.

\(A\) và \(C\) – Xung khắc hay độc lập?

• \(A \cap C = \{4, 6\}\) → \(P(A \cap C) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).
• Kiểm tra xung khắc: \(P(A \cap C) = \frac{1}{3} \neq 0\) → Không xung khắc.
• Kiểm tra độc lập: \(P(A) \cdot P(C) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \neq \frac{1}{3} = P(A \cap C)\).
• Kết luận: \(A\) và \(C\) không xung khắc, không độc lập.

Bây giờ, xét biến cố \(D\): “Xuất hiện mặt chia hết cho 3” → \(D = \{3, 6\}\), \(P(D) = \frac{1}{3}\).

\(A\) và \(D\) – Xung khắc hay độc lập?

• \(A \cap D = \{6\}\) → \(P(A \cap D) = \frac{1}{6}\).
• Kiểm tra: \(P(A) \cdot P(D) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} = P(A \cap D)\) ✓
• Kết luận: \(A\) và \(D\) độc lập, không xung khắc.

4. Mở rộng: Độc lập toàn phần và độc lập từng đôi

4.1. Độc lập từng đôi

Các biến cố \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) được gọi là độc lập từng đôi nếu với mọi cặp \(i \neq j\):

\[P(A_i \cap A_j) = P(A_i) \cdot P(A_j)\]

4.2. Độc lập toàn phần

Các biến cố \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) được gọi là độc lập toàn phần nếu với mọi tập con \(\{i_1, i_2, \ldots, i_k\} \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}\):

\[P(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \ldots \cap A_{i_k}) = P(A_{i_1}) \cdot P(A_{i_2}) \cdot \ldots \cdot P(A_{i_k})\]

4.3. Lưu ý quan trọng

Độc lập từng đôi không suy ra độc lập toàn phần. Tức là, ba biến cố có thể độc lập từng đôi nhưng không độc lập toàn phần.

Ví dụ kinh điển: Tung hai đồng xu cân đối. Xét:

• \(A\): “Đồng xu 1 ra ngửa” → \(P(A) = \frac{1}{2}\)
• \(B\): “Đồng xu 2 ra ngửa” → \(P(B) = \frac{1}{2}\)
• \(C\): “Hai đồng xu ra cùng mặt” → \(C = \{(N,N), (S,S)\}\) → \(P(C) = \frac{1}{2}\)

Kiểm tra từng đôi:

• \(P(A \cap B) = P(\{(N,N)\}) = \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\) ✓
• \(P(A \cap C) = P(\{(N,N)\}) = \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\) ✓
• \(P(B \cap C) = P(\{(N,N)\}) = \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\) ✓

Nhưng: \(P(A \cap B \cap C) = P(\{(N,N)\}) = \frac{1}{4} \neq \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}\).

Vậy \(A, B, C\) độc lập từng đôi nhưng không độc lập toàn phần.

5. Các dạng bài tập thường gặp

5.1. Dạng 1: Tính xác suất giao của hai biến cố độc lập

Bài tập 1: Hai xạ thủ bắn vào bia một cách độc lập. Xác suất bắn trúng của xạ thủ thứ nhất là \(0{,}8\), của xạ thủ thứ hai là \(0{,}7\). Tính xác suất cả hai cùng bắn trúng.

Lời giải:

Gọi \(A\): “Xạ thủ 1 bắn trúng”, \(B\): “Xạ thủ 2 bắn trúng”.

\(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập (bắn độc lập nhau).

\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}8 \times 0{,}7 = 0{,}56\]

Đáp số: Xác suất cả hai cùng bắn trúng là \(0{,}56\).

5.2. Dạng 2: Xác suất ít nhất một biến cố xảy ra

Bài tập 2: (Tiếp bài 1) Tính xác suất có ít nhất một xạ thủ bắn trúng.

