Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: Cách áp dụng lớp 7 và bài tập

Tính chất dãy tỉ số bằng nhau là một trong những kiến thức trọng tâm của chương trình Toán lớp 7, được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán chia theo tỉ lệ, tìm số chưa biết. Tính chất dãy tỉ số bằng nhau phát biểu rằng: Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}$ thì mỗi tỉ số đều bằng $\frac{a+c+e}{b+d+f}$ và bằng $\frac{a-c+e}{b-d+f}$ (với các mẫu khác 0). Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn hiểu rõ định nghĩa, tính chất và cách áp dụng hiệu quả.

1. Dãy tỉ số bằng nhau là gì?

Trước khi tìm hiểu tính chất dãy tỉ số bằng nhau, cần nắm vững khái niệm:

1.1. Định nghĩa

Dãy tỉ số bằng nhau là dãy gồm nhiều tỉ số có giá trị bằng nhau.

Dạng tổng quát:

\[ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = … = \frac{a_n}{b_n} \quad (b_1, b_2, …, b_n \neq 0) \]

1.2. Ví dụ dãy tỉ số bằng nhau

• \( \frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{8}{12} \)
• \( \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{5}{10} \)
• \( \frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5} \)

1.3. Mối liên hệ với tỉ lệ thức

Khái niệm	Định nghĩa	Ví dụ
Tỉ số	Thương của hai số	\( \frac{a}{b} \) hay a : b
Tỉ lệ thức	Đẳng thức của hai tỉ số	\( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \)
Dãy tỉ số bằng nhau	Đẳng thức của nhiều tỉ số	\( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} \)

1.4. Cách viết dãy tỉ số bằng nhau

Cách 1: Dạng phân số

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} \]

Cách 2: Dạng tỉ số

\[ a : b = c : d = e : f \]

Cách 3: Dạng tỉ lệ

\[ a : c : e = b : d : f \]

2. Tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau

Đây là nội dung cốt lõi về tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

2.1. Tính chất 1: Tổng tử trên tổng mẫu

Phát biểu: Nếu \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} \) thì:

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a + c + e}{b + d + f} \]

(với điều kiện b + d + f ≠ 0)

2.2. Tính chất 2: Hiệu tử trên hiệu mẫu

Phát biểu: Nếu \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} \) thì:

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a – c + e}{b – d + f} \]

(với điều kiện b − d + f ≠ 0)

2.3. Tính chất tổng quát

Phát biểu: Nếu \( \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = … = \frac{a_n}{b_n} \) thì:

\[ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = … = \frac{a_n}{b_n} = \frac{a_1 + a_2 + … + a_n}{b_1 + b_2 + … + b_n} \]

(với điều kiện \( b_1 + b_2 + … + b_n \neq 0 \))

2.4. Chứng minh tính chất

Đặt \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k \)

Suy ra: a = kb, c = kd, e = kf

Do đó:

\[ \frac{a + c + e}{b + d + f} = \frac{kb + kd + kf}{b + d + f} = \frac{k(b + d + f)}{b + d + f} = k \]

Vậy \( \frac{a + c + e}{b + d + f} = k = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} \) (đpcm)

2.5. Bảng tóm tắt tính chất

Tính chất	Công thức	Điều kiện
Tổng	\( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d} \)	b + d ≠ 0
Hiệu	\( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a-c}{b-d} \)	b − d ≠ 0
Tổng quát	\( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{ma + nc}{mb + nd} \)	mb + nd ≠ 0

3. Mở rộng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Các tính chất dãy tỉ số bằng nhau mở rộng:

3.1. Tính chất với hệ số

Nếu \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) thì:

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{ma + nc}{mb + nd} \quad (mb + nd \neq 0) \]

Trong đó m, n là các số thực tùy ý.