Lời giải:

Sử dụng công thức biến cố đối: “Ít nhất 1 trúng” là biến cố đối của “Cả hai đều trượt”.

\[P(\text{ít nhất 1 trúng}) = 1 – P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 1 – (1 – 0{,}8)(1 – 0{,}7)\]

\[= 1 – 0{,}2 \times 0{,}3 = 1 – 0{,}06 = 0{,}94\]

Đáp số: \(0{,}94\).

5.3. Dạng 3: Xác suất đúng \(k\) biến cố xảy ra

Bài tập 3: (Tiếp bài 1) Tính xác suất có đúng một xạ thủ bắn trúng.

Lời giải:

“Đúng 1 trúng” = “Xạ thủ 1 trúng, xạ thủ 2 trượt” HOẶC “Xạ thủ 1 trượt, xạ thủ 2 trúng”.

Hai biến cố trên xung khắc với nhau (không thể đồng thời xảy ra), nên:

\[P = P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = P(A) \cdot P(\overline{B}) + P(\overline{A}) \cdot P(B)\]

\[= 0{,}8 \times 0{,}3 + 0{,}2 \times 0{,}7 = 0{,}24 + 0{,}14 = 0{,}38\]

Đáp số: \(0{,}38\).

Kiểm tra: \(P(\text{cả 2 trúng}) + P(\text{đúng 1 trúng}) + P(\text{cả 2 trượt}) = 0{,}56 + 0{,}38 + 0{,}06 = 1\) ✓

5.4. Dạng 4: Bài toán hệ thống nối tiếp – song song

Bài tập 4: Một hệ thống gồm 3 thiết bị hoạt động độc lập. Xác suất hoạt động tốt của mỗi thiết bị lần lượt là \(0{,}9;\; 0{,}8;\; 0{,}7\).

1. Nếu 3 thiết bị mắc nối tiếp (hệ thống hoạt động khi cả 3 đều tốt), tính xác suất hệ thống hoạt động.
2. Nếu 3 thiết bị mắc song song (hệ thống hoạt động khi ít nhất 1 thiết bị tốt), tính xác suất hệ thống hoạt động.

Lời giải:

Gọi \(A_1, A_2, A_3\) lần lượt là biến cố thiết bị 1, 2, 3 hoạt động tốt. Ba biến cố này độc lập.

a) Mắc nối tiếp:

\[P = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) = 0{,}9 \times 0{,}8 \times 0{,}7 = 0{,}504\]

b) Mắc song song:

\[P = 1 – P(\overline{A_1}) \cdot P(\overline{A_2}) \cdot P(\overline{A_3}) = 1 – 0{,}1 \times 0{,}2 \times 0{,}3 = 1 – 0{,}006 = 0{,}994\]

5.5. Dạng 5: Kiểm tra tính độc lập

Bài tập 5: Một lớp có 40 học sinh, trong đó 24 nữ. Có 10 học sinh giỏi Toán, trong đó 6 là nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Xét hai biến cố:

• \(A\): “Học sinh được chọn là nữ”
• \(B\): “Học sinh được chọn giỏi Toán”

Kiểm tra \(A\) và \(B\) có phải là hai biến cố độc lập không.

Lời giải:

Tính xác suất:

• \(P(A) = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}\)
• \(P(B) = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}\)
• \(P(A \cap B) = \frac{6}{40} = \frac{3}{20}\) (nữ và giỏi Toán)

Kiểm tra:

\[P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{20}\]

So sánh: \(P(A \cap B) = \frac{3}{20} = P(A) \cdot P(B)\) ✓

Kết luận: \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập.

5.6. Dạng 6: Lặp \(n\) lần phép thử Bernoulli

Bài tập 6: Xác suất một cầu thủ sút penalty thành công là \(0{,}75\). Cầu thủ sút 4 quả penalty độc lập. Tính xác suất:

1. Sút thành công cả 4 quả.
2. Sút thành công đúng 3 quả.
3. Sút thành công ít nhất 1 quả.

Lời giải:

Gọi \(p = 0{,}75\) là xác suất thành công mỗi quả, \(q = 1 – p = 0{,}25\). Bốn quả sút độc lập, đây là phép thử Bernoulli lặp 4 lần.