3.2. Tính chất với lũy thừa

Nếu \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k \) thì:

\[ \frac{a^2}{b^2} = \frac{c^2}{d^2} = \frac{e^2}{f^2} = k^2 \]

\[ \frac{a^n}{b^n} = \frac{c^n}{d^n} = \frac{e^n}{f^n} = k^n \]

3.3. Tính chất tổng bình phương

Nếu \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} \) thì:

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a + c + e}{b + d + f} = \sqrt{\frac{a^2 + c^2 + e^2}{b^2 + d^2 + f^2}} \]

(khi các tỉ số dương)

3.4. Tính chất với tích

Nếu \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) thì:

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} = \sqrt{\frac{ac}{bd}} \] (khi a, b, c, d cùng dấu)

3.5. Bảng công thức mở rộng

Dạng	Công thức
Tổ hợp tuyến tính	\( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{ma \pm nc}{mb \pm nd} \)
Lũy thừa bậc 2	\( \frac{a^2}{b^2} = \frac{c^2}{d^2} = \frac{a^2 + c^2}{b^2 + d^2} \)
Lũy thừa bậc n	\( \frac{a^n}{b^n} = \frac{c^n}{d^n} = \frac{a^n + c^n}{b^n + d^n} \)
Căn bậc hai	\( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \sqrt{\frac{a^2 + c^2}{b^2 + d^2}} \)

4. Cách áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Các bước áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

4.1. Phương pháp chung

Bước 1: Lập dãy tỉ số bằng nhau từ giả thiết

Bước 2: Áp dụng tính chất phù hợp (tổng hoặc hiệu)

Bước 3: Tính giá trị chung của dãy tỉ số

Bước 4: Suy ra giá trị của từng ẩn

4.2. Khi biết tổng các tử (hoặc mẫu)

Ví dụ: Cho \( \frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5} \) và a + b + c = 30. Tìm a, b, c.

Lời giải:

Áp dụng tính chất:

\[ \frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5} = \frac{a + b + c}{2 + 3 + 5} = \frac{30}{10} = 3 \]

Suy ra:

• a = 3 × 2 = 6
• b = 3 × 3 = 9
• c = 3 × 5 = 15

4.3. Khi biết hiệu các tử (hoặc mẫu)

Ví dụ: Cho \( \frac{a}{3} = \frac{b}{5} \) và b − a = 12. Tìm a, b.

Lời giải:

Áp dụng tính chất:

\[ \frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{b – a}{5 – 3} = \frac{12}{2} = 6 \]

Suy ra:

• a = 6 × 3 = 18
• b = 6 × 5 = 30

4.4. Khi biết biểu thức khác

Ví dụ: Cho \( \frac{a}{2} = \frac{b}{3} \) và 2a + 3b = 26. Tìm a, b.

Lời giải:

Áp dụng tính chất mở rộng:

\[ \frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{2a}{4} = \frac{3b}{9} = \frac{2a + 3b}{4 + 9} = \frac{26}{13} = 2 \]

Suy ra:

• a = 2 × 2 = 4
• b = 2 × 3 = 6

4.5. Bảng tình huống và cách xử lý

Biết	Áp dụng	Công thức
a + b + c	Tổng tử / Tổng mẫu	\( \frac{a+b+c}{b_1+b_2+b_3} \)
a − b	Hiệu tử / Hiệu mẫu	\( \frac{a-b}{b_1-b_2} \)
ma + nb	Nhân hệ số	\( \frac{ma+nb}{mb_1+nb_2} \)
a² + b²	Lũy thừa	\( \sqrt{\frac{a^2+b^2}{b_1^2+b_2^2}} \)

5. Bài toán chia theo tỉ lệ

Ứng dụng quan trọng của tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

5.1. Dạng toán chia theo tỉ lệ thuận

Bài toán: Chia số S thành các phần a, b, c theo tỉ lệ m : n : p

Cách giải:

Ta có: \( \frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{c}{p} \) và a + b + c = S

Áp dụng tính chất:

\[ \frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{c}{p} = \frac{a + b + c}{m + n + p} = \frac{S}{m + n + p} \]

Công thức nhanh:

• \( a = \frac{m \cdot S}{m + n + p} \)
• \( b = \frac{n \cdot S}{m + n + p} \)
• \( c = \frac{p \cdot S}{m + n + p} \)

5.2. Ví dụ chia theo tỉ lệ

Ví dụ: Chia 120 thành ba phần theo tỉ lệ 2 : 3 : 5

Lời giải:

Gọi ba phần là a, b, c. Ta có:

\[ \frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5} = \frac{a + b + c}{2 + 3 + 5} = \frac{120}{10} = 12 \]

Suy ra:

• a = 12 × 2 = 24
• b = 12 × 3 = 36
• c = 12 × 5 = 60

Kiểm tra: 24 + 36 + 60 = 120 ✓

5.3. Bảng công thức chia tỉ lệ

Chia S theo tỉ lệ	Công thức
a : b = m : n	\( a = \frac{mS}{m+n} \), \( b = \frac{nS}{m+n} \)
a : b : c = m : n : p	\( a = \frac{mS}{m+n+p} \), \( b = \frac{nS}{m+n+p} \), \( c = \frac{pS}{m+n+p} \)

6. Bài toán chia tỉ lệ nghịch

Mở rộng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho tỉ lệ nghịch:

6.1. Khái niệm tỉ lệ nghịch

a và b tỉ lệ nghịch với m và n khi:

\[ a \cdot m = b \cdot n \]

Hay: \( \frac{a}{b} = \frac{n}{m} \)

6.2. Cách chuyển về tỉ lệ thuận

Nếu a, b, c tỉ lệ nghịch với m, n, p thì:

\[ am = bn = cp \]

Tương đương:

\[ \frac{a}{\frac{1}{m}} = \frac{b}{\frac{1}{n}} = \frac{c}{\frac{1}{p}} \]

Hay: a, b, c tỉ lệ thuận với \( \frac{1}{m}, \frac{1}{n}, \frac{1}{p} \)

6.3. Công thức chia tỉ lệ nghịch

Bài toán: Chia S thành a, b, c tỉ lệ nghịch với m, n, p

Cách giải:

\[ \frac{a}{\frac{1}{m}} = \frac{b}{\frac{1}{n}} = \frac{c}{\frac{1}{p}} = \frac{a + b + c}{\frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{p}} = \frac{S}{\frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{p}} \]

6.4. Ví dụ chia tỉ lệ nghịch

Ví dụ: Chia 78 thành ba phần tỉ lệ nghịch với 2, 3, 6

Lời giải:

Gọi ba phần là a, b, c. Ta có:

\[ 2a = 3b = 6c \]

Hay: \( \frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{1}{3}} = \frac{c}{\frac{1}{6}} \)

\[ = \frac{a + b + c}{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = \frac{78}{\frac{3+2+1}{6}} = \frac{78}{1} = 78 \]

Suy ra:

• a = 78 × (1/2) = 39
• b = 78 × (1/3) = 26
• c = 78 × (1/6) = 13

Kiểm tra: 39 + 26 + 13 = 78 ✓ và 2×39 = 3×26 = 6×13 = 78 ✓

6.5. So sánh tỉ lệ thuận và nghịch

Đặc điểm	Tỉ lệ thuận	Tỉ lệ nghịch
Điều kiện	\( \frac{a}{m} = \frac{b}{n} \)	\( am = bn \)
Chuyển đổi	a : b = m : n	a : b = n : m
Quan hệ	a tăng thì b tăng	a tăng thì b giảm

7. Các dạng bài tập thường gặp

Tổng hợp các dạng bài về tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

7.1. Dạng 1: Tìm các số khi biết tổng

Đề bài mẫu: Cho \( \frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{c}{p} \) và a + b + c = S

Phương pháp: Áp dụng \( \frac{a+b+c}{m+n+p} = \frac{S}{m+n+p} \)

7.2. Dạng 2: Tìm các số khi biết hiệu

Đề bài mẫu: Cho \( \frac{a}{m} = \frac{b}{n} \) và a − b = D

Phương pháp: Áp dụng \( \frac{a-b}{m-n} = \frac{D}{m-n} \)

7.3. Dạng 3: Tìm các số khi biết tích hoặc thương

Đề bài mẫu: Cho \( \frac{a}{m} = \frac{b}{n} \) và a × b = P

Phương pháp: Đặt \( \frac{a}{m} = \frac{b}{n} = k \), suy ra a = km, b = kn, giải phương trình k²mn = P

7.4. Dạng 4: Bài toán chia theo tỉ lệ thực tế

Đề bài mẫu: Chia tiền, chia công việc, chia thời gian theo tỉ lệ

Phương pháp: Lập dãy tỉ số → Áp dụng tính chất

7.5. Dạng 5: Bài toán có điều kiện phức tạp

Đề bài mẫu: Cho \( \frac{a}{m} = \frac{b}{n} \) và 2a + 3b = S

Phương pháp: Áp dụng \( \frac{2a}{2m} = \frac{3b}{3n} = \frac{2a+3b}{2m+3n} \)

7.6. Dạng 6: Lập dãy tỉ số bằng nhau

Đề bài mẫu: Cho a − b = 10, b − c = 15. Biết a + b + c = 95. Tìm a, b, c.

Phương pháp: Chuyển về dạng \( \frac{a-b}{?} = \frac{b-c}{?} \) rồi thiết lập tỉ lệ

7.7. Bảng tổng hợp phương pháp

Dạng	Biết	Cách giải
1	Tổng	Tổng tử / Tổng mẫu
2	Hiệu	Hiệu tử / Hiệu mẫu
3	Tích	Đặt k, giải phương trình
4	Biểu thức phức	Nhân hệ số phù hợp
5	Tỉ lệ nghịch	Chuyển về nghịch đảo

8. Ví dụ và bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Để nắm vững tính chất dãy tỉ số bằng nhau, hãy làm các bài tập sau:

Bài tập 1: Tìm số khi biết tổng

Đề bài: Tìm hai số a, b biết \( \frac{a}{3} = \frac{b}{7} \) và a + b = 50

Lời giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\[ \frac{a}{3} = \frac{b}{7} = \frac{a + b}{3 + 7} = \frac{50}{10} = 5 \]

Suy ra:

• a = 5 × 3 = 15
• b = 5 × 7 = 35

Kiểm tra: 15 + 35 = 50 ✓ và 15/3 = 35/7 = 5 ✓

Kết quả: a = 15, b = 35

Bài tập 2: Tìm số khi biết hiệu

Đề bài: Tìm hai số x, y biết \( \frac{x}{5} = \frac{y}{3} \) và x − y = 24

Lời giải:

Áp dụng tính chất:

\[ \frac{x}{5} = \frac{y}{3} = \frac{x – y}{5 – 3} = \frac{24}{2} = 12 \]

Suy ra:

• x = 12 × 5 = 60
• y = 12 × 3 = 36

Kiểm tra: 60 − 36 = 24 ✓

Kết quả: x = 60, y = 36

Bài tập 3: Tìm ba số khi biết tổng

Đề bài: Tìm ba số a, b, c biết \( \frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} \) và a + b + c = 45

Lời giải:

\[ \frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = \frac{a + b + c}{2 + 3 + 4} = \frac{45}{9} = 5 \]

Suy ra:

• a = 5 × 2 = 10
• b = 5 × 3 = 15
• c = 5 × 4 = 20

Kết quả: a = 10, b = 15, c = 20

Bài tập 4: Bài toán có biểu thức phức tạp

Đề bài: Tìm x, y biết \( \frac{x}{4} = \frac{y}{5} \) và 3x + 2y = 44

Lời giải:

\[ \frac{x}{4} = \frac{y}{5} = \frac{3x}{12} = \frac{2y}{10} = \frac{3x + 2y}{12 + 10} = \frac{44}{22} = 2 \]

Suy ra:

• x = 2 × 4 = 8
• y = 2 × 5 = 10

Kiểm tra: 3(8) + 2(10) = 24 + 20 = 44 ✓

Kết quả: x = 8, y = 10

Bài tập 5: Bài toán chia theo tỉ lệ

Đề bài: Ba người góp vốn theo tỉ lệ 3 : 5 : 7. Người góp nhiều nhất góp hơn người góp ít nhất 800 triệu. Tính số vốn mỗi người góp.