Công thức Bernoulli: \(P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\)

a) Thành công cả 4 quả (\(k = 4\)):

\[P(X = 4) = C_4^4 \cdot (0{,}75)^4 \cdot (0{,}25)^0 = 1 \times 0{,}3164 \times 1 \approx 0{,}3164\]

b) Thành công đúng 3 quả (\(k = 3\)):

\[P(X = 3) = C_4^3 \cdot (0{,}75)^3 \cdot (0{,}25)^1 = 4 \times 0{,}4219 \times 0{,}25 \approx 0{,}4219\]

c) Ít nhất 1 quả thành công:

\[P(X \geq 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – C_4^0 \cdot (0{,}75)^0 \cdot (0{,}25)^4 = 1 – (0{,}25)^4\]

\[= 1 – 0{,}0039 \approx 0{,}9961\]

5.7. Dạng 7: Bài toán tổng hợp kết hợp biến cố độc lập và xung khắc

Bài tập 7: Ba học sinh A, B, C làm bài kiểm tra độc lập. Xác suất đạt điểm giỏi của A, B, C lần lượt là \(\frac{1}{2},\; \frac{1}{3},\; \frac{1}{4}\). Tính xác suất có đúng 1 học sinh đạt điểm giỏi.

Lời giải:

Gọi \(A, B, C\) là biến cố học sinh tương ứng đạt điểm giỏi. Ba biến cố độc lập.

“Đúng 1 giỏi” gồm 3 trường hợp xung khắc:

Trường hợp	Biến cố	Xác suất
Chỉ A giỏi	\(A \cap \overline{B} \cap \overline{C}\)	\(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}\)
Chỉ B giỏi	\(\overline{A} \cap B \cap \overline{C}\)	\(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}\)
Chỉ C giỏi	\(\overline{A} \cap \overline{B} \cap C\)	\(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}\)

Ba trường hợp trên xung khắc nhau, nên:

\[P(\text{đúng 1 giỏi}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12} = \frac{6 + 3 + 2}{24} = \frac{11}{24}\]

Đáp số: \(\frac{11}{24}\).

5.8. Dạng 8: Xác định xác suất dựa vào tính độc lập

Bài tập 8: Hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập. Biết \(P(A) = 0{,}4\) và \(P(A \cup B) = 0{,}7\). Tính \(P(B)\).

Lời giải:

Vì \(A\) và \(B\) độc lập:

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A) \cdot P(B)\]

\[0{,}7 = 0{,}4 + P(B) – 0{,}4 \cdot P(B)\]

\[0{,}3 = P(B)(1 – 0{,}4) = 0{,}6 \cdot P(B)\]

\[P(B) = \frac{0{,}3}{0{,}6} = 0{,}5\]

Đáp số: \(P(B) = 0{,}5\).

Kiểm tra: \(P(A \cup B) = 0{,}4 + 0{,}5 – 0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}9 – 0{,}2 = 0{,}7\) ✓

5.9. Dạng 9: Bài toán sản phẩm – máy sản xuất

Bài tập 9: Một nhà máy có 2 máy sản xuất hoạt động độc lập. Xác suất máy 1 sản xuất ra sản phẩm lỗi là \(0{,}02\), máy 2 là \(0{,}03\). Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ mỗi máy. Tính xác suất:

1. Cả hai sản phẩm đều tốt.
2. Có đúng 1 sản phẩm lỗi.
3. Có ít nhất 1 sản phẩm lỗi.

Lời giải:

Gọi \(A\): “Sản phẩm máy 1 lỗi” (\(P(A) = 0{,}02\)), \(B\): “Sản phẩm máy 2 lỗi” (\(P(B) = 0{,}03\)). \(A, B\) độc lập.