Lời giải:

Gọi số vốn ba người góp lần lượt là a, b, c (triệu đồng)

\[ \frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{c}{7} \]

Người góp nhiều nhất: c, người góp ít nhất: a

Ta có: c − a = 800

\[ \frac{a}{3} = \frac{c}{7} = \frac{c – a}{7 – 3} = \frac{800}{4} = 200 \]

Suy ra:

• a = 200 × 3 = 600 triệu
• b = 200 × 5 = 1000 triệu
• c = 200 × 7 = 1400 triệu

Kết quả: Ba người góp 600 triệu, 1000 triệu và 1400 triệu

Bài tập 6: Bài toán chia tỉ lệ nghịch

Đề bài: Chia 360 thành ba phần tỉ lệ nghịch với 2, 3, 4

Lời giải:

Gọi ba phần là a, b, c. Ta có: 2a = 3b = 4c

Hay: \( \frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{1}{3}} = \frac{c}{\frac{1}{4}} \)

\[ = \frac{a + b + c}{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}} = \frac{360}{\frac{6+4+3}{12}} = \frac{360}{\frac{13}{12}} = \frac{360 \times 12}{13} = \frac{4320}{13} \]

Suy ra:

• \( a = \frac{4320}{13} \times \frac{1}{2} = \frac{2160}{13} \approx 166.15 \)
• \( b = \frac{4320}{13} \times \frac{1}{3} = \frac{1440}{13} \approx 110.77 \)
• \( c = \frac{4320}{13} \times \frac{1}{4} = \frac{1080}{13} \approx 83.08 \)

Kết quả: \( a = \frac{2160}{13} \), \( b = \frac{1440}{13} \), \( c = \frac{1080}{13} \)

Bài tập 7: Tìm số khi biết tích

Đề bài: Tìm hai số x, y biết \( \frac{x}{3} = \frac{y}{5} \) và x·y = 135

Lời giải:

Đặt \( \frac{x}{3} = \frac{y}{5} = k \)

Suy ra: x = 3k, y = 5k

Ta có: x·y = 3k·5k = 15k² = 135

k² = 9 → k = ±3

Trường hợp k = 3: x = 9, y = 15

Trường hợp k = −3: x = −9, y = −15

Kết quả: (x; y) = (9; 15) hoặc (−9; −15)

Bài tập 8: Bài toán thực tế

Đề bài: Ba đội công nhân làm chung một công việc. Đội A có 10 người, đội B có 15 người, đội C có 20 người. Tiền công được chia theo số người. Tổng tiền công là 90 triệu. Tính tiền công mỗi đội.

Lời giải:

Gọi tiền công của đội A, B, C lần lượt là a, b, c (triệu)

\[ \frac{a}{10} = \frac{b}{15} = \frac{c}{20} = \frac{a+b+c}{10+15+20} = \frac{90}{45} = 2 \]

Suy ra:

• a = 2 × 10 = 20 triệu
• b = 2 × 15 = 30 triệu
• c = 2 × 20 = 40 triệu

Kết quả: Đội A: 20 triệu, Đội B: 30 triệu, Đội C: 40 triệu

Bài tập 9: Lập dãy tỉ số bằng nhau

Đề bài: Cho ba số a, b, c thỏa mãn a − b = 2, b − c = 6 và a + b + c = 30. Tìm a, b, c.