a) Cả hai đều tốt:

\[P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 0{,}98 \times 0{,}97 = 0{,}9506\]

b) Đúng 1 sản phẩm lỗi:

\[P = P(A) \cdot P(\overline{B}) + P(\overline{A}) \cdot P(B) = 0{,}02 \times 0{,}97 + 0{,}98 \times 0{,}03\]

\[= 0{,}0194 + 0{,}0294 = 0{,}0488\]

c) Ít nhất 1 sản phẩm lỗi:

\[P = 1 – P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 – 0{,}9506 = 0{,}0494\]

5.10. Dạng 10: Bài toán tổng hợp nâng cao

Bài tập 10: Xác suất mỗi ngày trời mưa là \(0{,}3\). Giả sử thời tiết các ngày là độc lập. Trong 5 ngày liên tiếp, tính xác suất có đúng 2 ngày mưa.

Lời giải:

Đây là phép thử Bernoulli: \(n = 5\), \(p = 0{,}3\) (xác suất mưa), \(q = 0{,}7\), \(k = 2\).

\[P(X = 2) = C_5^2 \cdot (0{,}3)^2 \cdot (0{,}7)^3\]

\[= 10 \times 0{,}09 \times 0{,}343 = 10 \times 0{,}03087 = 0{,}3087\]

Đáp số: Xác suất có đúng 2 ngày mưa trong 5 ngày là khoảng \(0{,}3087 \approx 30{,}87\%\).

6. Bài tập tự luyện

Hãy tự giải các bài tập sau để củng cố kiến thức về biến cố độc lập:

Bài 1: Hai biến cố độc lập \(A, B\) có \(P(A) = 0{,}6\), \(P(B) = 0{,}5\). Tính \(P(A \cap B)\), \(P(A \cup B)\), \(P(\overline{A} \cap \overline{B})\).

Bài 2: Bốn học sinh làm bài kiểm tra độc lập, xác suất đạt điểm A lần lượt là \(0{,}8;\; 0{,}7;\; 0{,}6;\; 0{,}9\). Tính xác suất có ít nhất 1 học sinh đạt điểm A.

Bài 3: Hai biến cố \(A, B\) độc lập. Biết \(P(A) = 0{,}3\), \(P(A \cup B) = 0{,}58\). Tính \(P(B)\).

Bài 4: Gieo 2 xúc xắc cân đối. Xét \(A\): “Xúc xắc 1 ra số chẵn”, \(B\): “Tổng 2 xúc xắc bằng 7”. Kiểm tra \(A, B\) có độc lập không.

Đáp án:

Bài 1: \(P(A \cap B) = 0{,}3\); \(P(A \cup B) = 0{,}8\); \(P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}2\).

Bài 2: \(P = 1 – 0{,}2 \times 0{,}3 \times 0{,}4 \times 0{,}1 = 1 – 0{,}0024 = 0{,}9976\).

Bài 3: Từ \(0{,}58 = 0{,}3 + P(B) – 0{,}3 \cdot P(B)\), suy ra \(0{,}28 = 0{,}7 \cdot P(B)\), vậy \(P(B) = 0{,}4\).

Bài 4: \(P(A) = \frac{1}{2}\), \(P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\). Các cặp cho tổng 7 với xúc xắc 1 chẵn: \((2,5), (4,3), (6,1)\) → \(P(A \cap B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\). Kiểm tra: \(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12} = P(A \cap B)\). Vậy \(A, B\) độc lập.

7. Kết luận

Biến cố độc lập là khái niệm then chốt trong Xác suất, nền tảng cho rất nhiều ứng dụng thực tế từ kỹ thuật, y học đến kinh tế. Điều quan trọng nhất cần ghi nhớ là: hai biến cố độc lập khi và chỉ khi \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\) – việc xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất độc lập của biến cố kia. Hãy phân biệt rõ biến cố độc lập và xung khắc: độc lập nói về “không ảnh hưởng”, xung khắc nói về “không cùng xảy ra” – đây là hai khái niệm hoàn toàn khác nhau. Luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập đa dạng ở trên sẽ giúp bạn thành thạo và tự tin trong mọi kỳ thi. Chúc bạn học tốt!