Lời giải:

Từ a − b = 2 và b − c = 6

\[ \frac{a – b}{2} = \frac{b – c}{6} = 1 \]

Suy ra: \( \frac{a-b}{1} = \frac{b-c}{3} \)

Đặt a − b = k → b − c = 3k → a − c = 4k

Từ a − b = 2 → k = 2

Vậy: a − b = 2, b − c = 6, a − c = 8

Từ a + b + c = 30 và a − c = 8:

a = c + 8, b = c + 6

(c + 8) + (c + 6) + c = 30

3c + 14 = 30 → c = 16/3

Suy ra: c = 16/3, b = 16/3 + 6 = 34/3, a = 16/3 + 8 = 40/3

Kết quả: a = 40/3, b = 34/3, c = 16/3

Bài tập 10: Bài toán tổng hợp

Đề bài: Tìm x, y, z biết \( \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} \) và x² + y² + z² = 116

Lời giải:

Đặt \( \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = k \)

Suy ra: x = 2k, y = 3k, z = 4k

Ta có:

\[ x^2 + y^2 + z^2 = 4k^2 + 9k^2 + 16k^2 = 29k^2 = 116 \]

\[ k^2 = 4 \Rightarrow k = \pm 2 \]

Trường hợp k = 2: x = 4, y = 6, z = 8

Trường hợp k = −2: x = −4, y = −6, z = −8

Kết quả: (x; y; z) = (4; 6; 8) hoặc (−4; −6; −8)

Bài tập 11: Bài toán số học

Đề bài: Tìm số có ba chữ số, biết rằng các chữ số của nó tỉ lệ với 1 : 2 : 3 và tổng các chữ số bằng 12.

Lời giải:

Gọi ba chữ số là a, b, c (a ≠ 0)

\[ \frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{3} = \frac{a+b+c}{1+2+3} = \frac{12}{6} = 2 \]

Suy ra: a = 2, b = 4, c = 6

Số cần tìm: \( \overline{abc} = 246 \)

Kết quả: Số cần tìm là 246

Bài tập 12: Bài toán nâng cao

Đề bài: Cho \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} \). Chứng minh \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a+c+e}{b+d+f} = \frac{a-c+e}{b-d+f} \)

Lời giải:

Đặt \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k \)

Suy ra: a = kb, c = kd, e = kf

Chứng minh đẳng thức 1:

\[ \frac{a+c+e}{b+d+f} = \frac{kb+kd+kf}{b+d+f} = \frac{k(b+d+f)}{b+d+f} = k \]

Chứng minh đẳng thức 2:

\[ \frac{a-c+e}{b-d+f} = \frac{kb-kd+kf}{b-d+f} = \frac{k(b-d+f)}{b-d+f} = k \]

Vậy \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a+c+e}{b+d+f} = \frac{a-c+e}{b-d+f} = k \) (đpcm)

9. Kết luận

Qua bài viết trên, VJOL đã giúp bạn hiểu rõ tính chất dãy tỉ số bằng nhau cùng các kiến thức quan trọng liên quan. Tóm tắt những điểm cần nhớ:

• Tính chất cơ bản: Nếu \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} \) thì mỗi tỉ số bằng \( \frac{a+c+e}{b+d+f} \)
• Tính chất hiệu: Mỗi tỉ số cũng bằng \( \frac{a-c}{b-d} \) (khi b ≠ d)
• Tính chất mở rộng: \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{ma+nc}{mb+nd} \)
• Chia theo tỉ lệ thuận: \( a = \frac{mS}{m+n+p} \) khi chia S theo tỉ lệ m : n : p
• Chia theo tỉ lệ nghịch: Chuyển về tỉ lệ thuận với nghịch đảo
• Cách giải: Lập dãy tỉ số → Áp dụng tính chất → Tìm giá trị chung k → Suy ra các ẩn
• Phương pháp đặt k: Đặt \( \frac{a}{m} = \frac{b}{n} = k \) → a = km, b = kn
• Kiểm tra: Luôn thử lại kết quả vào điều kiện bài toán

Hy vọng bài viết đã giúp bạn nắm vững tính chất dãy tỉ số bằng nhau và có thể áp dụng vào giải toán hiệu quả!